Просмотр кода страницы Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

{{Обзорная статья|Дробно-линейное преобразование|Дробно-линейная функция|Рациональная функция|Аналлагматическая геометрия|Преобразование Мёбиуса}}

'''Дро́бно-лине́йное преобразова́ние''' [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] ({{lang-en|linear fractional transformation of the complex plane}}), — это [[отображение]] комплексной плоскости на себя{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 384—385}}{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 85}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 9}}{{sfn|''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis, 2000|loc=3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122}}:
: <math>\C \to \C : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
: <math>a, b, c, d</math> — '''''постоянные''''', <math>ad - bc \neq 0</math>.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную [[Группа дробно-линейных преобразований|группу дробно-линейных преобразований]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 49}}{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 385}}{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 86}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 119}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 129}}.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:
* одномерное комплексное [[дробно-линейное преобразование]]{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 385—386}};
* [[дробно-линейная функция]] одной комплексной переменной{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д.'' Дробно-линейная функция, 1979}};
* [[рациональная функция]] первого порядка{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}};
* одномерное комплексное [[преобразование Мёбиуса]]{{sfn|''Альфорс Л.'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986|loc=1.1, с. 8}}.

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах [[Комплексный анализ|теории функций комплексного переменного]]{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}}{{sfn|''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis, 2000|loc=3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122}}.

Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с [[Неевклидова геометрия|неевклидовой геометрией]]. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с [[Теория относительности|теорией относительности]] [[Эйнштейн, Альберт|Альберта Эйнштейна]], что было использовано [[Пенроуз, Роджер|сэром Роджером Пенроузом]]{{sfn|''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis, 2000|loc=3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122}}{{sfn|''Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер.'' Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля, 1987|loc=1. Геометрия мировых векторов и спин-векторов, с. 32}}.

== Определение дробно-линейного преобразования ==

=== Формальное определение ===
'''Дро́бно-лине́йное преобразова́ние''' [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]], — это [[отображение]] комплексной плоскости на себя{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 384—385}}{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 85}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 9}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}}:
: <math>\C \to \C : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
: <math>a, b, c, d</math> — '''''постоянные, или коэффициенты''''', <math>ad - bc \neq 0</math>.

Дробно-линейное преобразование <math>L(z)</math> представляет [[Дробь (математика)|дробь]], [[Дробь (математика)|числитель и знаменатель]] которой
: <math>az + b</math> и <math>cz + d</math>
суть [[Целая функция|целые]] [[Линейная функция|линейные функции]]{{sfn|''Гончаров В. Л.'' Элементарные функции действительного переменного, 1952|loc=с. 56}}:

При <math>ad - bc = 0</math> дробь из <math>L(z)</math> становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть <math>L(z)</math> перестаёт быть дробно-линейным преобразованием{{sfn|''Гончаров В. Л.'' Элементарные функции действительного переменного, 1952|loc=с. 56}}.

При <math>c = 0</math> и <math>d \neq 0</math> дробно-линейная функция <math>L(z)</math> становится следующей целой линейной функцией{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 44}}{{sfn|''Гончаров В. Л.'' Элементарные функции действительного переменного, 1952|loc=с. 56}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 93, 132}}:
: <math>\C \to \C : z \to w = l(z) = \frac{a}{d}z + \frac{b}{d}</math>.

=== Доопределение на расширенной комплексной плоскости ===
[[Компактификация|Компактифицируем]] комплексную плоскость <math>\C</math>. Для этого добавим к множеству '''''конечных точек''''' <math>z \neq \infty</math> этой плоскости единственную '''''бесконечную, или бесконечно удалённую, точку''''' <math>z = \infty</math> — некоторый абстрактный идеальный элемент{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 12}}.

'''''Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью''''' <math>\widehat{\C}  = \mathbb{C} \cup \{ \infty \}</math> называется '''''компактифицированная''''', то есть дополненная бесконечно удалённой точкой <math>\infty</math>, комплексная плоскость <math>\C</math>. В связи с этим исходная комплексная плоскость <math>\C</math> иногда называется '''''конечной, или открытой''''', плоскостью{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 1. Комплексная плоскость, ч. I, с. 12}}.

Дробно-линейная функция
: <math>\C \to \C : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости <math>\widehat{\C}</math>, кроме следующих{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 45}}:
* при <math>c \neq 0</math> — кроме точек <math>z = -\frac{d}{c}</math> и <math>z = \infty</math>;
* при <math>c = 0</math> — кроме точки <math>z = \infty</math>.

Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 45}}:
: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>.

Легко получить, что{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 6. Понятие функции комплексного переменного, с. 23, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 45}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 94, 96}}:
* при <math>c = 0</math> и <math>d \neq 0</math> ввиду
:: <math>\lim_{z \to \infty}\left(\frac{a}{d}z + \frac{b}{d}\right) = \infty</math>
: доопределяем с сохранением непрерывности функции
:: <math>w(\infty) = \infty</math>;
* при <math>c \neq 0</math> два выражения
:: <math>\lim_{z \to \infty}\frac{az + b}{cz + d} = \frac{a}{c}</math>, <math>\lim_{z \to -\frac{d}{c}}\frac{az + b}{cz + d} = \infty</math>
:говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции
:: <math>w(\infty) = \frac{a}{c}</math>, <math>w\left(-\frac{d}{c}\right) = \infty</math>.

=== Синонимы дробно-линейного преобразования ===
В литературе встречаются следующие [[синонимы]] дробно-линейного преобразования:
* как противопоставление [[Целая рациональная функция|целому линейному преобразованию]]:
:* '''лине́йное преобразова́ние''' комплексной плоскости{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 9}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 110—112}}{{sfn|''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis, 2000|loc=3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122}};
:* '''о́бщее лине́йное преобразова́ние''' комплексной плоскости{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 110}};
:* '''билине́йное преобразова́ние''' комплексной плоскости{{sfn|''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis, 2000|loc=3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122}};
:* '''лине́йная фу́нкция''' на комплексной плоскости{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 110—112}};
:* '''о́бщая лине́йная фу́нкция''' на комплексной плоскости{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 110}};
* как [[проективное преобразование]]:
:* '''гомографи́ческое преобразова́ние''' комплексной плоскости{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 9}}{{sfn|''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis, 2000|loc=3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122}};
* отображение множеств — обобщение понятий [[Дробно-линейное преобразование|преобразования]] и [[Функция (математика)|функции]];
:* '''[[Дробно-линейное преобразование|дро́бно-лине́йное отображе́ние]]''' комплексной плоскости{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 384—385}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, ч. I, с. 45}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 136}}{{sfn|''Альфорс Л.'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986|loc=1.1., с. 8}};
* преобразование осуществляется с помощью его функции:
:* '''[[Дробно-линейная функция|дро́бно-лине́йная фу́нкция]]''' на комплексной плоскости{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д.'' Дробно-линейная функция, 1979}}{{sfn|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|loc=3.4. Комплексные координаты точек круговой плоскости, с. 78}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 44}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 136}};
:* '''[[Рациональная функция|рациона́льная фу́нкция]]''' первого порядка{{sfn|''Долженко Е. П.'' Рациональная функция, 1984|loc=стб. 917}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}};
* преобразование, сохраняющее [[Окружность|окружности]]:
:* '''[[Аналлагматическая геометрия#Точечная аналлагматическая геометрия|то́чечное круго́вое преобразова́ние]]''' комплексной плоскости{{sfn|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|loc=3.4. Комплексные координаты точек круговой плоскости, с. 79}};
:* '''[[Преобразование Мёбиуса|преобразова́ние Мёбиуса]]''' комплексной плоскости{{sfn|''Яглом И. М.'' Окружности, 1963|loc=5.1. Круговая плоскость, с. 477}}{{sfn|''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis, 2000|loc=3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122}};
:* '''[[Преобразование Мёбиуса|отображе́ние Мёбиуса]]''' комплексной плоскости{{sfn|''Альфорс Л.'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986|loc=1.1., с. 8}};
* в [[Теория относительности|теории относительности]]:
:* '''спи́новое преобразова́ние'''{{sfn|''Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер.'' Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля, 1987|loc=1. Геометрия мировых векторов и спин-векторов, с. 32}}.

== Простейшие свойства дробно-линейного преобразования ==
=== Детерминант дробно-линейного преобразования ===
'''''Определитель, или детерминант''''', дробно-линейного преобразования, записанного в форме
: <math>w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>, —
это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 9}}:
: <math>ad - bc</math>.

Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим '''''целую часть дроби''''' и вынесем за скобки коэффициент при переменной <math>z</math> при условии <math>c \neq 0</math>{{sfn|''Гончаров В. Л.'' Элементарные функции действительного переменного, 1952|loc=с. 56—57}}{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 85}}:
: <math>w = L(z) = \frac{\frac{a}{c}z + \frac{b}{c}}{z + \frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{c}\left(z + \frac{d}{c}\right) + \left(\frac{b}{c} - \frac{ad}{c^2}\right)}{z + \frac{d}{c}} =</math>
:: <math>= \frac{a}{c} - \frac{ad - bc}{c^2(z + \frac{d}{c})}</math>, <math>c \neq 0</math>.

Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте <math>ad - bc = 0</math> дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную <math>\frac{a}{c}</math>, то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку <math>\frac{a}{c}</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}}{{sfn|''Гончаров В. Л.'' Элементарные функции действительного переменного, 1952|loc=с. 56—57}}{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 85}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 136}}.

Не умаляя общности, можно разделить постоянные <math>a</math>, <math>b</math>,<math>c</math> и <math>d</math> обычной записи дробно-линейного преобразования либо на <math>\sqrt{ad - bc}</math>, либо на <math>-\sqrt{ad - bc}</math> — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 9—10}}:
: <math>ad - bc = 1</math>.

'''''Унимодулярная нормировка''''' — приведение значения детерминанта к единице{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 385}}:
: <math>ad - bc = 1</math>.

'''''Унимодулярное дробно-линейное преобразование''''' — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}.

=== Биективность, гомеоморфность и конформность ===
'''1. Биективность.''' Дробно-линейное преобразование
: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>.
определено однозначно на всей расширенной комплексной плоскости <math>\widehat{\C}</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 45}}.

Выразим <math>z</math> через <math>w</math> (<math>c \neq 0</math>, случай <math>c = 0</math> достаточно очевиден):
: <math>z = \frac{dw - b}{-cw + a} = \frac{-dw + b}{cw - a}</math>,
получаем, что любому значению <math>w</math>, <math>w \neq \frac{a}{c}</math> и <math>w \neq \infty</math>, отвечает одно определённое значение <math>z</math>, а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам <math>w = \frac{a}{c}</math> и <math>w = \infty</math> отвечают точки <math>z = \infty</math> и <math>z = -\frac{d}{c}</math> соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование [[Биекция|биективно]], то есть взаимно однозначно{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 45}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137}}.

'''2. Гомеоморфность.''' Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости <math>\widehat{\C}</math>. Следовательно, дробно-линейное преобразование [[Гомеоморфизм|гомеоморфно]], то есть взаимно однозначно и непрерывно на <math>\widehat{\C}</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, ч. I, с. 45}}.

'''3. Конформность.''' Найдём производную дробно-линейного преобразования{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 45}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 93}}:
: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = L^\prime(z) = \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z} = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2}</math>.

Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование [[Конформное отображение|конформно]] при <math>ad - bc \neq 0</math>, <math>z \neq -\frac{d}{c}</math> и <math>z \neq \infty</math>. Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости <math>z = -\frac{d}{c}</math> — [[Полюс (комплексный анализ)#Критерии полюса|простой полюс]], а точка <math>z = \infty</math> — '''''регулярная''''', то есть дробно-линейная функция в ней [[Аналитическая функция|аналитическая]]. Оба [[Вычет (комплексный анализ)|вычета]] в точках <math>z = -\frac{d}{c}</math> и <math>z = \infty</math> отличны от нуля: <math>\frac{bc - ad}{c^2} \neq 0</math> и <math>\frac{ad - bc}{c^2} \neq 0</math> соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках <math>z = -\frac{d}{c}</math> и <math>z = \infty</math> и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости <math>\widehat{\C}</math>{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137}}.

=== Равенство представлений дробно-линейных преобразований ===
Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости <math>\widehat{\C}</math>
: <math>L_1(z) = \frac{a_1z + b_1}{c_1z + d_1}</math> и <math>L_2(z) = \frac{a_2z + b_2}{c_2z + d_2}</math>
называются '''''равными''''', если они имеют одинаковые значения, то есть <math>L_1(z) = L_2(z)</math> при всех значениях комплексной переменной <math>z</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}}.

Имеет место следующее утверждение{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}}:
* две формы дробно-линейных преобразования
:: <math>L_1(z) = \frac{a_1z + b_1}{c_1z + d_1}</math> и <math>L_2(z) = \frac{a_2z + b_2}{c_2z + d_2}</math>
: равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть
:: <math>a_2 = \lambda a_1</math>, <math>b_2 = \lambda b_1</math>, <math>c_2 = \lambda c_1</math>, <math>d_2 = \lambda d_1</math>, <math>\lambda \neq 0</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 126}}
| Содержание    =
'''Достаточность.''' Пусть 
: <math>a_2 = \lambda a_1</math>, <math>b_2 = \lambda b_1</math>, <math>c_2 = \lambda c_1</math>, <math>d_2 = \lambda d_1</math>, <math>\lambda \neq 0</math>.
Тогда
: <math>\frac{a_2z + b_2}{c_2z + d_2} = \frac{\lambda a_1z + \lambda b_1}{\lambda c_1z + \lambda d_1} = \frac{a_1z + b_1}{c_1z + d_1}.</math>

'''Необходимость.''' Пусть <math>L_1(z) = L_2(z)</math>. Тогда:
* <math>L_1(0) = L_2(0)</math>, <math>\frac{b_1}{d_1} = \frac{b_2}{d_2} = p</math>, <math>\frac{d_2}{d_1} = \frac{b_2}{b_1}</math>;
* <math>L_1(\infty) = L_2(\infty)</math>, <math>\frac{a_1}{c_1} = \frac{a_2}{c_2} = q</math>, <math>\frac{c_2}{c_1} = \frac{a_2}{a_1}</math>;
* <math>L_1(1) = L_2(1)</math>, <math>\frac{a_1 + b_1}{c_1 + d_1} = \frac{a_2 + b_2}{c_2 + d_2}</math>.

Подставим в последнее равенство выражения
: <math>b_1 = d_1p</math>, <math>b_2 = d_2p</math>, <math>a_1 = c_1q</math>, <math>a_2 = c_2q</math>,
получим:
: <math>\frac{c_1q + d_1p}{c_1 + d_1} = \frac{c_2q + d_2p}{c_2 + d_2}</math>,
: <math>(c_1q + d_1p)(c_2 + d_2) = (c_2q + d_2p)(c_1 + d_1)</math>,
: <math>c_2d_1p + c_1d_2q - c_1d_2p - c_2d_1q = 0</math>,
: <math>(c_1d_2 - c_2d_1)(q - p) = 0</math>.

Если  <math>q = p</math>, то <math>\frac{a_1}{c_1} = \frac{b_1}{d_1}</math>, имеем противоречие — детерминант равен нулю: <math>a_1 d_1 - b_1 c_1 = 0</math>. Следовательно, <math>q \neq p</math>, и тогда необходимо
: <math>\frac{d_2}{d_1} = \frac{c_2}{c_1}</math>.

Собирая всё вместе, получаем:
: <math>\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = \frac{d_2}{d_1} = \lambda</math>.
}}

Последнее утверждение имеет следующее следствие{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 127}}:
* значение детерминанта <math>ad - bc</math> дробно-линейного преобразования <math>L(z)</math> не постоянно для равных преобразований.

Действительно, если постоянные <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> и <math>d</math> заменить на постоянные <math>\lambda a</math>, <math>\lambda b</math>, <math>\lambda c</math> и <math>\lambda d</math> при <math>\lambda \neq 0</math>, то детерминант увеличится в <math>\lambda^2</math> раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 127}}.

Таким образом, дробно-линейное преобразование
:: <math>L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, ч. I, с. 53}}.

== Неподвижные точки ==
В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости <math>\widehat{\C}</math>
: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
его образ <math>w</math>, как правило, отличен от исходной точки <math>z</math> комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования <math>L(z)</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 132}}.

'''''[[Неподвижная точка]]''''' дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 3. Неподвижные точки преобразования, с. 14}}:
: <math>z = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
: <math>z(cz + d) = az + b</math>,
: <math>cz^2 + (d - a)z - b = 0</math>.

