Просмотр кода страницы Дифференциал (математика)

{{Значения|Дифференциал}}
'''Дифференциа́л''' (от {{lang-la|[[wikt:la:differentia|differentia]]}} «разность, различие») — линейная часть [[Приращение функции|приращения функции]] или ее [[Функция (математика)#Определения|аргумент]]а.

== Обозначения ==
Обычно дифференциал функции <math>f</math> обозначается <math>df</math>.
Некоторые авторы предпочитают обозначать <math>{\rm d}f</math> шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является [[Оператор (математика)|оператором]].

Дифференциал в точке <math>x_0</math> обозначается <math>d_{x_0}f</math>, а иногда <math>df_{x_0}</math> или <math>df[x_0]</math>,
а также <math>df</math>, если значение <math>x_0</math> ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке <math>x_0</math> от <math>h</math>
может обозначаться как <math>d_{x_0}f(h)</math>, а иногда <math>df_{x_0}(h)</math> или <math>df[x_0](h)</math>,
а также <math>df(h)</math>, если значение <math>x_0</math> ясно из контекста.

== Использование знака дифференциала ==
* Знак дифференциала используется в выражении для [[интеграл]]а <math>\int f(x)\, dx</math>. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал <math>dx</math> вводится как часть определения интеграла{{Нет АИ|8|03|2018}}.
* Также знак дифференциала используется в обозначении [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбница]] для [[производная функции|производной]] <math>f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)</math>. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции <math>f</math> и [[Тождественное отображение|тождественной функции]] <math>x</math> верно соотношение:
*: <math>d_{x_0}f=f'(x_0){\cdot} d_{x_0}x.</math>

== Определения ==

=== Для функций ===
Дифференциал функции <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> может быть определён как линейная функция
: <math>d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h,</math>
где <math>f'(x_0)</math> обозначает [[производная функции|производную]] <math>f</math> в точке <math>x_0</math>, а <math>h</math> — приращение аргумента при переходе от <math>x_0</math> к <math>x_0 + h</math>.

Таким образом <math>df</math> есть функция двух аргументов <math>df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h)</math>.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция <math>d_{x_0}f(h)</math>, линейно зависящая от <math>h</math>, и для которой верно следующее соотношение
: <math> d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h), \quad h \to 0.</math>

=== Для функции нескольких переменных ===
Дифференциалом отображения <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math> называют [[линейное отображение]] <math>d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> такое, что выполняется условие
: <math> d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h), \quad h \to 0.</math>

== Связанные определения ==
* Отображение <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> называется ''дифференцируемым'' в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, если определён дифференциал <math>d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math>.

== Свойства ==
* Матрица линейного оператора <math>d_{x_0}f</math> равна [[матрица Якоби|матрице Якоби]]; её элементами являются [[частная производная|частные производные]] <math>f</math>.
** Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
* Дифференциал функции <math>f</math> связан с её [[градиент]]ом <math>\nabla f</math> следующим определяющим соотношением
*: <math>d_{x_0}f(h)=\langle(\nabla f)(x_0),h\rangle</math>

== История ==
Термин «дифференциал» введён [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницем]].
Изначально <math>dx</math> применялось для обозначения «[[бесконечно малая величина#Исторический очерк|бесконечно малой]]» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю.
Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением [[нестандартный анализ|нестандартного анализа]].

== Вариации и обобщения ==
Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения.
Его можно обобщать, получая различные важные объекты в [[Функциональный анализ|функциональном анализе]], дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, [[Алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]] и так далее.

* [[Дифференциал (дифференциальная геометрия)]]
* [[Дифференциалы высших порядков]]
* [[Формула Ито|Дифференциал Ито]]
* [[Дифференциальная форма|Внешний дифференциал]]
* [[Производная Пеано]]
* [[Производная Фреше]]
* [[Вариация функционала]]

== Литература ==
* ''[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Г. М. Фихтенгольц]]'' «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

{{вс}}
{{Дифференциальное исчисление}}
{{Интегральное исчисление}}
{{Бесконечно малые и бесконечно большие}}
{{Производные буквы D|nocat=1}}