Просмотр кода страницы Замощение (геометрия)

{{Другие значения|Замощение}}
[[Файл:PentagonTilings15.svg|thumb|400px|15 известных [[Пятиугольный паркет|пятиугольных паркетов]]<ref name="mw_pentille" />]]
{{Commonscat|Tessellations}}
'''Парке́т''' или '''замощение''' — разбиение [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] на [[многоугольник]]и или пространства на [[многогранник]]и без пробелов и наслоений.

Кроме паркетов на [[Евклидова плоскость|евклидовой плоскости]], в математике рассматриваются «паркеты» на [[Сфера (геометрия)|сфере]]{{Переход|#Сферические многогранники|text}}, [[Гиперболическая плоскость|гиперболической плоскости]]{{Переход|#Гиперболические паркеты|text}}, в трёхмерном и многомерном пространстве.

== Терминология ==

=== Замощения, мозаики, паркеты, разбиения ===
Паркеты иначе называются ''замощениями'', ''мозаиками'' ({{lang-en|tessellation, tiling}}), ''разбиениями плоскости'' ({{lang-en|partition}}), ''паркетажами''. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют [[Соты (геометрия)|со́тами]].

На странице 16 книги [[Грюнбаум, Бранко|Грюнбаума]] и {{нп5|Шепард, Джеффри Колин|Шепарда||Geoffrey Colin Shephard}} «Tilings and Patterns» (1987)<ref name="grunshep" /> находится следующее примечание:
{{начало цитаты}}
В математической литературе слова ''tessellation'', ''paving'', ''mosaic'' и ''parquetting'' используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — ''Pflasterung'', ''Felderung'', ''Teilung'', ''Parkettierung'' и ''Zerlegung''; французские слова — ''pavage'', ''carrelage'' и ''dallage''; русские слова — <tt>паркетаж</tt>, <tt>разбиение</tt> и <tt>замощение</tt>.
{{oq|en|
In mathematical literature, the words ''tessellation'', ''paving'', ''mosaic'' and ''parquetting'' are used synonymously or with similar meanings. The German words for tiling are ''Pflasterung'', ''Felderung'', ''Teilung'', ''Parkettierung'' and ''Zerlegung''. The French words are ''pavage'', ''carrelage'' and ''dallage''. The Russian words are <tt>паркетаж</tt>, <tt>разбиение</tt> and <tt>замощение</tt>.}}
{{конец цитаты}}

Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют ''картами'' (см., напр., [[Проблема четырёх красок|теорема о четырёх красках]]).

=== Покрытия и упаковки ===
Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру '''Ф''', то говорят, что эти фигуры образуют [[Покрытие (геометрия)|'''покрытие''']] фигуры '''Ф'''. При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру '''Ф''' без пробелов.

[[Упаковка (геометрия)|'''Упаковка''']] — это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных (т.е. без перекрытий).

'''Замощение''' — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой<ref name="grunshep" /><ref name="nest_probl" />.

{{кратное изображение
 |зона=right
 |направление=vertical
 |ширина=160
 |изобр1=Tiling Semiregular 3-4-6-4 Small Rhombitrihexagonal.svg
 |подпись1=Ромботришестиугольный паркет 3.4.6.4
 |изобр2=Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
 |подпись2=Двойственный паркет V3.4.6.4
}}

=== Протоплитки ===
'''Протоплитки''' паркета ({{lang-en|prototiles}}, также ''прототипы''<ref name="mathematicalgardner" />) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтна]] одной из протоплиток<ref name="eom_prototile" />.

Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой [[Додекаэдр|правильного сферического пятиугольного паркета]] является [[Правильный пятиугольник|пентагон]]; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и [[гексагон]]а.

Паркет называется ''k''-эдрическим, если множество его протоплиток (''протомножество'') состоит из ''k'' плиток<ref name="grunshep" /><ref name="mathematicalgardner" />.

Плитки паркета также называют ''гранями'', а стороны многоугольных плиток — ''рёбрами'', по аналогии с терминологией для многогранников<ref name="coxeter1966_par6" />.

{{кратное изображение
 |зона=left
 |направление=vertical

 |изобр1=Regular polygons meeting at vertex 4 3 4 4 6.svg
 |ширина1=80
 |подпись1=3.4.4.6

 |изобр2=Regular polygons meeting at vertex 4 3 4 6 4.svg
 |ширина2=80
 |подпись2=3.4.6.4
}}

=== Конфигурации вершин и граней ===
{{seealso|Конфигурация вершины|Конфигурация грани|Символ Шлефли}}
{{нп5|Ромботришестиугольный паркет|||Rhombitrihexagonal tiling}} состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и [[гексагон]]. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется [[Конфигурация вершины|конфигурацией вершины]] паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: [[треугольный паркет]] может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 3<sup>6</sup>. При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4<ref name="mathematicalgardner" /><ref name="mathmodels1961" /><ref name="bourke_polyhedra" /><ref name="chavey" /><ref name="mathforum_whattess" />.

В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.