Это [[квадратное уравнение]] всегда имеет два различных или совпадающих [[Уравнение#Корни|корня]] (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования <math>z = z</math>). В случае, когда при 
<math>c = 0</math> второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» <math>\infty</math>. В частности{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 3. Неподвижные точки преобразования, с. 14}}{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 385}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 132—133}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 119—120}}:
* имеется хотя бы одна неподвижная точка <math>z = 0</math> тогда и только тогда, когда <math>b = 0</math>, поскольку <math>0 = L(0) = \frac{b}{d}</math>;
* имеется хотя бы одна неподвижная точка <math>z = \infty</math> тогда и только тогда, когда <math>c = 0</math>, поскольку <math>\infty = L(\infty) = \frac{a\infty + b}{c\infty + d}</math>.

=== Неподвижные точки целого линейного преобразования ===
Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:
* целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 133}}.

Дробно-линейная функция <math>L(z)</math> — целая линейная, если её постоянные <math>c = 0</math> и <math>d \neq 0</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 132}}:
: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = l(z) = \frac{a}{d}z + \frac{b}{d}</math>.

В любом случае, поскольку всегда <math>l(\infty) = \infty</math>, у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка <math>\xi_1 = \infty</math> расширенной комплексной плоскости <math>\widehat{\C}</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 132}}.

'''1. Случай <math>a \neq d</math>.''' Точка 
: <math>\xi_2 = \frac {\frac{b}{d}} {1 - \frac{a}{d}} = \frac{b}{d - a}</math> —
конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования
: <math>w = \frac{a}{d}z + \frac{b}{d}</math>,
задаваемая этим уравнением{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 132}}.

'''2. Случай <math>a = d</math>.''' Если <math>\frac{a}{d} = 1</math> и <math>\frac{b}{d} \neq 0</math>, то у целого линейного преобразования
: <math>w = z + \frac{b}{d}</math>
нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при <math>\frac{a}{d} \neq 1</math>, <math>\frac{b}{d} \neq 0</math> и <math>\frac{a}{d} \to 1</math> конечная неподвижная точка
: <math>\xi_1 = \frac {\frac{b}{d}} {1 - \frac{a}{d}} = \frac{b}{d - a}</math>
стремится к бесконечно удалённой{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 132}}.

=== Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования ===
Дробно-линейная функция <math>L(z)</math> считается '''''дробно-линейной функцией общего вида''''', если её постоянная <math>c \neq 0</math>. У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:
: <math>z = \infty</math> и <math>z = -\frac{d}{c}</math>,
так как
: <math>L(\infty) = \frac{a}{c} \neq \infty</math> и <math>L(-\frac{d}{c}) = \infty \neq -\frac{d}{c}</math>
соответственно{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 132—133}}.

Теперь, решая в общем случае уравнение
: <math>z = \frac{az + b}{cz + d}</math>, то есть <math>cz^2 + (d - a)z - b = 0</math>,
при
: <math>z \neq \infty</math> и <math>z \neq -\frac{d}{c}</math>,
получим{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 133}}:
: <math>\xi_1, \xi_2 = \frac {a - d \pm \sqrt {(a - d)^2 + 4bc}} {2c} =</math>
:: <math>= \frac {a - d \pm \sqrt {(a + d)^2 - 4(ad - bc)}} {2c}</math>.

Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеем{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 14}}:
: <math>\xi_1, \xi_2 = \frac {a - d \pm \sqrt {(a + d)^2 - 4}} {2c}</math>.

Имеем два случая.
* [[Дискриминант]] не равен нулю:
:: <math>(a - d)^2 + 4bc \neq 0</math>,
: в унимодулярном случае{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 14}}:
:: <math>(a + d)^2 - 4 \neq 0</math>.
: Тогда существуют две различные конечные неподвижные точки{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 133}}.
* Дискриминант равен нулю:
:: <math>(a - d)^2 + 4bc = 0</math>,
: в унимодулярном случае{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 14}}:
:: <math>(a + d)^2 - 4 = 0</math>, то есть <math>a + d = \pm2</math>.
: Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка
:: <math>\xi_1 = \frac{a - d}{2c}</math>,
: которая равна нулю тогда и только тогда, когда <math>a = d</math>, <math>c \neq 0</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 133}}.

=== Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам ===

Только '''''тождественное''''' дробно-линейное преобразование <math>U(z) = z</math> имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 133}}:
* два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 133—134}}
| Содержание    =
Пусть значения двух дробно-линейных преобразований <math>L(z)</math> и <math>\Lambda(z)</math> совпадают в трёх различных точках <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math>:
: <math>L(z_k) = \Lambda(z_k) = w_k</math>, <math>k = 1, 2, 3</math>.

Тогда для обратного преобразования
: <math>\Lambda^{-1}(w_k) = z_k</math>,
и для последовательного выполнения преобразований <math>w = L(z)</math> и <math>z = \Lambda^{-1}(w)</math> получаем:
: <math>\Lambda^{-1} L(z_k) = z_k</math>,

Преобразование <math>\Lambda^{-1} L(z_k)</math> получилось тождественное, поскольку у него три различные неподвижные точки <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math>:
: <math>\Lambda^{-1}L = U</math>.

Отсюда, с одной стороны,
: <math>\Lambda(\Lambda^{-1}L) = \Lambda U = \Lambda</math>,
а с другой стороны, в силу [[Ассоциативность (математика)|ассоциативности]] последовательного выполнения преобразований, то же самое выражение
: <math>\Lambda(\Lambda^{-1}L) = (\Lambda\Lambda^{-1})L = UL = L</math>.

В итоге заключаем, что два дробно-линейных преобразования <math>L(z)</math> и <math>\Lambda(z)</math> равны:
: <math>\Lambda = L</math>.
}}

Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math> вместе с их образами <math>w_1</math>, <math>w_2</math> и <math>w_3</math>, причём такое преобразование единственное{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 134}}.

Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 53}}.

== Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам ==
=== Построение преобразования по трём конкретным точкам ===
Построим дробно-линейное преобразование <math>\Lambda(z)</math>, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math>, на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 134}}:
: <math>0 = \Lambda(z_1)</math>, <math>\infty = \Lambda(z_2)</math>, <math>1 = \Lambda(z_3)</math>.

Имеет место следующее утверждение{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 134}}:
* дробно-линейное преобразование <math>\Lambda(z)</math>, отображающее произвольные конечные комплексные точки <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math> в конкретные точки <math>0</math>, <math>\infty</math> и <math>1</math> соответственно, задаётся следующей функцией{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 134}}:
: <math>\Lambda(z) = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 134}}
| Содержание    =
Функция
: <math>w = \Lambda(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>
дробно-линейного преобразования:
* равна <math>0</math> при <math>z = z_1</math> тогда и только тогда, когда числитель дроби функции равен <math>a(z - z_1)</math>;
* равна <math>\infty</math> при <math>z = z_2</math> тогда и только тогда, когда знаменатель дроби функции равен <math>c(z - z_2)</math>,
поэтому функция имеет следующий вид:
: <math>w = \frac{a}{c} \frac{z - z_1}{z - z_2}</math>.

Далее, <math>1 = \Lambda(z_3)</math>, то есть
: <math>1 = \frac{a}{c} \frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}</math>,
откуда получаем функцию
: <math>w = \Lambda(z) = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.
}}

=== Построение преобразования по любым трём точкам ===
'''1.''' Сначала построим дробно-линейное преобразование <math>L(z)</math>, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math>, на которых преобразование имеет следующие конечные значения{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 134}}:
: <math>w_1 = L(z_1)</math>, <math>w_2 = L(z_2)</math>, <math>w_3 = L(z_3)</math>.

Имеет место следующее утверждение{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 134}}:
* дробно-линейное преобразование <math>w = L(z)</math>, отображающее произвольные конечные комплексные точки <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math> в произвольные конечные точки <math>w_1</math>, <math>w_2</math> и <math>w_3</math> соответственно, задаётся следующей [[Неявная функция|неявной функцией]]{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 135}}:
:: <math>\frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательства 1{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 134—135}} и 2{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 15}}
| Содержание    =
'''Доказательство 1.''' Согласно доказанному выше, функция
: <math>\Lambda_1(w) = \frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1}</math>
отображает произвольные конечные комплексные точки <math>w_1</math>, <math>w_2</math> и <math>w_3</math> в конкретные точки <math>0</math>, <math>\infty</math> и <math>1</math>. Следовательно, последовательное выполнение функций <math>\Lambda_1L(z)</math> отобразит комплексные точки <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math> в точки <math>0</math>, <math>\infty</math> и <math>1</math>:
: <math>\Lambda_1L(z) = \Lambda(z) = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.

