Просмотр кода страницы Жорданов тотиент

'''Жорданов тотиент''' или '''Функция Жордана'''<ref>Существуют и другие функции Жордана. Так, Мерзляков пишет: «'''Теорема'''. Существует „Функция Жордана“ <math>J: \N \to \N</math> со следующим свойством: всякая конечная группа ''G'' из <math>GL_n(\Complex)</math> содержит абелеву нормальную подгруппу ''A'' с индексом <math>\leqslant L(n)</math>.»</ref> — количество <math>k</math>-[[Кортеж (информатика)|кортежей]] натуральных чисел меньших либо равных <math>n</math>, образующих вместе с <math>n</math> набор [[Взаимно простые числа|взаимно простых]] (в совокупности) чисел. Функция является обобщением [[Функция Эйлера|функции Эйлера]], которая равна <math>J_1</math>. Функция носит имя французского математика [[Жордан, Мари Энмон Камиль|Жордана]].

== Определение ==
Функция Жордана [[Мультипликативная функция|мультипликативна]] и может быть вычислена по формуле
: <math>J_k(n)=n^k \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^k}\right) \,</math>, где <math>p</math> пробегает простые делители числа <math>n</math>.

== Свойства ==
* <math>\sum_{d|n } J_k(d) = n^k \, </math>,
: что можно записать на языке [[Свёртка Дирихле|свёрток Дирихле]] как{{sfn|Sándor, Crstici|2004|с=106}}
:: <math>J_k(n) \star 1 = n^k\,</math>,
: а через [[Функция Мёбиуса|обращения Мёбиуса]] как
:: <math>J_k(n) = \mu(n) \star n^k</math>.
: Поскольку [[Производящая функция последовательности# Производящая функция Дирихле|производящая функция Дирихле]] <math>\mu</math> равна <math>1/\zeta(s)</math>, а производящая функция Дирихле <math>n^k</math> равна <math>\zeta(s-k)</math>, ряд для <math>J_k</math> превращается в
:: <math>\sum_{n\ge 1}\frac{J_k(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)}</math>.

* {{не переведено 5|Средний порядок арифметической функции|Средний порядок||Average order of an arithmetic function}} для <math>J_k(n)</math> равен
: <math>\frac{n^k}{\zeta(k+1)}</math>.

* [[Пси-функция Дедекинда]] равна
: <math>\psi(n) = \frac{J_2(n)}{J_1(n)}</math>,
и при исследовании определения (обратим внимание, что каждый множитель в произведении
по простым является [[Круговой многочлен|круговым многочленом]] <math>p_{-k}</math>), можно показать, что арифметические функции, определённые как <math>\frac{J_k(n)}{J_1(n)}</math> или <math>\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}</math>,
являются целочисленными мультипликативными функциями.

* <math>
\sum_{\delta\mid n}\delta^sJ_r(\delta)J_s\left(\frac{n}{\delta}\right) = J_{r+s}(n)
</math>.       {{sfn|Holden, Orrison, Varble}}<ref>Формула Гегенбауэра </ref>

== Порядок групп матриц ==
[[Полная линейная группа]] матриц порядка <math>m</math> над <math>\Z_n</math> имеет порядок{{sfn|Andrica, Piticari|2004}}
: <math>
|\operatorname{GL}(m,\Z_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^m J_k(n).
</math>

[[Полная линейная группа|Специальная линейная группа]] порядка <math>m</math> над <math>\Z_n</math> имеет порядок
: <math>
|\operatorname{SL}(m,\Z_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^m J_k(n).
</math>

[[Симплектическая группа]] матриц порядка <math>m</math> над <math>\Z_n</math> имеет порядок
: <math>
|\operatorname{Sp}(2m,\Z_n)|=n^{m^2}\prod_{k=1}^m J_{2k}(n).
</math>

Первые две формулы были открыты Жорданом.

== Примеры ==
Списки в [[OEIS]]
J<sub>2</sub> в {{OEIS2C|A007434}},
J<sub>3</sub> в {{OEIS2C|A059376}},
J<sub>4</sub> в {{OEIS2C|A059377}},
J<sub>5</sub> в {{OEIS2C|A059378}},
от J<sub>6</sub> до J<sub>10</sub> в списках {{OEIS2C|A069091}} — {{OEIS2C|A069095}}.

Мультипликативные функции, определённые отношением
J<sub>2</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A001615}},
J<sub>3</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160889}},
J<sub>4</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160891}},
J<sub>5</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160893}},
J<sub>6</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160895}},
J<sub>7</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160897}},
J<sub>8</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160908}},
J<sub>9</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160953}},
J<sub>10</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160957}},
J<sub>11</sub>(n)/J<sub>1</sub>(n) в {{OEIS2C|A160960}}.

Примеры отношений J<sub>2k</sub>(n)/J<sub>k</sub>(n):
J<sub>4</sub>(n)/J<sub>2</sub>(n) в {{OEIS2C|A065958}},
J<sub>6</sub>(n)/J<sub>3</sub>(n) в {{OEIS2C|A065959}}
и
J<sub>8</sub>(n)/J<sub>4</sub>(n) в {{OEIS2C|A065960}}.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга
|автор=Dickson L. E. 
|ref=Dickson
|заглавие=[[History of the Theory of Numbers]], Vol. I
|origyear=1919
|год=1971
|издательство=[[Chelsea Publishing]]
|isbn=0-8284-0086-5
|jfm=47.0100.04
|страницы=147
}}
* {{книга
|заглавие=Problems in Analytic Number Theory
|автор=M. Ram Murty
|ref=Murty
|том=206
|серия=[[Graduate Texts in Mathematics]]
|издательство=[[Springer-Verlag]]
|год=2001
|isbn=0-387-95143-1
|zbl=0971.11001
|страницы=11
}}
* {{книга
|автор=Jozsef Sándor, Borislav Crstici
|ref=Sándor, Crstici
|заглавие=Handbook of number theory II
|место=Dordrecht
|издательство=Kluwer Academic
|год=2004
|isbn=1-4020-2546-7
|страницы=32–36
|zbl=1079.11001
}}
* {{статья 
|автор=Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble 
|ref=Holden, Orrison, Varble 
|ссылка=http://www.math.hmc.edu/~orrison/research/papers/totient.pdf 
|заглавие=Yet another Generalization of Euler's Totient Function 
|издание= 
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160305132124/https://www.math.hmc.edu/~orrison/research/papers/totient.pdf 
|archivedate=2016-03-05 
}}
* {{статья
|автор=Dorin Andrica, Mihai Piticari 
|ref=Andrica, Piticari 
|ссылка=http://www.emis.de/journals/AUA/acta7/Andrica%20.pdf
|издание=Acta universitatis Apulensis
|год=2004
|номер=7
|mr=2157944
|заглавие= On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions
}}

== Ссылки ==
* {{книга
|автор=Мерзляков Ю.И.
|заглавие=Рациональные группы
|место=Москва
|издательство= «Наука»
|год=1980
|серия=Современная алгебра
}}

{{ВС}}
{{Функция Эйлера}}

[[Категория:Модульная арифметика]]
[[Категория:Мультипликативные функции]]