Просмотр кода страницы Додекаэдр Билинского

{{Многогранник
| название                  = Додекаэдр Билинского
| изображение               = Bilinski dodecahedron (gray).png
| изображение2              = 
| ширина                    = 
| подпись                   = 
| вращающаяся модель        = Bilinski dodecahedron (gray).gif
| 3D-модель                 = 
| тип                       = 
| свойства                  = [[Выпуклый многогранник|выпуклый]], [[зоноэдр]]

| число граней              = 12
| число рёбер               = 24
| число вершин              = 14
| грани                     = 12 ромбов
| конфигурация вершины      = 4+4(4.4.4) <br> 4+2(4.4.4.4)
| конфигурация грани        = 
| вершинная фигура          = 
| развёртка                 = 
| двойственный многогранник = 

| обозначения               = 
| символ Шлефли             = 
| символ Визоффа            = 
| диаграмма Дынкина         = 
| группа симметрии          = ''D''<sub>''2h''</sub>
| группа вращения           = 

| длина ребра               = 
| площадь поверхности       = 
| объём                     = 
| двугранный угол           = 
| телесный угол             = 
}}

'''Додекаэдр Билинского'''<ref>У. Болл, [[Коксетер, Гарольд|Г. Коксетер]]. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 157.</ref> — [[многогранник]] ([[зоноэдр]]), составленный из 12 одинаковых [[Золотой ромб|золотых ромбов]].

Топологически изоморфен [[ромбододекаэдр]]у, но, в отличие от него, не является [[Изоэдральное тело|изоэдральным]] (хотя всего его грани также [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтны]]) и имеет другую [[Группы симметрии|группу симметрии]].

Грани додекаэдра Билинского — [[ромб]]ы с отношением диагоналей, равным [[Золотое сечение|золотому сечению]] <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618;</math> они несколько более вытянуты, чем грани ромбододекаэдра, представляющие собой ромбы с отношением диагоналей <math>\sqrt2 \approx 1{,}414.</math>

<gallery widths="180px">
DU07 facets.png | Грань [[ромбододекаэдр]]а
GoldenRhombus.svg | Грань додекаэдра Билинского
</gallery>

Имеет 14 вершин. В '''2 вершинах''' сходятся четыре грани своими острыми углами; в {{color|red|4 вершинах}} сходятся три грани тупыми углами; в {{color|green|4 вершинах}} сходятся одна грань острым углом и две тупыми; в {{color|blue|4 вершинах}} сходятся три грани острыми углами и одна тупым.

У додекаэдра Билинского 24 ребра равной длины. При 12 рёбрах (примыкающих к вершинам, отмеченным на рисунке {{color|red|красным}}) [[Двугранный угол|двугранные углы]] равны <math>144^\circ;</math> при 8 рёбрах (между {{color|green|зелёной}} и {{color|blue|синей}} вершинами) — <math>108^\circ;</math> при 4 рёбрах (между '''чёрной''' и {{color|green|зелёной}} вершинами) — <math>72^\circ.</math>

== В координатах ==

[[Файл:Bilinski dodecahedron coordinates.svg|слева|300px|thumb|Проекции на координатные плоскости]]

Додекаэдр Билинского можно расположить в [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]] так, чтобы его вершины имели координаты

* <math>\left(0;\;0;\;\pm\Phi^2\right),</math>
* <math>\left(0;\;\pm1;\;\pm1\right),</math>
* <math>\left(\pm\Phi;\;0;\;\pm\Phi\right),</math>
* <math>\left(\pm\Phi;\;\pm1;\;0\right).</math>

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

== Метрические характеристики ==

Если додекаэдр Билинского имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как

:<math>S = \frac{24}{\sqrt5}\;a^2 \approx 10{,}7331263a^2,</math>
:<math>V = \frac{4}{5}\sqrt{5+2\sqrt5}\;a^3 \approx 2{,}4621468a^3.</math>