Произведя замену <math>w = L(z)</math>, получаем:
: <math>\Lambda_1(w) = \Lambda(z)</math>,
то есть 
: <math>\frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.

'''Доказательство 2.''' Рассмотрим дробно-линейное преобразование
: <math>\frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.

Оно переводит произвольные конечные комплексные точки <math>z_1</math>, <math>z_2</math> и <math>z_3</math> в произвольные конечные точки <math>w_1</math>, <math>w_2</math> и <math>w_3</math> соответственно, поскольку:
* обе его части равны нулю при <math>z = z_1</math> и <math>w = w_1</math>;
* обе его части равны бесконечности при <math>z = z_2</math> и <math>w = w_2</math>;
* обе его части равны единице при <math>z = z_3</math> и <math>w = w_3</math>.
}}

'''2.''' Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек
<math>z_k</math> и <math>w_l</math>, <math>k, l = 1, 2, 3</math>,
конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим [[Мнемоника|мнемоническим правилом]]:
* в случае, если какая-то <math>z_{k_0} = \infty</math> (только одна, так как <math>\infty</math> одна на плоскости для z) или какая-то <math>w_{l_0} = \infty</math> (только одна, так как <math>\infty</math> одна на плоскости для w) или они обе вместе <math>z_{k_0} = w_{l_0} = \infty</math>, то тогда в уравнении
:: <math>\frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>
разности с бесконечными <math>z_{k_0}</math> и <math>w_{l_0}</math> заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 136}}.

Поскольку каждая из шести точек <math>z_k</math> и <math>w_l</math> входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знаком{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 54}}, то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка <math>z_1 = \infty</math>, то тогда, временно считая <math>z_1</math> конечной, заменим <math>z - z_1</math> на
: <math>\frac{z}{z_1} - 1</math>
и затем осуществим переход к пределу при <math>z_1 \to \infty</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 136}}.

=== Двойное отношение четырёх точек ===
'''''[[Двойное отношение|Двойное, или ангармоническое, отношением четырёх чисел или точек]]''''' — это числовая величина, равная отношению
: <math>(z_1, z_2, z_3, z_4) = \frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2} \frac{z_4 - z_2}{z_4 - z_1}</math>,
где <math>z_1, z_2, z_3, z_4</math> суть четыре произвольных различных конечных комплексных числа{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 136}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 139}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 12}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 113}}{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 87}}.

Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через <math>\lambda</math>, то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величин{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 87}}:
:<math>\lambda,  \frac{1}{\lambda}, 1 - \lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda - 1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda - 1}</math>.

Распространим это определение на случай бесконечной точки.

'''''Двойное отношением четырёх точек''''', одна из которых бесконечно удалённая, — это предел 
двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечности{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 136—137}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 139}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 12}}.

В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точек{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 137}}:
: <math>(\infty, z_2, z_3, z_4) = \frac{z_4 - z_2}{z_3 - z_2}</math>,
: <math>(z_1, \infty, z_3, z_4) = \frac{z_3 - z_1}{z_4 - z_1}</math>,
: <math>(z_1, z_2, \infty, z_4) = \frac{z_4 - z_2}{z_4 - z_1}</math>,
: <math>(z_1, z_2, z_3, \infty) = \frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}</math>.

Имеет место следующее утверждение, называемое '''''инвариантностью двойного отношения'''''{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 137}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 139}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 12}}:

* двойное отношением четырёх точек есть [[Инвариант (математика)|инвариант]] дробно-линейного преобразования
: <math>w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательства 1{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 137}} и 2{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 139}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 12}}
| Содержание    =
Доказательство проведём двумя разными способами. Пусть:
* <math>w = L(z)</math> — произвольное дробно-линейное преобразование;
* <math>z_1, z_2, z_3, z_4</math> — четыре произвольные различные точки комплексной плоскости;
* <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> — образы соответственно точек <math>z_1, z_2, z_3, z_4</math> при преобразовании <math>w = L(z)</math>.

'''Доказательство 1.''' Построим дробно-линейное преобразование по трём точкам: три из четырёх точек <math>z_1, z_2, z_4</math> отображаются преобразованием <math>w = L(z)</math> в три точки <math>w_1, w_2, w_4</math> соответственно, то есть
: <math>\frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_4 - w_2}{w_4 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_4 - z_2}{z_4 - z_1}</math>,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Поскольку <math>w_3 = L(z_3)</math>, то при <math>z = z_3</math> получаем:
: <math>\frac{w_3 - w_1}{w_3 - w_2} \frac{w_4 - w_2}{w_4 - w_1} = \frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2} \frac{z_4 - z_2}{z_4 - z_1}</math>,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Отсюда сразу по определению следует, что
: <math>(w_1, w_2, w_3, w_4) = (z_1, z_2, z_3, z_4)</math>.

'''Доказательство 2.''' Найдём формулу для разности образов точек дробно-линейного преобразования <math>w_3 - w_1</math>, формулы остальных разностей вычисляются аналогично:
: <math>w_3 - w_1 = \frac{az_3 + b}{cz_3 + d} - \frac{az_1 + b}{cz_1 + d} = </math>.
:: <math>= \frac{ad - bc}{(cz_3 + d)(cz_1 + d)} (z_3 - z_1)</math>.

Следовательно,
: <math>\frac{w_3 - w_1}{w_3 - w_2} \frac{w_4 - w_2}{w_4 - w_1} = \frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2} \frac{z_4 - z_2}{z_4 - z_1}</math>,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.
}}

== Нормальная форма дробно-линейного преобразования ==
=== Общий случай двух различных конечных неподвижных точек ===
Итак, если не учитывать тождественное преобразование <math>z = z</math>, то дробно-линейного преобразования разделены на два класса{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}}:
* имеющие две неподвижные точки <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math>;
* имеющие одну неподвижную точку <math>\xi_1</math>.

Для общего случая дробно-линейного преобразования имеет место следующее утверждение{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90—91}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 120}}{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 385—386}}:
* дробно-линейное преобразование
:: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
: в общем случае имеющее при условиях <math>c \neq 0</math> и <math>(a - d)^2 + 4bc \neq 0</math> две различные конечные неподвижные точки
:: <math>\xi_1, \xi_2 = \frac {a - d \pm \sqrt {(a - d)^2 + 4bc}} {2c} =</math>
::: <math>= \frac {a - d \pm \sqrt {(a + d)^2 - 4(ad - bc)}} {2c}</math>,
: можно представить в неявной форме как
:: <math>\frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>, где <math>K = \frac{a - c\xi_1}{a - c\xi_2} \neq 0; 1</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательства 1{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90—91}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 120}} и 2{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}}
| Содержание    =
По условию, дробно-линейное преобразование <math>w = L(z)</math>:
* переводит неподвижную точку <math>\xi_1</math> в точку <math>\xi_1</math>;
* переводит неподвижную точку <math>\xi_2</math> в точку <math>\xi_2</math>.

Чтобы полностью определить преобразование <math>w = L(z)</math>, выберем третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:
* переводит бесконечную точку <math>\infty</math> в точку <math>\frac{a}{c}</math>.

'''Доказательство 1.''' Так как две различные неподвижные точки <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math> можно [[Отношение порядка|упорядочить]] двумя разными способами, то рассмотрим два случая.

'''1.''' Пусть
: <math>v = S(w) = \frac{w - \xi_1}{w - \xi_2}</math>, <math>y = S(z) = \frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math> —
два дробно-линейных преобразования, и <math>z = S^{-1}(y)</math> — преобразование, обратное к преобразованию <math>y = S(z)</math>. Тогда получаем:
: <math>v = SLS^{-1}(y)</math>.
Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего <math>y</math> в <math>v</math>, две неподвижные точки <math>0</math> и <math>\infty</math>:
: <math>SLS^{-1}(0) = SL(\xi_1) = S(\xi_1) = 0</math>,
: <math>SLS^{-1}(\infty) = SL(\xi_2) = S(\xi_2) = \infty</math>,
то оно обязательно имеет вид
: <math>v = Ky</math>,
где <math>K</math> — некоторая комплексная постоянная,
: <math>Ky = SLS^{-1}</math>, <math>L = S^{-1}KyS</math>.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:
: <math>\frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>.

Это преобразование имеет две неподвижные точки <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math>. Так как оно переводит третью точку <math>\infty</math> в точку <math>\frac{a}{c}</math>:
: <math>\frac{\frac{a}{c} - \xi_1}{\frac{a}{c} - \xi_2} = K</math>, то есть <math>K = \frac{a - c\xi_1}{a - c\xi_2}</math>,
то эта неявная форма будет представлять дробно-линейное преобразование <math>L</math>. Причём  <math>K \neq 1</math>, поскольку <math>\xi_1 \neq \xi_2</math>, и <math>K \neq 0</math>, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную.