[[Конфигурация грани|Конфигурацией грани]] называется последовательность [[Степень вершины (теория графов)|степеней вершин]] этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках<ref name="grunshep" /> или с префиксом V.

Если все вершины некоторого паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью a<sub>1</sub>.a<sub>2</sub>....a<sub>k</sub>, то все грани [[Двойственный многогранник|двойственного ему]] паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью Va<sub>1</sub>.a<sub>2</sub>....a<sub>k</sub>. Например, конфигурации граней [[:en:Deltoidal trihexagonal tiling|паркета, двойственного ромботришестиугольному паркету 3.4.6.4]]{{ref-en}}, записываются как V3.4.6.4.

== Виды паркетов ==
Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета [[Диск (топология)|топологическому диску]]; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей ([[квазиполимино]]<ref name="golomb_polyomino" />), содержать «отверстия», быть [[Полоса (геометрия)|бесконечной полосой]] и т.п.<ref name="grunshep" /><ref name="mathematicalgardner" />.

=== Паркеты на плоскости ===

==== Правильные паркеты ====
Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют '''правильными паркетами''' ({{lang-en|regular tilings}}). Существует три правильных замощения плоскости: [[треугольный паркет]], [[квадратный паркет]] и [[шестиугольный паркет]]<ref name="chavey" /><ref name="avanta" /><ref name="mw_reg" />.

<gallery heights=160px widths=160px caption="Правильные паркеты" class="center">
Tile 3,6.svg|[[Треугольный паркет]]<br>3<sup>6</sup>
Tile 4,4.svg|[[Квадратный паркет]]<br>4<sup>4</sup>
Tile 6,3.svg|[[Шестиугольный паркет]]<br>6<sup>3</sup>
</gallery>
{{Навигация|Тема=Правильные паркеты}}
Правильные паркеты называют также ''платоновыми паркетами''<ref name="gillisp" />.

[[Полиформы]], располагающиеся на правильных паркетах, называются соответственно [[полиамонд]]ами, [[полимино]] и [[полигекс]]ами.

Для обозначения паркета из правильных ''p''-угольников, расположенных по ''q'' вокруг каждой вершины, применяется [[символ Шлефли]] {''p'', ''q''}. Символы Шлефли трёх правильных мозаик — {3,6}, {4,4} и {6,3}<ref name="coxeter1966_par6" />.

==== Полуправильные паркеты ====
{{seealso|Архимедовы тела}}
Паркеты, состоящие из правильных многоугольников ''двух или более'' типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются '''полуправильными паркетами''' ({{lang-en|semiregular tilings}}) или '''архимедовыми паркетами'''<ref name="chavey" /><ref name="mw_semi" /><ref name="dutchs" /><ref name="johncarlosbaez" />.

Существует 8 полуправильных паркетов<ref name="mathmodels1961" /><ref name="mathforum_whattess" /><ref name="avanta"/><ref name="dutchs" /><ref name="johncarlosbaez" />. Один из восьми полуправильных паркетов ([[Плосконосая тришестиугольная мозаика|курносый тришестиугольный паркет]]) является [[Хиральность (математика)|хиральным]], то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением<ref name="mathematicalgardner" /><ref name="mathmodels1961" /><ref name="dutchs" /><ref name="johncarlosbaez" />.

<gallery heights="160" widths="160" class="center" caption="Полуправильные паркеты (Архимедовы паркеты)">
Файл:Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg|[[Усечённая квадратная мозаика|Усечённый квадратный паркет]]<br>4.8.8
Файл:Tiling Semiregular 3-3-4-3-4 Snub Square.svg|[[Плосконосая квадратная мозаика|Курносый квадратный паркет]]<br>3.3.4.3.4
Файл:Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg|[[Тришестиугольная мозаика|Тришестиугольный паркет]]<br>3.6.3.6
Файл:Tiling Semiregular 3-12-12 Truncated Hexagonal.svg|{{нп5|Усечённый шестиугольный паркет|||Truncated hexagonal tiling}}<br>3.12.12
Файл:Tiling Semiregular 3-4-6-4 Small Rhombitrihexagonal.svg|{{нп5|Ромботришестиугольный паркет|||Rhombitrihexagonal tiling}}<br>3.4.6.4
Файл:Tiling Semiregular 4-6-12 Great Rhombitrihexagonal.svg|{{нп5|Ромбоусечённый тришестиугольный паркет|||Truncated trihexagonal tiling}}<br>4.6.12
Файл:Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg|{{нп5|Изокурносый треугольный паркет|||Elongated triangular tiling}}<br>3.3.3.4.4
Файл:Tiling Semiregular 3-3-3-3-6 Snub Hexagonal.svg|[[Плосконосая тришестиугольная мозаика|Курносый тришестиугольный паркет]] (одна из двух [[Отражение (геометрия)|зеркальных копий]])<br>3.3.3.3.6 
</gallery>

{{Навигация|Тема=Однородные паркеты}}
Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.

Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке.

Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.