== История ==

Впервые данный многогранник встречается под названием «додекаромб» в 1752 году на иллюстрации в книге английского математика {{не переведено 5|Джон Лодж Коули|Джона Лоджа Коули||John Lodge Cowley}}<ref>John Lodge Cowley. Geometry Made Easy; Or, a New and Methodical Explanation of the Elements of Geometry. — London, 1752. — Plate 5, Fig. 16.</ref><ref>{{citation|last=Hart|first=George W.|issue=1–4|journal=Symmetry: Culture and Science|mr=2001417|pages=183–199|title=A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron|url=http://www.georgehart.com/dissect-re/dissect-re.htm|volume=11|year=2000|access-date=2021-01-30|archive-date=2015-10-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20151001224036/http://www.georgehart.com/dissect-re/dissect-re.htm|url-status=live}}.</ref>.

Заново найден в 1960 году [[Хорватия|хорватским]] математиком [[Билинский, Станко|Станко Билинским]]<ref>{{citation|first=S.|last=Bilinski|authorlink=Билинский, Станко|title=Über die Rhombenisoeder|journal=Glasnik Mat. Fiz. Astr.|volume=15|year=1960|pages=251–263|zbl=0099.15506}}.</ref>, который назвал его «ромбическим додекаэдром второго рода»<ref>{{citation |last=Cromwell|first=Peter R.|isbn=0-521-55432-2|mr=1458063|page=156|publisher=[[Cambridge University Press]]|location=Cambridge|title=Polyhedra: One of the most charming chapters of geometry|url=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA156|year=1997}}.</ref>. Открытие Билинского заполнило остававшийся незамеченным 75 лет пробел в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями, описанной [[Фёдоров, Евграф Степанович|Евграфом Фёдоровым]]<ref name=grunbaum>{{citation|last=Grünbaum|first=Branko|authorlink=Грюнбаум, Бранко|doi=10.1007/s00283-010-9138-7|issue=4|journal=[[The Mathematical Intelligencer]]|mr=2747698|pages=5–15|title=The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra|volume=32|year=2010|hdl=1773/15593|hdl-access=free}}.</ref>.

[[Коксетер, Гарольд|Гарольд Коксетер]] в статье 1962 года<ref>{{citation|last=Coxeter|first=H. S. M.|authorlink=Коксетер, Гарольд|journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|mr=0141004|pages=137–156|title=The classification of zonohedra by means of projective diagrams|volume=41|year=1962}}.</ref> ошибочно утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен [[Аффинное преобразование|аффинным преобразованием]] ромбододекаэдра. Это утверждение ложно<ref name=grunbaum></ref>.

{{Hider
  |title = Доказательство
  |hidden = 1
  |frame-style = border: 1px solid Plum;
  |title-style = color: black; background-color: lavender; font-weight: bold; 
  |content-style = color: black; background-color: ghostwhite; text-align: left;
  |content =
: Рассмотрим на иллюстрациях выше два отрезка: диагональ многогранника, соединяющую две {{color|blue|синих}} вершины <math>\left(-\Phi;\;-1;\;0\right),</math> <math>\left(\Phi;\;1;\;0\right),</math> и диагональ грани, соединяющую {{color|red|красную}} вершину <math>\left(0;\;-1;\;1\right)</math> с {{color|green|зелёной}} <math>\left(\Phi;\;0;\;\Phi\right).</math>

: В додекаэдре Билинского эти отрезки не параллельны, в ромбододекаэдре же соответствующие им отрезки — параллельны. А поскольку аффинное преобразование сохраняет параллельность отрезков, получить один многогранник из другого при помощи аффинных растяжений и сжатий нельзя.}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{mathworld|urlname=BilinskiDodecahedron|title=Додекаэдр Билинского}}
* David I. McCooey. [http://dmccooey.com/polyhedra/BilinskiDodecahedron.html Bilinski's Dodecahedron]

{{Многогранники|nocat=1}}

[[Категория:Зоноэдры]]