'''2.''' Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования <math>L</math>
: <math>\frac{w - \xi_2}{w - \xi_1} = \frac{1}{K}\frac{z - \xi_2}{z - \xi_1}</math>,
где
<math>\frac{1}{K} = \frac{a - c\xi_2}{a - c\xi_1}</math>, <math>K \neq 0; 1</math> —
постоянная.

'''Доказательство 2.''' Построим дробно-линейное преобразование <math>L</math> по этим шести точкам, подставив их в уравнение 
: <math>\frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.

Сделать это можно двумя основными способами:
* <math>z_1 = \xi_1</math>, <math>w_1 = \xi_1</math>, <math>z_2 = \xi_2</math>, <math>w_2 = \xi_2</math>, <math>z_3 \to \infty</math>, <math>w_3 = \frac{a}{c}</math>;
* <math>z_1 = \xi_2</math>, <math>w_1 = \xi_2</math>, <math>z_2 = \xi_1</math>, <math>w_2 = \xi_1</math>, <math>z_3 \to \infty</math>, <math>w_3 = \frac{a}{c}</math>.

При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования <math>L</math>:
: <math>\frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} \frac{\frac{a}{c} - \xi_2}{\frac{a}{c} - \xi_1} = \frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>,
: <math>\frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>, где <math>K = \frac{a - c\xi_1}{a - c\xi_2}</math>, <math>K \neq 0; 1</math>.

При втором:
: <math>\frac{w - \xi_2}{w - \xi_1} = \frac{1}{K}\frac{z - \xi_2}{z - \xi_1}</math>, где <math>\frac{1}{K} = \frac{a - c\xi_2}{a - c\xi_1}</math>, <math>K \neq 0; 1</math>.

Следует иметь в виду, что вид формул для <math>K</math> зависит не только от порядка неподвижных точек, но еще и от выбранной третьей точки преобразования.
}}

=== Определение нормальной формы и множителя ===
Неявная форма
: <math>\frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K_1\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>
называется '''''нормальной формой, или каноническим видом''''', дробно-линейное преобразование с двумя различными конечными неподвижными точками, а постоянная <math>K</math> называется '''''множителем''''' дробно-линейного преобразования{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 120}}{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}.

Неявная форма представления дробно-линейного преобразования через множитель
: <math>\frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>
обладает следующим преимуществом по сравнению с обычным явным представлением
: <math>w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>:
любую степень дробно-линейного преобразования <math>L^n</math> в неявной форме имеет простой вид. Степень преобразования в явном виде очень сложно выражается через постоянные <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> и <math>d</math>. Наоборот, действие преобразования самого на себя в неявной форме имеет простой вид, например{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26}}:
: <math>L^2: (v = Ky)^2</math>,
: <math>L^2: v = K(Ky) = K^2y</math>,
: <math>L^2: \frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K^2\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>.

Аналогично{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26}}
: <math>L^n: \frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K^n\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>;
: <math>L^{-1}: \frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K^{-1}\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>;
: <math>(L^{-1})^n: \frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K^{-n}\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>.

Забегая вперёд, можно сказать, что в частных случаях дробно-линейного преобразования неявная форма степени также имеет простой вид{{sfn|''Евграфов М. А.'' Аналитические функции, 1991|loc=с. 363}}:
* случай одной конечной и одной бесконечной неподвижных точек:
:: <math>L^n: w - \xi_1 = K^n(z - \xi_1)</math>;;
:: <math>(L^{-1})^n: w - \xi_1 = K^{-n}(z - \xi_1)</math>;;
* случай совпадающих конечных неподвижных точек:
:: <math>L^n: \frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{z - \xi_1} + nh</math>;
:: <math>(L^{-1})^n: \frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{z - \xi_1} - nh</math>;
* случай совпадающих бесконечных неподвижных точек:
:: <math>L^n: w = z + nh</math>;
:: <math>(L^{-1})^n: w = z - nh</math>.

=== Выражения множителя через постоянные преобразования ===
Имеет место следующее утверждение:
* множитель <math>K</math>, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, выражаются двумя способами через постоянные дробно-линейного преобразования:
:* через '''''симметричную функцию''''' <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math>, также не зависящую от порядка этих неподвижных точек{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}}:
::: <math>K + \frac{1}{K} = \frac{(a + d)^2}{ad - bc} - 2</math>,
:: в унимодулярном случае:
::: <math>K + \frac{1}{K} = (a + d)^2 - 2</math>,
:: или
::: <math>\sqrt{K} + \frac{1}{\sqrt{K}} = a + d</math>;

:* непосредственно{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 121}}:
::: <math>K = \frac{a + d - \sqrt {(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}{a + d + \sqrt {(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}</math>,
:: в унимодулярном случае{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}}:
::: <math>K = \frac{a + d - \sqrt {(a + d)^2 - 4}}{a + d + \sqrt {(a + d)^2 - 4}}</math>.

: В любом случае при унимодулярном дробно-линейном преобразовании множитель <math>K</math> зависят только от суммы двух постоянных преобразования <math>a + d</math>{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 25}}.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательства 1{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}} и 2{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 121}}
| Содержание    =
'''Доказательство 1.''' Выразить множитель <math>K</math> через постоянные дробно-линейного преобразования
: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
удобнее с помощью симметричной функции <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math>
: <math>K + \frac{1}{K} = \frac{a - c\xi_1}{a - c\xi_2} + \frac{a - c\xi_2}{a - c\xi_1} =</math>
: <math>= \frac{2a^2 - 2ac(\xi_1 + \xi_2) + c^2(\xi_1^2 + \xi_2^2)}{a^2 - ac(\xi_1 + \xi_2) + c^2\xi_1\xi_2}</math>.

Вспоминая [[формулы Виета]] и то, что уравнение
: <math>cz^2 + (d - a)z - b = 0</math>
имеет корни <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math>, получаем:
: <math>\xi_1 + \xi_2 = \frac{a - d}{c}</math>, <math>\xi_1\xi_2 = -\frac{b}{c}</math>,
откуда
: <math>\xi_1^2 + \xi_2^2 = \frac{(a - d)^2 + 2bc}{c^2}</math>,
: <math>K + \frac{1}{K} = \frac{a^2 + d^2 + 2bc}{ad - bc} =</math>
:: <math>= \frac{(a + d)^2 - 2(ad - bc)}{ad - bc} =</math>
:: <math>= \frac{(a + d)^2}{ad - bc}- 2</math>.

'''Доказательство 2.''' Подставляя в выражение для <math>K</math>
: <math>K = \frac{a - c\xi_1}{a - c\xi_2}</math>,
значения
: <math>\xi_1 = \frac {a - d + \sqrt {(a - d)^2 + 4bc}} {2c}</math>,
: <math>\xi_2 = \frac {a - d - \sqrt {(a - d)^2 + 4bc}} {2c}</math>,
получаем:
: <math>K = \frac{a + d - \sqrt {(a - d)^2 + 4bc}}{a + d + \sqrt {(a - d)^2 + 4bc}} =</math>
:: <math>= \frac{a + d - \sqrt {(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}{a + d + \sqrt {(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}</math>.
}}

== Классификация дробно-линейных преобразований ==
=== Две различные неподвижные точки, одна бесконечная === 
Имеет место следующее утверждение{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}}:
* [[Целая функция|целое]] [[Линейная функция|линейное преобразование]]
:: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{d}</math>,
:имеющее при условиях <math>c = 0</math> и <math>a \neq d</math> и унимодулярной нормировке <math>ad = 1</math> две различные неподвижные точки
:: <math>\xi_1 = \frac{b}{d-a}</math> и <math>\xi_2 = \infty</math>,
:можно представить в неявной нормальной форме как
:: <math>w - \xi_1 = K(z - \xi_1)</math>,
: где <math>K = \frac{a}{d} \neq 1</math> — постоянная, причём также <math>K \neq 0</math>, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную,
:: <math>K + \frac{1}{K} = \frac{a}{d} + \frac{d}{a} = \frac{a^2 + d^2}{ad} =</math>.
::: <math>= \frac{(a + d)^2 - 2ad}{ad} = \frac{(a + d)^2}{ad} - 2</math>,
: в унимодулярном случае, как и для двух различных конечных неподвижных точек,
:: <math>K + \frac{1}{K} = (a + d)^2 - 2</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательства 1{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90—91}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 120}} и 2{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 25, 26}}
| Содержание    =
По условию, целое линейное преобразование <math>w = L(z)</math>:
* переводит неподвижную точку <math>\xi_1</math> в точку <math>\xi_1</math>;
* переводит неподвижную точку <math>\xi_2 = \infty</math> в точку <math>\xi_2 = \infty</math>.