Грюнбаум и Шепард разделяют термины «архимедов паркет» ({{lang-en|Archimedean tiling}}) и «[[Однородная мозаика|однородный паркет]]» ({{lang-en|uniform tiling}}): к первой группе относятся паркеты, соответствующие «локальному» определению, а ко второй — «глобальному». Хотя на [[Евклидова плоскость|евклидовой плоскости]] два этих множества совпадают, в других пространствах существуют архимедовы паркеты, не являющиеся однородными<ref name="grunshep" />.

В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются.

{{кратное изображение
 |зона=right |направление=horizontal |ширина=100
 |изобр1=Uniform tiling 532-t1.png |подпись1=3.5.3.5
 |изобр2=Uniform tiling 63-t1.png |подпись2=3.6.3.6
 |изобр3=Uniform tiling 73-t1.png |подпись3=3.7.3.7
}}

==== Квазиправильные паркеты ====
{{main|Квазиправильный многогранник}}
'''Квазиправильный паркет''' (или многогранник) ({{lang-en|quasiregular tiling}}) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа<ref name="wenninger" /><ref name="ghart_quasi" /><ref name="coxeter_rp" />.

На евклидовой плоскости существует лишь один квазиправильный паркет — [[Тришестиугольная мозаика|тришестиугольный паркет]] с вершинной конфигурацией 3.6.3.6. На сфере существует два квазиправильных паркета ([[Сферический многогранник|сферических многогранника]]) — [[кубооктаэдр]] и [[икосододекаэдр]].

На [[Плоскость Лобачевского|плоскости Лобачевского]] существует бесконечное множество квазиправильных паркетов вида <math>p.q.p.q,</math> где <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{1}{2}.</math>

==== Неоднородные паркеты ====
Существует бесконечное множество неоднородных ({{lang-en|non-uniform}}) паркетов, состоящих из правильных многоугольников.

<gallery heights=160px widths=160px caption="Неоднородные паркеты из правильных многоугольников" class="center">
dem3366bc.png|3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup>, 3<sup>6</sup>
Dem3366rbc.png|3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup>, 3.6.3.6
Academ Periodic tiling by dodecagons and other convex regular polygons.svg|3<sup>2</sup>.4.12, 3<sup>6</sup>
Academ Periodic tiling by hexagons and other regular polygons.svg|3.4<sup>2</sup>.6, 3.6.3.6
</gallery>

{{Навигация|Тема=Неоднородные паркеты}}
Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу [[Действие группы#Орбиты|орбит]] вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно ''n'', паркет называется ''n''-однородным ({{lang-en|n-uniform}}) или ''n''-изогональным; если число орбит рёбер равно ''n'' — ''n''-изотоксальным ({{lang-en|''n''-isotoxal}}). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов<ref name="grunshep" /><ref name="chavey" /><ref name="dutchs_uniftil" />.

<!-- ==== Планигоны ====
'''Моноэдральный паркет''' — паркет, протомножество которого состоит из единственной плитки<ref name="grunshep" />.

'''Изоэдрический паркет''', или гране-транзитивный паркет ({{lang-en|isohedral tiling, face-transitive tiling}}) — паркет, допускающий самосовмещения по граням, переводящие любую заданную плитку в любую другую<ref name="grunshep" /><ref name="lj_matholimp_479885">''matholimp.livejournal.com'' [http://matholimp.livejournal.com/479885.html Паркеты на поверхности сферы и плоском торе]</ref><ref name="mw_isohedral">{{MathWorld |urlname=IsohedralTiling |title=Isohedral Tiling}}</ref> (т.е. моноэдральный паркет, для которого существует группа движений плоскости, совмещающая замощение с собой и [[Транзитивное действие|действующая транзитивно]] на множестве плиток замощения<ref name="eom_planigon" />).

'''Планигон''' — выпуклый многоугольник, являющийся протоплиткой изоэдрического паркета<ref name="avanta" /><ref name="eom_planigon" /><ref name="delaunau_izv3749" />. В частности, к планигонам относятся все треугольники и четырёхугольники<ref name="avanta" /><ref name="mw_tiling3" /><ref name="mw_tiling4" />.

На [[евклидова плоскость|евклидовой плоскости]] существует 11 комбинаторных типов разбиения, которые являются [[Двойственный многогранник|двойственными]] по отношению к 11 однородным (3 правильным и 8 архимедовым) паркетам. Эти 11 комбинаторных типов называют ''сетями Шубникова — Лавеса'' ({{lang-en|Shubnikov–Laves tilings}})<ref name="eom_planigon" />. Однако группа симметрии для одного комбинаторного типа может действовать по-разному. Взаимосвязь комбинаторного типа и группы симметрии характеризуется т. н. символом смежности.

На евклидовой плоскости существует 46 общих типов изоэдрических паркетов (basic types of unmarked isohedral tilings). В их число входят три правильных паркета<ref name="grunshep" /><ref name="avanta" />.

