Просмотр кода страницы Интерполирование с кратными узлами

'''Интерполирование с кратными узлами''' — задача о построении [[многочлен]]а минимальной [[степень многочлена|степени]], принимающего в некоторых точках (узлах [[интерполяция|интерполяции]]) заданные значения, а также заданные значения [[производная функции|производных]] до некоторого [[производная функции#Производные высших порядков|порядка]].

Показывается, что существует единственный многочлен <math>\ P_n(x)</math> степени <math>\ n</math>, удовлетворяющий условиям:
: <math>P_n^{(k)}(x_i)=f_{i,k}, i=1,\cdots,m; k=0,\cdots,n_i-1</math>, где <math>n_1+n_2+ \cdots +n_m=n+1</math>.

Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или [[Многочлены Эрмита|многочленом Эрмита]]. В общем виде:
: <math>P_n(x)=\sum_{i=1}^m\sum_{k=0}^{n_i-1}l_{i,k}(x)f_{i,k}</math>, <math>\ m</math> — количество узлов и <math>\ n_i</math> — кратность узла <math>\ x_i</math>.

[[Шарль Эрмит]] показал, что
: <math>l_{i,k}(x)=\left[\frac{1}{k!}\frac{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}{(x-x_i)^{n_i}}\right]\sum_{s=0}^{n_i-k-1}c_s^i(x-x_i)^{k+s}</math>, где <math>\ c_s^i</math> — коэффициенты [[ряд Тейлора|ряда Тейлора]] для функции <math>\frac{(x-x_i)^{n_i}}{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}=\sum_{s=0}^{\infty}c_s^i(x-x_i)^s</math>.

== Доказательство ==
{{пустой раздел|дата=2014-03-27}}

== Частные случаи ==

* Если все <math>\ n_i</math> равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с [[интерполяционный многочлен Лагранжа|интерполяционным многочленом Лагранжа]].
* Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с [[формула Тейлора|многочленом Тейлора]].
* Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении [[кубические сплайны|кубического сплайна]].

== Оценка остатка интерполяции ==

{{пустой раздел|дата=2014-03-27}}

== См. также ==

* [[Интерполяционный многочлен Лагранжа]]
* [[Интерполяционный многочлен Ньютона]]
* [[Интерполяционный тригонометрический многочлен]]
* [[Интерполяция сплайнами]]

== Литература ==

* Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.

[[Категория:Интерполяция]]