Пси-функция Дедекинда

Пси-функция Дедекинда — это мультипликативная функция, определённая на положительных целых числах как

$\psi (n)=n\prod _{p|n}(1+\frac{1}{p}),$

где произведение берётся по всем простым p, делящим n (по соглашению, ψ(1) является Шаблон:Не переведено 5, а потому имеет значение 1). Функцию предложил Рихард Дедекинд применительно к модулярным функциям.

Значение функции ψ(n) для первых нескольких целых чисел n:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (Шаблон:OEIS).

Значение функции ψ(n) больше n для всех n, больших 1, и чётно для всех n, больших 2. Если n свободно от квадратов, то ψ(n) = σ(n).

Функцию ψ можно определить, положив $\psi (p^n)=(p+1)p^{n-1}$ для степеней простого числа p и распространив затем это определение на все целые числа согласно мультипликативности. Это приводит к доказательству порождающей функции в терминах дзета-функции Римана, которая равна

$\sum \frac{\psi (n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}.$

Это является также следствием факта, что мы можем записать как свёртку Дирихле $\psi =\mathrm{I}\mathrm{d}*|\mu |$.

Высокие порядки

Обобщением к высоким порядкам через жорданов тотиент

${\psi }_k(n)=\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}=\frac{\frac{n^k}{\zeta (2k+1)}}{\frac{n^k}{\zeta (k+1)}}$

с рядом Дирихле

$\sum _{n⩾1}\frac{{\psi }_k(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}$.

Это также свёртка Дирихле степеней и квадратов функции Мёбиуса,

${\psi }_k(n)=n^k*{\mu }^2(n)$.

Если

${ϵ}_2=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\dots$

является характеристической функцией квадратов, другая свёртка Дирихле приводит к обобщённой σ-функции,

${ϵ}_2(n)*{\psi }_k(n)={\sigma }_k(n)$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья Section 3.13.2
• Шаблон:OEIS2C is ψ₂, Шаблон:OEIS2C is ψ₃, and Шаблон:OEIS2C is ψ₄

Ссылки

• Шаблон:MathWorld