Просмотр кода страницы Изотермо-изобарический ансамбль

{{Статистическая физика}}
'''Изотермо-изобарический ансамбль''' — [[статистический ансамбль]], отвечающий [[Физическая система|физической системе]], в которой поддерживается постоянное внешнее давление <math>p</math>, а также обменивающейся энергией с термостатом и находящейся с ним в тепловом равновесии. При этом число частиц <math>N</math> в системе считается постоянным, а объём <math>V</math> может флуктуировать.

Будем в дальнейшем дополнительно отмечать величины, зависящие от микросостояния системы, значком "<math>\hat{}</math>" : <math>\hat{V},\hat{H} </math>.

== Функция распределения ==

Для нахождения равновесной функции распределения <math>\hat{\rho}_\hat{V}</math> будем использовать общий вариационный принцип: в состоянии равновесия <math>\hat{\rho}_\hat{V}</math> должна иметь вид, обеспечивающий максимум информационной энтропии при условии заданного типа контакта с окружающей средой. В применении к изотермо-изобарическому ансамблю это означает, что нужно искать <math>\hat{\rho}_\hat{V}</math> со следующими свойствами:

# <math>\hat{\rho}_\hat{V}</math> — экстремаль энтропийного функционала<ref>Здесь штрих у интеграла означает интегрирование по физически различным состояниям</ref>

: <math>S[\hat{\rho}_\hat{V}] = -\langle \ln{\hat{\rho}_\hat{V}} \rangle = -\int\,d\hat{V}\int'\,d\Gamma_\hat{V}\, \hat{\rho}_\hat{V}\ln{\hat{\rho}_\hat{V}}</math>

Здесь и далее индексом <math>\hat{V}</math> обозначается зависимость от объёма системы.

# <li value = "2"> Условие нормировки:

: <math>\langle 1 \rangle = \int\,d\hat{V}\,\int'\,d\Gamma_\hat{V}\, \hat{\rho}_\hat{V} = 1 </math>

# <li value = "3"> Условие на среднее значение энергии:

: <math> E = \langle \hat{H}_\hat{V} \rangle </math>

# <li value = "4"> Условие на среднее значение объёма системы:

: <math> V = \langle \hat{V} \rangle </math>

Это задача на поиск условного экстремума функционала <math>S[\hat{\rho}_\hat{V}]</math>. Перейдём методом неопределённых множителей Лагранжа к задаче на безусловный эктремум функционала <math>\widetilde{S}[\hat{\rho}_\hat{V}]</math> :

: <math>\widetilde{S} = S + \alpha_1 \int\, d\hat{V}\int'\, d\Gamma_\hat{V} \hat{\rho}_\hat{V} + \alpha_2 \int\, d\hat{V}\int'\, d\Gamma_\hat{V} \hat{H}_\hat{V} \hat{\rho}_\hat{V} + \alpha_1 \int\, d\hat{V}\int'\, d\Gamma_\hat{V} \hat{V} \hat{\rho}_\hat{V}    </math>

Его вариация:

: <math> \delta \widetilde{S} = \int\, d\hat{V}\int'\, d\Gamma_\hat{V} \delta\hat{\rho}_\hat{V} \left[ \alpha_1 + \alpha_2 \hat{H}_\hat{V} + \alpha_3 \hat{V} - \ln{\hat{\rho}_\hat{V}} - 1 \right]</math>

Это равенство должно быть выполнено для любой вариации <math>\delta\hat{\rho}_\hat{V}</math>, значит,

: <math>\alpha_1 + \alpha_2 \hat{H}_\hat{V} + \alpha_3 \hat{V} - \ln{\hat{\rho}_\hat{V}} - 1 = 0</math>

Отсюда находим

: <math>\hat{\rho}_\hat{V} = \exp{\left( \alpha_1 - 1 + \alpha_2 \hat{H}_\hat{V} + \alpha_3\hat{V} \right)}</math>

Коэффициенты <math>\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3</math> находятся соответственно из условий на нормировку, энергию и объём системы. Их значения:

: <math> e^{\alpha_1 - 1} = \frac{1}{Q};\quad \alpha_2 = \frac{-1}{T};\quad \alpha_3 = \frac{-p}{T} </math>

Здесь <math>Q</math> — статсумма в изотермо-изобарическом ансамбле:

: <math>Q(T, p, N) = \int\, d\hat{V}\int'\, d\Gamma_\hat{V} \exp{\left( -\frac{\hat{H}_\hat{V} + p\hat{V}}{T} \right)}  </math>

Главным термодинамическим потенциалом в данном ансамбле является потенциал Гиббса:

: <math> G = -T\ln{Q(T, p, N)} </math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==

* ''Куни Ф. М.'' Статистическая физика и термодинамика. (Москва."Наука": Главная редакция физико-математической литературы,1981. — 352с.)
* {{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Статистическая физика}}

[[Категория:Статистические ансамбли]]