На [[плоскость Лобачевского|плоскости Лобачевского]] планигонами являются правильные многоугольники с любым числом <math>k</math> сторон и любым заданным числом <math>\alpha</math> граней, сходящихся в каждой вершине планигона. Для числа сторон <math>k=3,4,5,6,>6</math> можно выбрать такой размер планигона, что <math>\alpha\ge 7, \ge 5, \ge 4, \ge 4, \ge 3</math><ref name="eom_planigon" />.

Многомерным аналогом планигона является '''стереоэдр'''. Частным случаем стереоэдра является [[параллелоэдр]] — многогранник, [[Параллельный перенос|параллельным перенесением]] которого можно замостить пространство<ref name="senechal_fleck_patterns_of_symmetry" />. -->

==== Непериодические паркеты и апериодические множества плиток ====
[[Файл:Penrose Tiling (Rhombi).svg|thumb|left|180px|Непериодическая мозаика P3, впервые опубликованная Р.&nbsp;Пенроузом в 1978 году<ref name="grunshep" /><ref name="pentaplexity" />.]]
[[Файл:Penrose-tiles-bump-and-color-coded.svg|thumb|right|180px|Ромбы Пенроуза с выступами и впадинами, обеспечивающими невозможность периодического покрытия без использования цветных плиток и линий<ref name="fcarc" />.]]
[[Файл:Socolar-Taylor 2D monotile with decoration.png|thumb|left|180px|Двумерная несвязная [[плитка Соколара — Тейлор]]]]
{{seealso|Замощение Фодерберга|Мозаика Пенроуза|Апериодичная мозаика|:en:List of aperiodic sets of tiles}}{{Навигация|Тема=Мозаики Пенроуза}}
Разбиение ''T'' называется ''периодическим'', если среди симметрий ''T'' существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки. Множество прототипов (протомножество) ''P'' называется ''апериодическим'', если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим<ref name="mathematicalgardner" />.

Первый пример апериодического множества плиток был найден {{нп5|Роберт Берджер|Робертом Берджером||Robert Berger (mathematician)}} в 1966 году и включал в себя {{число|20426}} [[Плитки Вана|плиток Вана]]<ref name="grunshep" /><ref name="a20426" />. Плитки Вана представляют собой квадраты одного размера с окрашенными сторонами; при построении мозаики разрешено совмещать плитки лишь одноцветными сторонами и запрещено переворачивать плитки.

Позднее были найдены апериодические протомножества с ме́ньшим числом плиток. [[Роджер Пенроуз]] обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток<ref name="grunshep" /><ref name="fcarc" /><ref name="tilenc_rpenrose" />.

В 2010 году Джошуа Соколар и Джон Тэйлор предложили апериодическое множество, состоящее из {{нп5|Плитка Соколара — Тэйлора|единственной плитки||Socolar–Taylor tile}}, которая представляет собой правильный шестиугольник с нанесённой разметкой в виде цветных линий и с дополнительными ограничениями, связанными с взаимным расположением '''не''' касающихся друг друга плиток<ref name="socolar" />. Существует модификация, не использующая подобных ограничений, но использующая несвязную плитку, т.е., плитку, не являющуюся [[Диск (топология)|топологическим диском]]. Существование единственной связной плитки без дополнительной разметки и ограничений, способной покрыть плоскость только апериодически, остаётся открытой проблемой<ref name="socolar" /><ref name="maxwelldemon_sttile" />.

{{кратное изображение
 |зона=right |направление=horizontal
 |изобр1=Hexagonal dihedron.png |ширина1=102 |подпись1=Шестиугольный диэдр
 |изобр2=Hexagonal hosohedron.png |ширина2=99 |подпись2=Шестигранный осоэдр
}}

=== Сферические многогранники ===
{{main|Сферический многогранник}}
'''Сферический паркет''' или '''сферический многогранник''' — разбиение [[Сфера (геометрия)|сферы]] на [[Сферический многоугольник|сферические многоугольники]] дугами [[Большой круг|больших кругов]]<ref name="mw_spherical" />.

Каждому из 5 [[Платоновы тела|платоновых тел]] соответствует правильный сферический паркет. Формально, пусть ''S'' — сфера с центром ''O'', совпадающим с центром многогранника ''P''. Проведённые из ''O'' лучи, проходящие через вершины многогранника ''P'', пересекают сферу ''S'' в точках, являющихся вершинами соответствующего сферического паркета; рёбра многогранника ''P'' соответствуют дугам больших кругов на ''S''.

Помимо сферических аналогов пяти «платоновых тел», существует два семейства правильных сферических многогранников, не имеющих эквивалентов среди многогранников с плоскими гранями: [[осоэдр]]ы — многогранники с двумя вершинами, находящимися на полюсах сферы, грани которых являются конгруэнтными [[двуугольник]]ами, и [[диэдр]]ы — [[Двойственный многогранник|двойственные]] осоэдрам двугранники, вершины которых находятся на экваторе сферы.

