Жорданов тотиент

Жорданов тотиент или Функция Жордана^[1] — количество $k$ -кортежей натуральных чисел меньших либо равных $n$ , образующих вместе с $n$ набор взаимно простых (в совокупности) чисел. Функция является обобщением функции Эйлера, которая равна $J_{1}$ . Функция носит имя французского математика Жордана.

Определение

Функция Жордана мультипликативна и может быть вычислена по формуле

J_{k} (n) = n^{k} \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p^{k}})

, где

p

пробегает простые делители числа

n

.

Свойства

$\sum_{d | n} J_{k} (d) = n^{k}$ ,

что можно записать на языке свёрток Дирихле какШаблон:Sfn

J_{k} (n) ⋆ 1 = n^{k}

,

а через обращения Мёбиуса как

J_{k} (n) = μ (n) ⋆ n^{k}

.

Поскольку производящая функция Дирихле

μ

равна

1 / ζ (s)

, а производящая функция Дирихле

n^{k}

равна

ζ (s - k)

, ряд для

J_{k}

превращается в

\sum_{n \geq 1} \frac{J_{k} (n)}{n^{s}} = \frac{ζ (s - k)}{ζ (s)}

.

Шаблон:Не переведено 5 для $J_{k} (n)$ равен

\frac{n^{k}}{ζ (k + 1)}

.

Пси-функция Дедекинда равна

ψ (n) = \frac{J_{2} (n)}{J_{1} (n)}

,

и при исследовании определения (обратим внимание, что каждый множитель в произведении по простым является круговым многочленом $p_{- k}$ ), можно показать, что арифметические функции, определённые как $\frac{J_{k} (n)}{J_{1} (n)}$ или $\frac{J_{2 k} (n)}{J_{k} (n)}$ , являются целочисленными мультипликативными функциями.

$\sum_{δ ∣ n} δ^{s} J_{r} (δ) J_{s} (\frac{n}{δ}) = J_{r + s} (n)$ . Шаблон:Sfn^[2]

Порядок групп матриц

Полная линейная группа матриц порядка $m$ над $ℤ_{n}$ имеет порядокШаблон:Sfn

| GL (m, ℤ_{n}) | = n^{\frac{m (m - 1)}{2}} \prod_{k = 1}^{m} J_{k} (n) .

Специальная линейная группа порядка $m$ над $ℤ_{n}$ имеет порядок

| SL (m, ℤ_{n}) | = n^{\frac{m (m - 1)}{2}} \prod_{k = 2}^{m} J_{k} (n) .

Симплектическая группа матриц порядка $m$ над $ℤ_{n}$ имеет порядок

| Sp (2 m, ℤ_{n}) | = n^{m^{2}} \prod_{k = 1}^{m} J_{2 k} (n) .

Первые две формулы были открыты Жорданом.

Примеры

Списки в OEIS J₂ в Шаблон:OEIS2C, J₃ в Шаблон:OEIS2C, J₄ в Шаблон:OEIS2C, J₅ в Шаблон:OEIS2C, от J₆ до J₁₀ в списках Шаблон:OEIS2C — Шаблон:OEIS2C.

Мультипликативные функции, определённые отношением J₂(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₃(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₄(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₅(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₆(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₇(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₈(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₉(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₁₀(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C, J₁₁(n)/J₁(n) в Шаблон:OEIS2C.

Примеры отношений J_2k(n)/J_k(n): J₄(n)/J₂(n) в Шаблон:OEIS2C, J₆(n)/J₃(n) в Шаблон:OEIS2C и J₈(n)/J₄(n) в Шаблон:OEIS2C.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Книга

Шаблон:ВС Шаблон:Навигационная полоса

↑ Существуют и другие функции Жордана. Так, Мерзляков пишет: «Теорема. Существует „Функция Жордана“ $J : ℕ \to ℕ$ со следующим свойством: всякая конечная группа G из $G L_{n} (ℂ)$ содержит абелеву нормальную подгруппу A с индексом $⩽ L (n)$ .»
↑ Формула Гегенбауэра

[1] Существуют и другие функции Жордана. Так, Мерзляков пишет: «Теорема. Существует „Функция Жордана“ $J : ℕ \to ℕ$ со следующим свойством: всякая конечная группа G из $G L_{n} (ℂ)$ содержит абелеву нормальную подгруппу A с индексом $⩽ L (n)$ .»

[2] Формула Гегенбауэра

[1]

[2]

Жорданов тотиент

Содержание

Определение

Свойства

Порядок групп матриц

Примеры

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Жорданов тотиент

Определение

Свойства

Порядок групп матриц

Примеры

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск