Просмотр кода страницы Интеграл Лебега

[[Файл:Riemannvslebesgue.svg|мини|Сверху интегрирование по Риману, снизу — по Лебегу]]
'''Интеграл [[Лебег, Анри Леон|Лебе́га]]''' — это обобщение [[интеграл Римана|интеграла Римана]] на более широкий класс [[Функция (математика)|функций]].

Все функции, определённые на конечном [[Отрезок|отрезке]] [[Числовая ось|числовой прямой]] и [[интеграл Римана|интегрируемые по Риману]], являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных [[множество|множествах]] ([[интеграл Фреше]]).

Идея построения интеграла Лебега<ref>Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.</ref> состоит в том, что вместо [[разбиение множества|разбиения]] [[Область определения функции|области определения]] подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её [[Область значений функции|область значений]], а затем суммируют с соответствующими весами [[Мера Лебега|меры]] прообразов этих интервалов.

== Определение ==
Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано [[Мера множества#Связанные определения|пространство с мерой]] <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math>, и на нём определена [[измеримая функция]] <math>f\colon(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, где <math>\mathcal B(\mathbb R) </math> — борелевская <math>\sigma</math>-алгебра на вещественной оси.

'''Определение 1.''' Пусть <math>f</math> — [[индикатор (математика)|индикатор]] некоторого измеримого множества, то есть <math>f(x) = \mathbf{1}_A(x)</math>, где <math>A \in \mathcal{F}</math>.
Тогда интеграл Лебега функции <math>f</math> по определению:
: <math> \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_A d\mu = \mu( A ).</math>

'''Определение 2.''' Пусть <math>f</math> — [[простая функция]], то есть <math>f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x)</math>, где <math>\{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}</math>, а <math>\{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F}</math> — конечное разбиение <math>X</math> на измеримые множества.
Тогда
: <math>\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i)</math>.

'''Определение 3.''' Пусть теперь <math>f</math> — неотрицательная функция, то есть <math>f(x) \geqslant 0\; \forall x\in X</math>.
Рассмотрим все простые функции <math>\{f_s\}</math>, такие что <math>f_s(x) \leqslant f(x)\; \forall x\in X</math>.
Обозначим это семейство <math>\mathcal{P}_f</math>. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега.
Тогда интеграл от <math>f</math> задаётся формулой:
: <math>\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}</math>.

Наконец, если функция <math>f</math> произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:
: <math>f(x) = f^+(x) - f^-(x),</math>
где
: <math>f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x))</math>.

'''Определение 4.''' Пусть <math>f</math> — произвольная измеримая функция.
Тогда её интеграл задаётся формулой:
: <math>\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx)</math>.

'''Определение 5.''' Пусть наконец <math>A \in \mathcal{F}</math> произвольное измеримое множество. Тогда по определению
: <math>\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx)</math>,
где <math>\mathbf{1}_A(x)</math> — [[индикатор (математика)|индикатор-функция]] множества <math>A</math>.

== Пример ==
Рассмотрим [[функция Дирихле|функцию Дирихле]] <math>f(x) \equiv \chi_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x)</math>, заданную на <math>([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m)</math>, где <math>\mathcal{B}([0,1])</math> — [[борелевская сигма-алгебра|борелевская σ-алгебра]] на <math>[0,1]</math>, а <math>m</math> — [[мера Лебега]]. Эта функция принимает значение <math>1</math> в [[рациональное число|рациональных точках]] и <math>0</math> в [[иррациональное число|иррациональных]]. Легко увидеть, что <math>f</math> не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:
: <math>\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.</math>
Действительно, мера отрезка <math>[0,1]</math> равна 1,
и так как множество рациональных чисел [[Счётное множество|счётно]], то его мера равна 0,
а значит мера иррациональных чисел равна <math>1-0=1</math>.

== Замечания ==

=== {{якорь|Приближение неотрицательной функции всюду монотонной последовательностью простых, сходящейся к ней}}Приближение неотрицательной функции всюду монотонной последовательностью простых, сходящихся к ней ===

[[Файл:Построение всюду монотонной последовательности простых функций, сходящихся к данной неотрицательной.gif|мини|342x342пкс|Указанная функция <math>f_n</math> (коричневая) при возрастающем <math>n</math> на фоне функции <math>f_n</math> (зелёная)]]

Из семейства <math>\mathcal{P}_f</math>{{См. выше|Определение}} всегда можно выделить такую последовательность функций <math>\{f_n\}</math>, что последовательность их значений <math>\{f_n(x)\}</math> в любой точке <math>x</math> из <math>X</math> одновременно [[Монотонная последовательность|монотонно неубывает]] и [[Предел последовательности|стремится]] к <math>f(x).</math>

Для этого найдём разложение <math display="inline">X=\bigsqcup_{k=1}^{\infty} X_k</math>, где <math display="inline">X_k</math> имеют конечную меру (подразумевается, что [[Сигма-конечная мера|мера сигма-конечна]]). Теперь рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math> следующих функций. Когда <math>f(x)</math> меньше <math display="inline">2^n</math> и <math>x</math> принадлежит объединению <math display="inline">\bigsqcup_{k=1}^{n} X_k</math>, функция равна [[Целая часть|целой части]] произведения <math>f(x) \cdot 2^n</math>, делённой на <math>2^n</math>; в таком случае происходит округление <math>f(x)</math> с точностью до соответствующей степени двойки <math display="inline">\frac{1}{2^n}</math> (иначе говоря, при <math display="inline">\frac{k}{2^n} \leqslant f(x) < \frac{k+1}{2^n} \leqslant 2^n</math> функция <math>f_n(x)</math> равна <math display="inline">\frac{k}{2^n}</math>). Когда <math>f(x)</math> не меньше <math display="inline">n</math> и <math>x</math> принадлежит указанному объединению, функция равна <math display="inline">2^n</math>; Когда <math>x</math> этому объединению не принадлежит, она равна нулю. Формализуя вышесказанное,

<math display="block">f_n(x)=
\begin{cases}
\frac{\lfloor f(x)\cdot 2^n \rfloor}{ 2^n }, & f(x) < 2^n, \ x\in \bigsqcup_{k=1}^{n} X_k; \\[7pt]
2^n, & f(x) \geqslant 2^n, \ x\in \bigsqcup_{k=1}^{n} X_k; \\[7pt]
0, & x \not\in \bigsqcup_{k=1}^{n} X_k.
\end{cases}</math>

Тогда понятно, что все <math>f_n</math> простые, так как принимают ненулевые только значения из <math display="inline">\left\{ \frac{k}{2^n} \right\}_{k=0}^{2^{2n}}</math>, коих конечное количество, на множествах <math display="inline">\bigsqcup_{k=1}^{n} X_k</math> конечной меры. В то же время для целой части верны неравенства
: <math>\frac{\big\lfloor f(x)\cdot 2^n \big\rfloor}{2^n} = \frac{2\big\lfloor f(x)\cdot 2^{n} \big\rfloor}{2^{n+1}} = \frac{\Big\lfloor 2\big\lfloor f(x)\cdot 2^{n} \big\rfloor \Big\rfloor}{2^{n+1}} \leqslant \frac{\big\lfloor f(x)\cdot 2^{n+1} \big\rfloor}{2^{n+1}}</math> {{efn|Последние переходы верны, так как целая часть [[Целая часть#Пол/потолок: неравенства|сохраняет неравенства]].|name=floor}} и <math>2^n \leqslant f(x) < 2^{n+1} \Rightarrow 2^{2n} \leqslant f(x)\cdot 2^n \Rightarrow 2^n \leqslant \frac{\big\lfloor f(x)\cdot 2^n \big\rfloor}{2^n}</math>{{efn|name=floor}},
из которых следует неубывание всюду.

=== Другие замечания ===
* Так как <math>|f(x)| = f^+(x) + f^-(x)</math>, измеримая функция <math>f(x)</math> интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция <math>|f(x)|</math> интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
* В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется '''интегрируемой по Лебегу''' или '''суммируемой''';
* Если функция определена на вероятностном пространстве <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> и измерима, то она называется [[случайная величина|случайной величиной]], а её интеграл называют [[математическое ожидание|математическим ожиданием]] или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

== Свойства ==
* Интеграл Лебега линеен, то есть
*: <math>\int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx) </math>,
: где <math>a,b\in \mathbb{R}</math> — произвольные константы.
* Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если <math>0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)</math> [[почти всюду]], <math>f(x)</math> измерима и <math>g(x)</math> интегрируема, то интегрируема и <math>f(x)</math>, и более того
*: <math>0 \leqslant \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leqslant \int\limits_X g(x)\, \mu(dx)</math>.
* Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если <math>f(x) = g(x)</math> [[почти всюду]], то
*: <math>\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx)</math>.