[[Файл:Poincare halfplane heptagonal hb.svg|400px|right|thumb|[[Звёздчатый многогранник|Звёздчатый]] [[Правильный семиугольник|семиугольный]] паркет в [[Модель Пуанкаре на полуплоскости|модели Пуанкаре на верхней полуплоскости]]. Чёрные линии образуют '''правильный семиугольный паркет порядка 3''' (паркет, в каждой вершине которого сходятся три одинаковых правильных семиугольника).]]
[[Файл:PavageHypPoincare2.svg|thumb|right|Правильный семиугольный паркет порядка 3 в модели Пуанкаре на диске]]

=== Гиперболические паркеты ===
<!-- {{Навигация|Тема=Гиперболические паркеты}} -->
<!-- [[Файл:Order-5-4 quasiregular rhombic tiling.png|thumb|right|Паркет, [[Двойственный многогранник|двойственный]] однородному паркету [[Конфигурация вершины|4.5.4.5]].<br />[[Конфигурация грани]] — V4.5.4.5]] -->
{{seealso|Геометрия Лобачевского|:en:Uniform tilings in hyperbolic plane}}
[[Аксиома параллельности Евклида]] (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:
{{начало цитаты}}
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.
{{конец цитаты}}
В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:
{{начало цитаты}}
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
{{конец цитаты}}

Для изображения гиперболической плоскости применяется одна из существующих моделей — [[Модель Клейна|модель Бельтрами — Клейна]], [[Модель Пуанкаре|конформный диск Пуанкаре]], [[модель Пуанкаре на полуплоскости]]<ref name="coxeter1966_ch16" />.

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета и 8 полуправильных. На гиперболической плоскости существует бесконечное множество даже правильных паркетов, включая паркеты с семью и более равносторонними треугольниками вокруг вершины, пятью и более квадратами, четырьмя и более правильными пятиугольниками (паркет с тремя пятиугольниками вокруг вершины является сферическим [[додекаэдр]]ом), четырьмя и более правильными шестиугольниками и тремя и более равными правильными многоугольниками с количеством сторон более 6.

== Задачи на паркетах ==
[[Файл:Hexomino-pentomino-rook.png|thumb|Укладка 35&nbsp;гексамино и 12&nbsp;пентамино в&nbsp;прямоугольник 18×15. Фигуры пентамино образуют силуэт шахматной ладьи.]]
{{seealso|Полимино|Кубики сома}}
Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток. Сами протоплитки при этом могут представлять собой [[Полиформы|связные объединения ячеек правильного паркета]].

В частности, существует класс задач на замощение прямоугольников ''m''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' плитками [[Домино (полимино)|домино]] таким образом, чтобы в полученном разбиении не было прямой линии, пересекающей прямоугольник от края до края и не пересекающей ни одной плитки домино; такие прямоугольники называются «прочными»<ref name="mathematicalgardner" /><ref name="golomb_polyomino" /><ref name="mgir" />.

В других задачах устанавливается дополнительное ограничение на количество плиток каждого вида, используемых в замощении. В задачах, связанных с [[пентамино]], требуется покрыть 12 фигурами заданное подмножество квадратного паркета, состоящее из 60 клеток (прямоугольники 3&nbsp;&times;&nbsp;20, 4&nbsp;&times;&nbsp;15, 5&nbsp;&times;&nbsp;12, 6&nbsp;&times;&nbsp;10, [[шахматная доска]] с вырезанным в центре квадратным [[тетрамино]] и др.); при этом каждая плитка должна быть использована ровно один раз<ref name="golomb_polyomino" /><ref name="mgir" />.

=== Перечисление паркетов ===
Задача определения количества паркетов, состоящих из [[Выпуклый многоугольник|выпуклых многоугольников]] заданного типа, решена лишь частично:
* Любым треугольником или четырёхугольником можно замостить плоскость<ref name="mathematicalgardner" /><ref name="mw_tiling3" /><ref name="mw_tiling4" />.
* Известно 15 пятиугольников, способных замостить плоскость; неизвестно, является ли этот перечень полным<ref name="mw_pentille" />. Проблема перечисления пятиугольных паркетов имеет богатую историю<ref name="mathematicalgardner" />, и, возможно, уже решена<ref>''Michaël Rao''. [https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi/penta.pdf Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane] {{Wayback|url=https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi/penta.pdf |date=20170802000806 }}</ref><ref>[https://lenta.ru/news/2017/07/13/math/ Математик нашел все паркетные многоугольники]</ref>.
* Известно 3 типа шестиугольников, способных замостить плоскость<ref name="mathematicalgardner" /><ref name="mw_tiling6" />.
* Невозможно замостить плоскость одинаковыми выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или равным семи<ref name="mathematicalgardner" /><ref name="mw_tiling" />.