Чтобы полностью определить преобразование <math>w = L(z)</math>, выберем общую третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:
* переводит произвольную точку <math>z_0</math> в точку <math>\frac{az_0 + b}{d}</math>.

'''Доказательство 1.''' Так как две различные неподвижные точки <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math> можно [[Отношение порядка|упорядочить]] двумя разными способами, то рассмотрим два случая.

'''1.''' Пусть
: <math>v = S(w) = w - \xi_1</math>, <math>y = S(z) = z - \xi_1</math> —
два целых линейных преобразования, и <math>z = S^{-1}(y)</math> — преобразование, обратное к преобразованию <math>y = S(z)</math>. Тогда получаем:
: <math>v = SLS^{-1}(y)</math>.
Поскольку у последнего целого линейного преобразования, отображающего <math>y</math> в <math>v</math>, две неподвижные точки <math>0</math> и <math>\infty</math>:
: <math>SLS^{-1}(0) = SL(\xi_1) = S(\xi_1) = 0</math>,
: <math>SLS^{-1}(\infty) = SL(\xi_2) = S(\xi_2) = \infty</math>,
то оно обязательно имеет вид <math>v = Ky</math>,
где <math>K</math> — некоторая комплексная постоянная,
: <math>Ky = SLS^{-1}</math>, <math>L = S^{-1}KyS</math>.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого целого линейного преобразования:
: <math>w - \xi_1 = K(z - \xi_1)</math>.

Это преобразование имеет две неподвижные точки <math>\xi_1</math> и <math>\infty</math>. Так как оно переводит третью произвольную точку <math>z_0</math> в точку <math>\frac{az_0 + b}{d}</math>:
: <math>\frac{az_0 + b}{d} - \xi_1 = K(z_0 - \xi_1)</math>,  то есть <math>K = \frac{az_0 + b - d\xi_1}{d(z_0 - \xi_1)}</math>,
то тогда эта неявная форма будет представлять целое линейное преобразование <math>L.</math>

'''2.''' Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования <math>L</math>
: <math>\frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{K}\frac{1}{z - \xi_1}</math>,
где <math>\frac{1}{K} = \frac{d(z_0 - \xi_1)}{az_0 + b - d\xi_1}</math> — постоянная.

'''Доказательство 2.''' Построим дробно-линейное преобразование <math>L</math> по этим шести точкам, подставив их в уравнение 
: <math>\frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.

Сделать это можно двумя основными способами:
* <math>z_1 = \xi_1</math>, <math>w_1 = \xi_1</math>, <math>z_2 \to \infty</math>, <math>w_2 \to \infty</math>, <math>z_3 = z_0</math>, <math>w_3 = \frac{az_0 + b}{d}</math>;
* <math>z_1 \to \infty</math>, <math>w_1 \to \infty</math>, <math>z_2 = \xi_1</math>, <math>w_2 = \xi_1</math>, <math>z_3 = z_0</math>, <math>w_3 = \frac{az_0 + b}{d}</math>.

При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования <math>L</math>:
: <math>\frac{w - \xi_1}{\frac{az_0 + b}{d} - \xi_1} = \frac{z - \xi_1}{z_0 - \xi_1}</math>,
: <math>w - \xi_1 = K(z - \xi_1)</math>, где <math>K = \frac{az_0 + b - d\xi_1}{d(z_0 - \xi_1)}</math>.

При втором:
: <math>\frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{K}\frac{1}{z - \xi_1}</math>, где <math>\frac{1}{K} = \frac{d(z_0 - \xi_1)}{az_0 + b - d\xi_1}</math>.

Здесь вид формулы для <math>K</math> зависит только от порядка неподвижных точек, так как третья точка выбрана общей.

Множитель <math>K</math>, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, просто выражаются через постоянные целого линейного преобразования. Подставляя в выражение для <math>K</math> значение <math>\xi_1 = \frac{b}{d-a}</math>, получаем:
: <math>K = \frac{az_0 + b - d\frac{b}{d-a}}{d(z_0 - \frac{b}{d-a})} = \frac{az_0d + bd - a^2z_0 - ab - bd}{d(z_0d - az_0 - b)} =</math>
: <math>= \frac{a(z_0d - az_0 - b)}{d(z_0d - az_0 - b)} = \frac{a}{d}</math>.

Аналогично
: <math>\frac{1}{K} = \frac{d}{a}</math>.

Очевидно, что
: <math>K + \frac{1}{K} = \frac{a}{d} + \frac{d}{a} = \frac{a^2 + d^2}{ad} =</math>.
:: <math>= \frac{(a + d)^2 - 2ad}{ad} = \frac{(a + d)^2}{ad} - 2</math>.
}}

=== Совпадающие неподвижные точки ===
Рассмотрим дробно-линейное преобразование с одной двойной неподвижной точкой, которую будем обозначать <math>\xi_1</math>. В этом случае не существует нормальной формы с множителем дробно-линейного преобразования, так как она превращается в тождество{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 91}}.

Имеет место следующее утверждение{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 92}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 30—31}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 123}}{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}:
* дробно-линейное преобразование
:: <math>\widehat{\C} \to \widehat{\C} : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>,
:имеющее при условиях <math>(a - d)^2 + 4bc = 0</math>, в случае унимодулярности <math>a + d = \pm2</math>, и <math>c \neq 0</math> двойную конечную неподвижную точку
:: <math>\xi_1 = \frac{a - d}{2c}</math>,
:можно представить в неявной нормальной форме как
:: <math>\frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{z - \xi_1} + h</math>,
: где <math>h = \frac{2c}{a + d} \neq 0</math> — постоянная, в случае унимодулярности <math>h = \pm c</math>, причём при <math>a + d = 2</math> постоянная <math>h = c</math>, а при <math>a + d = -2</math> постоянная <math>h = -c</math>.

: При <math>c = 0</math> и <math>a = d</math>, в случае унимодулярности <math>a = d = \pm1</math>, имеем двойную бесконечно удалённую неподвижную точку <math>\xi_1 = \infty</math> и явную нормальную форму, совпадающую с самим преобразованием <math>L</math> в обычном виде:
:: <math>w = z + \frac{b}{d} = w = z + h</math>,
: в случае унимодулярности
:: <math>w = z \pm b</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательства 1{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=§ 2. Дробно-линейные преобразования, с. 91—92}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=§ 1. Линейная функция, 122—123}} и 2{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 30—31}}
| Содержание    =
'''Случай <math>c \neq 0</math>.''' Чтобы полностью определить преобразование <math>w = L(z)</math>, выберем три точки <math>z</math> и три их образа <math>w</math>:
* неподвижная точка <math>\xi_1</math> переводится в точку <math>\xi_1</math>;
* точка <math>\infty</math> переводится в точку <math>\frac{a}{c}</math>;
* точка <math>-\frac{d}{c}</math> переводится в точку <math>\infty</math>.

'''Доказательство 1.''' Так как можно сделать так, чтобы дробно-линейное преобразование <math>v = SLS^{-1}(y)</math> имело единственную неподвижную точку бесконечность или нуль, то рассмотрим оба случая.

'''1.''' Пусть
: <math>v = S(w) = \frac{1}{w - \xi_1}</math>, <math>y = S(z) = \frac{1}{z - \xi_1}</math> —
два дробно-линейных преобразования, и <math>z = S^{-1}(y)</math> — преобразование, обратное к преобразованию <math>y = S(z)</math>. Тогда получаем:
: <math>v = SLS^{-1}(y)</math>.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего <math>y</math> в <math>v</math>, только одна неподвижная точка <math>\infty</math>:
: <math>SLS^{-1}(0) = SL(\infty) = S\left( \frac{a}{c} \right) = \frac{1}{\frac{a}{c} - \xi_1}</math>,
: <math>SLS^{-1}(\infty) = SL(\xi_1) = S(\xi_1) = \infty</math>,
то оно обязательно имеет вид <math>v = y + h</math>,
где <math>h</math> — некоторая комплексная постоянная, <math>h \neq 0</math>, поскольку тождественное преобразование не рассматривается,
: <math>y + h = SLS^{-1}</math>, <math>L = S^{-1}(y + h)S</math>.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:
: <math>\frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{z - \xi_1} + h</math>.

