Додекаэдр Билинского

Додекаэдр Билинского — многогранник (зоноэдр), составленный из 12 одинаковых золотых ромбов.

Топологически изоморфен ромбододекаэдру, но, в отличие от него, не является изоэдральным (хотя всего его грани также конгруэнтны) и имеет другую группу симметрии.

Грани додекаэдра Билинского — ромбы с отношением диагоналей, равным золотому сечению $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618;$ они несколько более вытянуты, чем грани ромбододекаэдра, представляющие собой ромбы с отношением диагоналей $\sqrt{2}\approx 1,414.$

• 
  Грань ромбододекаэдра
• 
  Грань додекаэдра Билинского

Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся четыре грани своими острыми углами; в Шаблон:Color сходятся три грани тупыми углами; в Шаблон:Color сходятся одна грань острым углом и две тупыми; в Шаблон:Color сходятся три грани острыми углами и одна тупым.

У додекаэдра Билинского 24 ребра равной длины. При 12 рёбрах (примыкающих к вершинам, отмеченным на рисунке Шаблон:Color) двугранные углы равны $144^{\circ };$ при 8 рёбрах (между Шаблон:Color и Шаблон:Color вершинами) — $108^{\circ };$ при 4 рёбрах (между чёрной и Шаблон:Color вершинами) — $72^{\circ }.$

В координатах

Проекции на координатные плоскости

Додекаэдр Билинского можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• $(0;0;\pm {\mathrm{\Phi }}^2),$
• $(0;\pm 1;\pm 1),$
• $(\pm \mathrm{\Phi };0;\pm \mathrm{\Phi }),$
• $(\pm \mathrm{\Phi };\pm 1;0).$

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Метрические характеристики

Если додекаэдр Билинского имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{24}{\sqrt{5}}{a}^2\approx 10,7331263a^2,$

$V=\frac{4}{5}\sqrt{5+2\sqrt{5}}{a}^3\approx 2,4621468a^3.$

История

Впервые данный многогранник встречается под названием «додекаромб» в 1752 году на иллюстрации в книге английского математика Шаблон:Не переведено 5.

Заново найден в 1960 году хорватским математиком Станко Билинским, который назвал его «ромбическим додекаэдром второго рода». Открытие Билинского заполнило остававшийся незамеченным 75 лет пробел в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями, описанной Евграфом Фёдоровым.

Гарольд Коксетер в статье 1962 года ошибочно утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен аффинным преобразованием ромбододекаэдра. Это утверждение ложно.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• David I. McCooey. Bilinski's Dodecahedron