Просмотр кода страницы Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

<noinclude>{{К удалению|2025-01-11}}</noinclude>
'''Доверительный интервал для математического ожидания''' — интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.

== Случай известной дисперсии ==
Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)</math> — [[Независимость (теория вероятностей)|независимая]] [[выборка]] из [[Нормальное распределение|нормального распределения]], где <math>\sigma^2</math> — известная [[Дисперсия случайной величины|дисперсия]]. Определим произвольное <math>\alpha \in [0,1]</math> и построим [[доверительный интервал]] для неизвестного [[Математическое ожидание|среднего]] <math>\mu</math>.

'''Утверждение.''' [[Случайная величина]]
: <math>Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}</math>
имеет [[стандартное нормальное распределение]] <math>\mathrm{N}(0,1)</math>. Пусть <math>z_{\alpha}</math> — это <math>\alpha</math>-[[квантиль|квантиль стандартного нормального распределения]]. Тогда в силу симметрии последнего имеем:
: <math>\mathbb{P}\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le Z \le z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) = 1-\alpha</math>.

После подстановки выражения для <math>Z</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:

: <math>\mathbb{P}\left( \bar{X} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math>.

== Случай неизвестной дисперсии ==
Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\mu,\sigma^2</math> — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего <math>\mu</math>.

'''Утверждение.''' Случайная величина
: <math>T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}</math>,
где <math>S</math> — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет [[распределение Стьюдента]] с <math>n-1</math> степенями свободы <math>\mathrm{t}(n-1)</math>. Пусть <math>t_{\alpha,n-1}</math> — <math>\alpha</math>-[[квантили распределения Стьюдента]]. Тогда в силу симметрии последнего имеем:
: <math>\mathbb{P}\left(-t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \le T \le t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}\right) =1-\alpha</math>.

После подстановки выражения для <math>T</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:

: <math>\mathbb{P}\left( \bar{X} - t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math>.

{{Statistics-stub}}
{{Нет иллюстрации}}
{{нет ссылок|дата=19 июня 2018}}

[[Категория:Выборочный метод]]