* Модуль интеграла Лебега от некоторой функции не больше интеграла от модуля этой функции:
*: <math>\left| \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \right| \leqslant \int\limits_X |f(x)|\, \mu(dx)</math>.

=== {{якорь|Свойства интеграла Лебега как функции множества}}Свойства интеграла Лебега как функции множества ===
В следующих свойствах интеграл Лебега рассматривается как функция
: <math>F(X) = \int\limits_{X} f(x) \, \mu(dx)</math>
от измеримого множества <math>X</math> для некоторой измеримой интегрируемой функции <math>f(x)</math>{{sfn|Колмогоров, Фомин|1976|с=298}}.
* Интеграл Лебега [[Счётно-аддитивная функция множеств|счётно-аддитивен]], то есть интеграл по счётному [[Объединение множеств|объединению]] непересекающихся множеств равен сумме интегралов по этим множествам:
*: <math>A =\bigsqcup_{n=1}^{\infty} A_n \Rightarrow \int\limits_{A} f(x) \, \mu(dx) = \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{A_n} f(x) \, \mu(dx)</math>.
* Если функция <math>f(x)</math> неотрицательна, интеграл Лебега является счётно-аддитивной мерой на [[Кольцо множеств|кольце множеств]], на которых <math>f(x)</math> интегрируема.
* [[Неравенство Чебышёва]]. Если функция <math>f(x)</math> неотрицательна на множестве <math>A</math>, то для любого положительного <math>c</math> мера множества всех <math>x</math> из <math>A</math>, для которых значение <math>f(x)</math> не меньше <math>c</math>, сама не больше интеграла от <math>f(x)</math> по <math>A</math>, делённому на <math>c</math>:
*: <math>\mu\left\{ x \in A: f(x)\geqslant c \right\} \leqslant  \frac{1}{c}\int\limits_{A} f(x) \, \mu(dx)</math>.
* Интеграл Лебега [[Абсолютная непрерывность|абсолютно непрерывен]]. Это значит, что для любого положительного <math>\varepsilon</math> найдётся такое положительное <math>\delta</math>, что модуль интеграла от <math>f(x)</math> по любому множеству <math>B\subseteq A</math>, меры меньше <math>\delta</math>, меньше <math>\varepsilon</math>:
*: <math>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta>0 \ \forall B, \mu B <\delta: \left| \int\limits_B f(x) \, \mu(dx) \right| < \varepsilon</math>{{sfn|Колмогоров, Фомин|1976|с=301}}.
{{Скрытый блок|Заголовок=Доказательство{{sfn|Колмогоров, Фомин|1976|с=301}}|Содержание=
Обозначим за <math>A_n</math> множество всех <math>x</math> из <math>A</math>, для которых модуль <math>|f(x)|</math> лежит в промежутке <math>[n;n+1)</math>: <math>A_n = \big\{ x\in A: n\leqslant |f(x)| < n+1 \big\}</math>, за <math>B_N</math> — всех <math>x</math>, для которых этот модуль больше <math>N</math>: <math>B_N = \big\{ x\in A: |f(x)| < N + 1 \big\} = \textstyle{\bigcup^N_{n=0} A_n}</math>, а за <math>C_N</math> — [[Разность множеств|дополнение]] <math>A \setminus B_N.</math>

Так как объединение множеств <math>A_n</math> для всех целых неотрицательных <math>n</math> есть всё множество <math>A</math>, в силу счётной аддитивности интеграл от <math>|f(x)|</math> по <math>A</math> равен сумме интегралов по <math>A_n.</math> Но <math>f(x)</math> интегрируема, поэтому её модуль <math>|f(x)|</math> интегрируем, а значит такая [[бесконечная сумма]] <math>A_n</math> сходится. Как следствие, найдётся такое целое <math>N</math>, что
: <math>\sum_{ n=N+1 }^{\infty} \int\limits_{A_n} |f(x)| \, \mu(dx) = \int\limits_{C_N} |f(x)| \, \mu(dx) < \frac{\varepsilon}{2}.</math>