Это преобразование переводит одну неподвижную точки <math>\xi_1</math> саму в себя, а также точку <math>\infty</math> в <math>\frac{a}{c}</math> и точку <math>-\frac{d}{c}</math> <math>\infty</math>. Подставляя последние две точки по-очереди в неявную форму, получаем:
: <math>\frac{1}{\frac{a}{c} - \xi_1} = h</math>, то есть <math>h = \frac{c}{a - c\xi_1} = \frac{c}{a - c\frac{a - d}{2c}} = \frac{2c}{a +d}</math>,
: <math>0 = \frac{1}{-\frac{d}{c} - \xi_1} + h</math>, то есть <math>h = \frac{c}{d - c\xi_1} = \frac{c}{d - c\frac{a - d}{2c}} = \frac{2c}{a + d}</math>,
и неявная форма
: <math>\frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{z - \xi_1} + \frac{2c}{a + d}</math>
представляет дробно-линейное преобразование <math>L</math>.

'''2.''' Пусть
: <math>v = S(w) = w - \xi_1</math>, <math>y = S(z) = z - \xi_1</math> —
два целых линейных преобразования, и <math>z = S^{-1}(y)</math> — преобразование, обратное к преобразованию <math>y = S(z)</math>. Тогда получаем:
: <math>v = SLS^{-1}(y)</math>.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего <math>y</math> в <math>v</math>, только одна неподвижная точка <math>0</math>:
: <math>SLS^{-1}(0) = SL(\xi_1) = S(\xi_1) = 0</math>,
: <math>SLS^{-1}(\infty) = SL(\infty) = S\left( \frac{a}{c} \right) = \frac{a}{c} - \xi_1</math>,
то оно обязательно имеет вид
: <math>v = \frac{h_1y}{h_2y + h_1}</math>,
где <math>h_1</math> и <math>h_2</math> — некоторые комплексные постоянные,
: <math>\frac{h_1y}{h_2y + h_1} = SLS^{-1}</math>, <math>L = S^{-1}\left( \frac{h_1y}{h_2y + h_1} \right)S</math>.

Преобразуем эту дробно-линейную функцию:
: <math>v = \frac{h_1y}{h_2y + h_1}</math>, <math>\frac{1}{v} = \frac{h_2y + h_1}{h_1y}</math>,
: <math>\frac{1}{v} = \frac{1}{y} + \frac{h_2}{h_1}</math>, <math>\frac{1}{v} = \frac{1}{y} + h</math>,
где <math>h = \frac{h_2}{h_1}</math> — некоторая комплексная постоянная.

Получаем, что второй случай сведён к первому.

'''Доказательство 2.''' Построим дробно-линейное преобразование <math>L</math> по этим шести точкам, подставив их в уравнение 
: <math>\frac{w - w_1}{w - w_2} \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}</math>.

Сделать это можно двумя основными способами:
* <math>z_1 \to \infty</math>, <math>w_1 = \frac{a}{c}</math>, <math>z_2 = \xi_1</math>, <math>w_2 = \xi_1</math>, <math>z_3 = -\frac{d}{c}</math>, <math>w_3 \to \infty</math>;
* <math>z_1 = \xi_1</math>, <math>w_1 = \xi_1</math>, <math>z_2 \to \infty</math>, <math>w_2 = \frac{a}{c}</math>, <math>z_3 = -\frac{d}{c}</math>, <math>w_3 \to \infty</math>.

При первом способе получаем следующую неявную нормальную форму преобразования <math>L</math>:
: <math>\frac{w - \frac{a}{c}}{w - \xi_1} = -\frac{\frac{d}{c} + \xi_1}{z - \xi_1}</math>.

Вычтем из левой и правой частей этого уравнения единицу:
: <math>\frac{\xi_1 - \frac{a}{c}}{w - \xi_1} = -\frac{\xi_1 + \frac{d}{c}}{z - \xi_1} - 1</math>.

Принимая во внимание, что
: <math>\xi_1 - \frac{a}{c} = \frac{a - d}{2c} - \frac{a}{c} = -\frac{a + d}{2c}</math>,
: <math>\xi_1 + \frac{d}{c} = \frac{a - d}{2c} + \frac{d}{c} = \frac{a + d}{2c}</math>,
получаем  неявную нормальную форму
: <math>-\frac{\frac{a + d}{2c}}{w - \xi_1} = -\frac{\frac{a + d}{2c}}{z - \xi_1} - 1</math>,
: <math>\frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{z - \xi_1} + \frac{2c}{a + d}</math>.

При втором способе получаем то же самое, что и при первом.

'''Случай <math>c = 0</math>.''' Когда <math>c = 0</math> и <math>a = d</math>, возникают совпадающие бесконечно удалённые неподвижные точки <math>\xi_1 = \infty</math>, при этом нормальная форма
: <math>w = z + \frac{b}{d}</math>
совпадает с самим преобразованием <math>L</math> в исходном виде.
}}

=== Четыре типа дробно-линейных преобразований ===
Классификация дробно-линейных преобразований строится{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 24}}:
* на количестве неподвижных точек;
* на форме записи функции дробно-линейного преобразования по его неподвижным точкам.

Для классификации дробно-линейных преобразований привлечём [[Комплексное число#Показательная форма|показательную, или тригонометрическую, форму]]{{sfn|''Евграфов М. А.'' Аналитические функции, 1991|loc=с. 10}} комплексного числа. Пусть
: <math>K = re^{i\varphi}</math>,
где вещественное число <math>r = |K| \geqslant 0</math> — [[Комплексное число#Модуль|модуль, или абсолютная величина]] комплексного числа <math>K</math>, а вещественное число <math>-\pi < \varphi = \arg K \leqslant \pi</math> — [[Комплексное число#Аргумент|главное значение аргумента]] комплексного числа <math>K</math>{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Комплексное число, 1979|loc=стб. 1009}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 14}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=с. 20—21, 80}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=§ 1. Комплексная плоскость, с. 11}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 1. Комплексные числа, с. 5—6}}.

Тогда можно определить следующие четыре типа дробно-линейных преобразований{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26—32}}:
* случай различных неподвижных точек:
:* <math>K = r</math>, <math>r > 0</math>, <math>r \neq 1</math>, — '''''гиперболическое''''' дробно-линейное преобразование, [[Подобие|подобное преобразование]] с центром в начале координат;
:* <math>K = e^{i\varphi}</math>, <math>e^{i\varphi} \neq 1</math>, — '''''эллиптическое''''' дробно-линейное преобразование, [[Поворот|вращение]] около начала координат;
:* <math>K = re^{i\varphi}</math>, <math>r > 0</math>, <math>r \neq 1</math>, <math>e^{i\varphi} \neq 1</math>, — '''''локсодромическое''''' дробно-линейное преобразование, [[Композиция функций|композиция]] гиперболического и эллиптического преобразований;
* случай одной неподвижной точки:
:* <math>K = 1</math> — '''''параболическое''''' дробно-линейное преобразование, это [[Параллельный перенос|перенос]].

Для классификации дробно-линейных преобразований также привлечём два семейства окружностей при двух различных неподвижных точках{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 385—386}}:
* семейство всех окружностей <math>\Sigma</math>, проходящих через обе неподвижные точки <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math>{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 27}};
* семейство всех окружностей <math>\Sigma^\prime</math>, ортогональных к окружностям первого семейства <math>\Sigma</math>{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 28}}.

При единственной неподвижной точке окружности семейства <math>\Sigma</math> превращаются во все окружности, имеющие в неподвижной точке <math>\xi_1</math> общую касательную, а семейство окружностей <math>\Sigma^\prime</math> исчезает{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 31}}.

Соберём в следующей таблице простейшие сведения о четырёх типах дробно-линейных преобразований{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26—32}}.