== См. также ==
* [[Диаграмма Вороного]]
* [[Триангуляция Делоне]]
* [[Мозаика Пенроуза]]
* [[Проблема четырёх красок]]
* [[Стереографическая проекция]]
* [[Замощение (компьютерная графика)]]

== Примечания ==
{{примечания|2|refs=

<ref name="mw_pentille">{{MathWorld |urlname=PentagonTiling|title=Pentagon Tiling }}</ref>

<ref name="grunshep">{{книга
 |автор = [[Грюнбаум, Бранко|B. Grünbaum]], G.C. Shephard
 |заглавие = Tilings and Patterns
 |ссылка = https://archive.org/details/isbn_0716711931
 |место = New York
 |издательство = W. H. Freeman & Co.
 |год = 1987
 |ISBN = 0-7167-1193-1
}}</ref>

<ref name="nest_probl">{{книга
 |заглавие=Как решают нестандартные задачи
 |место=М.
 |издательство=[[МЦНМО]]
 |год=2008
 |ответственный=Под ред. В. О. Бугаенко
 |страниц=96
 |страницы=49
 |ссылка=http://math.ru/lib/460
 |isbn=978-5-94057-331-9
 |archive-date=2013-08-09
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130809204921/http://math.ru/lib/460
 }}</ref>

<ref name="mathematicalgardner">{{книга
 |заглавие=Математический цветник
 |автор=[[Дэвид А. Кларнер]]
}}</ref>

<ref name="eom_prototile">{{cite web|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Prototile|title=Prototile|publisher=Encyclopedia of Mathematics|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8RxQnm?url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Prototile|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-12|url-status=live}}</ref>

<ref name="chavey">{{статья
|заглавие=Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings
|ссылка=https://www.beloit.edu/computerscience/faculty/chavey/catalog/
|издание=[[Computers and Mathematics with Applications]]
|том=17
|страницы=147—165
|doi=10.1016/0898-1221(89)90156-9
|язык=und
|автор=Chavey, D.
|год=1989
|archivedate=2016-06-16
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160616193746/https://www.beloit.edu/computerscience/faculty/chavey/catalog/
}}</ref>

<ref name="mathforum_whattess">{{cite web|url=http://mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html|title=What Is a Tessellation?|publisher=Math Forum|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8RGRgv?url=http://mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-12|url-status=live}}</ref>

<ref name="golomb_polyomino">{{книга
 |автор=Голомб С.В.
 |заглавие=Полимино
 |оригинал=Polyominoes
 |ответственный=Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома
 |место=М.
 |издательство=Мир
 |год=1975
 |страниц=207
}}</ref>

<ref name="avanta">{{книга
 |заглавие=Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика
 |ответственный=Глав. ред. М.&nbsp;Д.&nbsp;Аксёнова; метод. и отв. ред. В.&nbsp;А.&nbsp;Володин
 |место=М.
 |издательство=[[Аванта+]]
 |год=2003
 |страниц=688
 |isbn=5-94623-072-7
 |страницы=297—300
}}</ref>

<ref name="mw_reg">{{MathWorld |urlname=RegularTessellation |title=Regular Tessellation }}</ref>

<ref name="mw_semi">{{MathWorld |urlname=SemiregularTessellation |title=Semiregular Tessellation }}</ref>

<ref name="dutchs">{{cite web
 |url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/archtil.htm
 |title=Archimedean Tilings
 |author=Steven Dutch
 |date=1999-07-02
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130120100320/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/archtil.htm
 |archive-date=2013-01-20
}}</ref>

<ref name="johncarlosbaez">
{{cite web
 |url         = http://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/02/05/archimedean-tilings-and-egyptian-fractions/
 |title       = Archimedean Tilings and Egyptian Fractions
 |publisher   = Azimuth
 |author      = John Baez
 |date        = 2012-02-05
 |archive-url  = https://www.webcitation.org/6JK3me27y?url=http://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/02/05/archimedean-tilings-and-egyptian-fractions/
 |archive-date = 2013-09-02
 |access-date  = 2013-08-12
 |url-status    = live
}}
</ref>

<ref name="ghart_quasi">{{cite web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/quasi-regular-info.html|title=Quasiregular Polyhedra|author=George Hart|publisher=Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8QekgY?url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/quasi-regular-info.html|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-19|url-status=live}}</ref>

<ref name="coxeter_rp">{{книга
 | автор = H. S. M. Coxeter
 | заглавие = [[:en:Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]
 | язык = en
 | год = 1973
 | isbn = 0-486-61480-8
}}</ref>

<ref name="dutchs_uniftil">{{cite web
 |url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/uniftil.htm
 |title=Uniform Tilings
 |author=Steven Dutch
 |date=1999-07-02
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130120100254/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/uniftil.htm
 |archive-date=2013-01-20
}}</ref>

<ref name="pentaplexity">{{Citation
 |author=Penrose R.
 |title=Pentaplexity
 |journal=Math. Intell.
 |volume=2
 |year=1979/80
 |pages=32–37
 |doi=10.1007/BF03024384
 |url=http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html
 |access-date=2013-08-18
 |archive-date=2011-06-07
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110607155418/http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html
 |url-status=live
 }} {{Cite web |url=http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html |title=Источник |access-date=2013-08-18 |archive-date=2011-06-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110607155418/http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html |url-status=unfit }}(archived at)</ref>