Теперь возьмём <math>\delta</math> меньшим <math display="inline">\frac{\varepsilon}{2(N+1)}.</math> Тогда из того, что мера множества <math>B\subseteq A</math> меньше <math>\delta</math>, следует искомое неравенство:
: <math>\left| \int\limits_{B} f(x) \, \mu(dx) \right| \leqslant  \int\limits_{B\cap B_N} |f(x)| \, \mu(dx) + \int\limits_{B\cap C_N} |f(x)| \, \mu(dx)  < \int\limits_{B\cap  B_N} (N+1) \, \mu(dx) + \int\limits_{C_N} |f(x)| \, \mu(dx) < \int\limits_{B_N} (N+1) \, \mu(dx) + \frac{\varepsilon}{2} = (N+1) \cdot \mu B_N + \frac{\varepsilon}{2} < (N+1)\cdot \frac{\varepsilon}{2(N+1)} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.</math>}}

=== {{якорь|Интегральные суммы Лебега}}Интегральные суммы Лебега ===
Интегральными суммами Лебега для функции <math>f(x)</math> и меры <math>\mu</math> называются суммы вида

: <math>S = \sum_{k=1}^N y_k \cdot \mu\{x\in X: y_k < f(x) \leqslant y_{k+1}\}</math>,

где <math>y_1<y_2<\dots < y_N</math> — разбиение области значений функции <math>f(x)</math>.

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию <math>f(x)</math> в каждой точке она принимает одно из значений <math>y_1, y_2, \dots, y_N</math> (а именно, <math>y_k</math> на подмножестве <math>\{x\in X: y_k < f(x) \leqslant y_{k+1}\}</math>). Поэтому, если функция <math>f(x)</math> интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда <math>y_1\rightarrow -\infty</math>, <math>y_N\rightarrow +\infty</math>, и диаметр разбиения <math>\delta = \max\{y_2-y_1, \dots, y_N-y_{N-1}\}</math> стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь [[функция распределения]] её значений:

: <math>F(y) = \mu\{x\in X: f(x)\leqslant y \}</math>

Тогда интегральные суммы Лебега для функции <math>f(x)</math> и меры <math>\mu</math> становятся [[Интеграл Римана — Стилтьеса|интегральными суммами Римана-Стилтьеса]] для функции <math>y</math> и функции распределения <math>F(y)</math>:

: <math>S = \sum_{k=1}^N y_k (F(y_{k+1}) - F(y_k)) \rightarrow \int\limits_{-\infty}^{+\infty}y dF(y)</math>.

Если функция распределения <math>F(y)</math> имеет плотность: <math>dF(y) = \rho(y)dy</math>, то интегральные суммы Лебега преобразуются в [[интеграл Римана|интегральные суммы Римана]]:

: <math>S = \sum_{k=1}^N y_k \rho(y_k)(y_{k+1} - y_k) \rightarrow \int\limits_{-\infty}^{+\infty}y\rho(y) dy</math>.

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему [[интеграл Римана]] (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

=== {{якорь|Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций}}Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций ===
* [[Теорема Леви о монотонной сходимости]]
* [[Теорема Лебега о мажорируемой сходимости]]
* [[Лемма Фату]]

== Примечания ==
{{комментарии}}
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|ref          = Колмогоров, Фомин
|заглавие     = Элементы теории функций и функционального анализа
|автор= [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А.Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин С.В.]]
|издание      = изд. четвёртое, переработанное
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год          = [[1976 год|1976]]
|страницы     = 291—306
}}
* {{книга
|автор        = [[Треногин, Владилен Александрович|Треногин В. А.]]
|заглавие     = Функциональный анализ
|издание      = 
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год          = [[1980 год|1980]]
|страниц      = 495
|isbn         = 
}}
* {{книга
|автор = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г.Е.]]
|название = Математический анализ. Специальный курс
|издание = 2-е
|год = [[1961 год|1961]]
|место = М.
|страниц = 436
|издательство = [[Физматлит]]
}}

* {{книга
|автор = [[Фролов, Николай Адрианович|Фролов Н. А.]]
|название = Теория функций действительного переменного
|издание = 2-е
|год = [[1961 год|1961]]
|место = М.
|страниц = 173
|издательство = [[ГУПИМПР]]
}}

{{Библиоинформация}} {{^v}}
{{Интегральное исчисление}}
{{rq|refless}}

[[Категория:Теория вероятностей]]
[[Категория:Теория меры]]
[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Интегралы|Лебега]]