{| class="wikitable" style="border:3px solid #a2a9b1; font-size:90%;"
|+ Четыре типа дробно-линейных преобразований

|-style="text-align:center; background:#eaecf0"
| 
| '''Гиперболическое'''
| '''Эллиптическое'''
| '''Локсодромическое'''
| '''Параболическое'''

|-style="text-align:center; background:#eaecf0"
| colspan="5" | Нормальная форма общего случая <math>w = \frac{az + b}{cz + d}</math>

|-style="text-align:center"
| Бесконечной неподвижной точки нет{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}
| colspan="3" | <math>\frac{w - \xi_1}{w - \xi_2} = K\frac{z - \xi_1}{z - \xi_2}</math>
| <math>\frac{1}{w - \xi_1} = \frac{1}{z - \xi_1} + h</math>

|-style="text-align:center"
| Бесконечная неподвижная точка есть{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}
| colspan="3" | <math>w - \xi_1 = K(z - \xi_1)</math>
| <math>w = z + h</math>

|-style="text-align:center"
| Ограничения на <math>K</math> и <math>h</math>{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}
| <math>K \neq 1,</math> <math>K > 0</math>
| <math>K \neq 1,</math> <math>|K| = 1</math>
| <math>|K| \neq 1,</math> <math>\operatorname{Im} K \neq 0</math> или <math>K < 0</math>
| <math>h \neq 0</math>

|-style="text-align:center"
| Показательная форма <math>K</math>{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26—32}}
| <math>K = r,</math> <math>r > 0,</math> <math>r \neq 1</math>
| <math>K = e^{i\varphi},</math> <math>e^{i\varphi} \neq 1</math>
| <math>K = re^{i\varphi},</math> <math>r > 0,</math> <math>r \neq 1,</math> <math>e^{i\varphi} \neq 1</math>
| <math>K = 1</math>

|-style="text-align:center; background:#eaecf0"
| colspan="5" | Унимодулярный случай <math>w = \frac{az + b}{cz + d},</math> <math>ad - bc = 1</math>

|-style="text-align:center"
| Сумма постоянных <math>a + d</math>{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26—32}}
| <math>a + d</math> вещественное и <math>|a + d| > 2</math>
| <math>a + d</math> вещественное и <math>|a + d| < 2</math>
| <math>a + d</math> комплексное невещественное
| <math>a + d = \pm2</math>

|-style="text-align:center; background:#eaecf0"
| colspan="5" | Геометрические свойства

|-style="text-align:center"
| Неподвижные круги{{sfn|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|loc=стб. 386}}{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26—32}}
| Окружности семейства <math>\Sigma</math> и их внутренности отображаются сами в себя 
| Окружности семейства <math>\Sigma^\prime</math> и их внутренности отображаются сами в себя 
| Нет неподвижных кругов
| Отображаются сами в себя окружности семейства <math>\Sigma</math> и их внутренности

|-style="text-align:center"
| Неподвижные семейства кругов, сами круги не неподвижны{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26—32}}
| Окружности <math>\Sigma^\prime</math> и их внутренности отображаются в окружности <math>\Sigma^\prime</math> и их внутренности
| Нет таких неподвижных семейств кругов
| Окружности <math>\Sigma^\prime</math> и их внутренности отображаются в окружности <math>\Sigma^\prime</math> и их внутренности
| Нет таких неподвижных семейств кругов

|-style="text-align:center"
| Неподвижные окружности, внутренности которых отображаются вовне{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26—32}}
| Нет таких неподвижных окружностей
| При <math>\phi = \pi</math> окружности семейства <math>\Sigma</math> отображаются сами в себя, их внутренности — вовне
| При <math>\phi = \pi</math> окружности семейства <math>\Sigma</math> отображаются сами в себя, их внутренности — вовне
| Нет таких неподвижных окружностей

|-style="text-align:center"
| Геометрическое преобразование комплексной плоскости{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 26—32}}
| [[Подобие]]
| [[Поворот]]
| Комбинация подобия и поворота
| [[Параллельный перенос]]
|}

При дробно-линейном преобразовании через каждую точку расширенной комплексной плоскости (кроме неподвижных) проходит одна и только одна окружность неподвижного круга только в случае трёх типов преобразования из четырёх{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 31—32}}:
* гиперболического,
* эллиптического,
* параболического.

Причём, если <math>\infty</math> не является неподвижной точкой, то есть <math>c \neq 0</math>, тогда в каждом из этих трёх случаев существует одна и только одна окружность неподвижного круга, которая проходит через <math>\infty</math>, то есть одна неподвижная полуплоскость с границей-прямой, проходящей через <math>\infty</math>. Эта прямая проходит также через две конечные точки{{sfn|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|loc=§ 1. Линейное преобразование, с. 31—32}}:
: <math>w(\infty) = \frac{a}{c}</math>, <math>w\left(-\frac{d}{c}\right) = \infty</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Альфорс Л.'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986|3=
''[[Альфорс, Ларс|Альфорс Л.]]'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. [[Крушкаль, Самуил Лейбович|С. Л. Крушкаля]]. М.: [[Мир (издательство)|«Мир»]], 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [''Ahlfors Lars V.'' Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
}}
* {{h|''Гончаров В. Л.'' Элементарные функции действительного переменного, 1952|3=
''[[Гончаров, Василий Леонидович|Гончаров В. Л.]]'' Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // ''Энциклопедия элементарной математики''. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|П. С. Александрова]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевича]] и [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчина]]. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139.
}}
* {{h|''Долженко Е. П.'' Рациональная функция, 1984|3=
''Долженко Е. П.'' Рациональная функция // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 4 Ок—Сло. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
}}
* {{h|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д.'' Дробно-линейная функция, 1979|3=
''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д.'' Дробно-линейная функция // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 2 Д—Коо. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384.
}}
* {{h|''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М.'' Дробно-линейное отображение, 1979|3=
''Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., [[Чирка, Евгений Михайлович|Чирка Е. М.]]'' Дробно-линейное отображение // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 2 Д—Коо. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1979. 1104 стб., ил. С. 384—387.
}}
* {{h|''Евграфов М. А.'' Аналитические функции, 1991|3=
''[[Евграфов, Марат Андреевич|Евграфов М. А.]]'' Аналитические функции. Издание третье, перераб. и доп. М.: [[Наука (издательство)|«Наука»]], 1991. 448 с.: ил. ISBN 5-02-014200-X. 
}}
* {{h|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|3=
''[[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]'' Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: [[Наука (издательство)|«Наука»]], 1967. 486 с.: ил.
}}
* {{h|''Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер.'' Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля, 1987|3=
''[[Пенроуз, Роджер|Роджер Пенроуз]], [[Риндлер, Вольфганг|Вольфганг Риндлер]].'' Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ. Д. В. Гальцова и В. И. Хлебникова. М.: [[Мир (издательство)|«Мир»]], 1987. 528 с, ил. 
}}
* {{h|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|3=
''[[Привалов, Иван Иванович|Привалов И. И.]]'' Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
}}
* {{h|''Соломенцев Е. Д.'' Комплексное число, 1979|3=
''Соломенцев Е. Д.'' Комплексное число // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 2 Д—Коо. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 1007—1011.
}}
* {{h|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|3=
''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: [[Высшая школа (издательство)|«Высшая школа»]], 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
}}
* {{h|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|3=
''[[Стоилов, Симион|Стоилов С.]]'' Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского [[Берштейн, Израиль Фроимович|И. Берштейна]]. Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: «[[Издательство иностранной литературы]]», 1962. 364 с., ил. [''Stoilow S.'' Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
}}
* {{h|''Форд Р.'' Автоморфные функции, 1936|3=
''Форд Р.'' Автоморфные функции / Пер. с англ. М. М. Гринблюма и В. С. Рабинович под ред. М. М. Гринблюма М. — Л.: Объединённое н.-т. изд-во НКТП СССР. Гл. ред. общетехнической лит-ры и номографии, 1936. 341 с., ил. [Forg Lister R. Automorphic Functions. McGraw-Hill Book Company, 1929.]
}}
* {{h|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|3=
''[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: [[Наука (издательство)|«Наука»]], 1976. 320 с.: ил.
}}
* {{h|''Яглом И. М.'' Окружности, 1963|3=
''[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]]'' Окружности // ''Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия'' / Гл. ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин]]. Ред. книги 4: [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 448—517.
}}
* {{h|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|3=
''[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]], [[Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]]'' Геометрические преобразования // ''Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия'' / Гл. ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин]]. Ред. книги 4: [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
}}
* {{h|''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis, 2000|3=
''Tristan Needham''. Visual Complex Analysis. New York: Oxford University Press Inc., 2000. 592 p. ISBN 0198534477 (Hbk). ISBN 0198534469 (Pbk). [''{{iw|Нидхем, Тристан|Тристан Нидхем|en|Tristan Needham}}''. Визуальный комплексный анализ. Нью-йорк: [[Издательство Оксфордского университета]], 2000. 592 с., ил.]
}}


[[Категория:Элементарные функции комплексной переменной]]
[[Категория:Типы функций]]
[[Категория:Дроби]]