<ref name="a20426">{{статья
|заглавие=The Undecidability of the Domino Problem
|издание=Memoirs of the American Mathematical Society
|том=66
|страницы=1—72
|язык=en
|автор=Burger, R.
|год=1966
}}</ref>
<ref name="socolar">{{статья
|arxiv=1003.4279
|заглавие=An Aperiodic Hexagonal Tile
|bibcode=2010arXiv1003.4279S
|язык=und
|автор=Socolar J.}}</ref>
<ref name="maxwelldemon_sttile">
{{cite web
 |url         = http://maxwelldemon.com/2010/04/01/socolar_taylor_aperiodic_tile/
 |title       = Socolar and Taylor's aperiodic tile
 |date = 2010-04
 |publisher   = Maxwell's Demon
 |archive-url  = https://www.webcitation.org/6JK8Op7T3?url=http://maxwelldemon.com/2010/04/01/socolar_taylor_aperiodic_tile/
 |archive-date = 2013-09-02
 |access-date  = 2013-08-18
 |url-status    = live
}}
</ref>
<ref name="mw_spherical">{{MathWorld |urlname=SphericalPolyhedron |title=Spherical Polyhedron }}</ref>
<ref name="mgir">{{книга
 | автор = [[Мартин Гарднер]]
 | заглавие = Математические головоломки и развлечения
 | оригинал = Mathematical Puzzles and Diversions
 | ответственный = Пер. [[Данилов, Юлий Александрович|Ю.&nbsp;А.&nbsp;Данилова]], под ред. [[Смородинский, Яков Абрамович|Я.&nbsp;А.&nbsp;Смородинского]]
 | место = М.
 | издательство = Мир
 | год = 1999
 | издание = 2-е
 | isbn = 5-03-003340-8
}}</ref>
<ref name="mw_tiling3">{{MathWorld |urlname=TriangleTiling|title=Triangle Tiling }}</ref>
<ref name="mw_tiling4">{{MathWorld |urlname=QuadrilateralTiling|title=Quadrilateral Tiling }}</ref>
<ref name="mw_tiling6">{{MathWorld |urlname=HexagonTiling|title=HexagonTiling }}</ref>

<ref name="mw_tiling">{{MathWorld |urlname=Tiling |title=Tiling }}</ref>

<!-- Закомментировано вместе с разделом "Планигоны"
<ref name="eom_planigon">{{cite web |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Planigon |title=Planigon |publisher=Encyclopedia of Mathematics }}</ref>

<ref name="delaunau_izv3749">{{статья
 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/izv3749
 |автор=[[Делоне, Борис Николаевич|Б. Н. Делоне]]
 |заглавие=Теория планигонов
 |издательство=Изв. АН СССР. Сер. матем.
 |том=23
 |выпуск=3
 |год=1959
 |страницы=365—386
}}</ref>

<ref name="senechal_fleck_patterns_of_symmetry">{{книга
 |ссылка=http://www.libex.ru/detail/book215640.html
 |автор=Сенешаль М., Флек Дж.
 |заглавие=Узоры симметрии
 |оригинал=Patterns of Symmetry
 |место=М.
 |издательство=Мир
 |год=1980
 |страниц=272
}}</ref> -->

<ref name="coxeter1966_par6">Кокстер, Введение в геометрию, 1966, §6, с. 100 — 104.</ref>

<ref name="mathmodels1961">{{книга
 |заглавие=Mathematical Models
|автор=Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett
|издание=2nd ed.
|издательство=Oxford University Press
|год=1961
|страницы=59—65
|язык=en
}}</ref>

<ref name="bourke_polyhedra">{{cite web|url=http://paulbourke.net/geometry/polyhedra/|title=Uniform Polyhedra|author=Paul Bourke|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8SwSwv?url=http://paulbourke.net/geometry/polyhedra/|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-12|url-status=live}}</ref>

<ref name="gillisp">{{cite web |url=http://staff.washington.edu/gillisp/isogpolys/ptilings/platotilings.html |title=The Platonic planar tilings |author=Steven Gillispie |archive-url=https://web.archive.org/web/20081026040143/http://staff.washington.edu/gillisp/isogpolys/ptilings/platotilings.html |archive-date=2008-10-26 }}</ref>

<ref name="wenninger">{{книга
 |автор=М. Веннинджер
 |заглавие=Модели многогранников
 |оригинал=Polyhedron Models
 |год=1974
 |издательство=Мир
 |место=М.
 |ответственный=Перевод с английского В. В. Фирсова, под редакцией и с послесловием И. М. Яглома
 |страниц=236
}}</ref>

<ref name="fcarc">{{cite web|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-penrose|title=Penrose Tiles Talk Across Miles|author=David Austin|publisher=Feature Column from the AMS|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8U9U9L?url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-penrose|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-18|url-status=live}}</ref>

<ref name="tilenc_rpenrose">{{cite web|url=http://tilings.math.uni-bielefeld.de/people/r_penrose|title=R. Penrose|publisher=Tilings Encyclopedia|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8VPo76?url=http://tilings.math.uni-bielefeld.de/people/r_penrose|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-13|url-status=dead}}</ref>
<ref name="coxeter1966_ch16">Кокстер, Введение в геометрию, 1966, гл. 16, с. 415 — 440.</ref>

}}

== Литература ==
* {{статья |автор=[[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]] |заглавие=Паркеты из правильных многоугольников |ссылка=https://web.archive.org/web/20110614220506/http://www.kolmogorov.pms.ru/kvant-parkety_iz_pravilnyh_mnogougolnikov.html |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1970 |номер=3 }}
* {{статья |автор=Ю. А. Шашкин |заглавие=Паркеты |ссылка=https://web.archive.org/web/20060102233105/http://virlib.eunnet.net/mif/text/n0399/1.html |издание=МИФ |год=1998—99 |номер=3 }}
* {{статья |автор=О. Михайлов |заглавие=Одиннадцать правильных паркетов |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1979 |номер=2 |ссылка=http://arbuz.uz/w_parket.html |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130522130646/http://www.arbuz.uz/w_parket.html |archivedate=2013-05-22 }}
* {{книга
 |заглавие=Математический цветник. Сборник статей и задач
 |автор=[[Дэвид А. Кларнер]]
 |ответственный=Пер. с англ. [[Данилов, Юлий Александрович|Ю.&nbsp;А.&nbsp;Данилова]]; под ред., с предисл. и прилож. [[Яглом, Исаак Моисеевич|И. М. Яглома]]
 |место=М
 |издательство=Мир
 |год=1983
 |страниц=494
 |страницы=153—328
 |оригинал=The Mathematical Gardner
}}
* {{книга
 |автор=[[Коксетер, Гарольд|Г. С. М. Кокстер]]
 |заглавие=Введение в геометрию
 |ответственный=Пер. с англ. А. Б. Катка и С. Б. Каток; под ред. Б. А. Розенфельда и И. М. Яглома
 |издательство=Наука
 |место=М
 |год=1966
 |оригинал=Introduction to geometry
 |страниц=648
}}
* {{книга
|заглавие=Tilings and Patterns
|ссылка=https://archive.org/details/isbn_0716711931
|издательство={{Нп3|W. H. Freeman and Company}}
|год=1987
|isbn=0-7167-1193-1
|язык=und
|автор=[[Грюнбаум, Бранко|Grünbaum, Branko]]; Shephard, G. C.
}}

== Ссылки ==
{{wiktionary|паркет}}
* {{cite web |url=http://elementy.ru/problems/42 |author=Хайдар Нурлигареев |publisher=Элементы |title=Замощения |archive-url=https://web.archive.org/web/20130816181110/http://elementy.ru/problems/42 |archive-date=2013-08-16 }}
* {{cite web |title=Геометрические паркеты |publisher=Растрёпанный Блокнот |url=http://netnotes.narod.ru/math/parket1.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20111104152142/http://netnotes.narod.ru/math/parket1.html |archive-date=2011-11-04 }}
* {{cite web |url=http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html |title=Математическое искусство М.К. Эшера |author=Влад Алексеев |publisher=Невозможный мир |archive-url=https://web.archive.org/web/20130808123031/http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html |archive-date=2013-08-08 }}
* [[Wolfram Alpha]] учащимся [https://web.archive.org/web/20130810105019/http://www.mathler.narod.ru/sc/Tilings.html Замощения]
* {{cite web|url=http://www.jaapsch.net/tilings/|title=Tilings|publisher=Jaap's Puzzle Page|author=Jaap Scherphuis|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8WAQ2Q?url=http://www.jaapsch.net/tilings/|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-15|url-status=live}}
* {{cite web|url=http://www.plunk.org/~hatch/HyperbolicTesselations/|title=Hyperbolic Planar Tessellations|author=Don Hatch|description=Изображения усечённых гиперболических паркетов|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8XdclZ?url=http://www.plunk.org/~hatch/HyperbolicTesselations/|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-20|url-status=live}}
* {{cite web|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/poincare/|title=Hyperbolic Tessellations|author=David E. Joyce|description=Java-апплет для отрисовки правильных и квазиправильных паркетов на гиперболической плоскости|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8Yv0U9?url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/poincare/|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-23|url-status=live}}
* {{cite web|url=http://bulatov.org/math/1101/abstract.html|title=Tilings of the hyperbolic space and their visualization|author=Vladimir Bulatov|publisher=Joint MAA/AMS meeting, New Orleans|date=2011-01-07|archive-url=https://www.webcitation.org/6JK8ZW4Vp?url=http://bulatov.org/math/1101/abstract.html|archive-date=2013-09-02|access-date=2013-08-20|url-status=live}}
* ''Demonolog.'' [https://surfory.com/33553/photo/album-550c4e881f395da82a8b45c2 Гибридное замощение] Применение векторной графики для изображения непериодических замощений.

{{Многогранники}}
{{Геометрические закономерности в природе}}
[[Категория:Замощения]]
[[Категория:Многоугольники]]
[[Категория:Многогранники]]