Интерполирование с кратными узлами

Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках (узлах интерполяции) заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.

Показывается, что существует единственный многочлен $P_n(x)$ степени $n$, удовлетворяющий условиям:

$P_n^{(k)}(x_i)=f_{i,k},i=1,\cdots ,m;k=0,\cdots ,n_i-1$, где $n_1+n_2+\cdots +n_m=n+1$.

Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или многочленом Эрмита. В общем виде:

$P_n(x)=\sum _{i=1}^m\sum _{k=0}^{n_i-1}{l}_{i,k}(x)f_{i,k}$, $m$ — количество узлов и $n_i$ — кратность узла $x_i$.

Шарль Эрмит показал, что

$l_{i,k}(x)=\left[\frac{1}{k!}\frac{\prod _{j=1}^m(x-x_j{)}^{n_j}}{(x-x_i{)}^{n_i}}\right]\sum _{s=0}^{n_i-k-1}{c}_s^i(x-x_i{)}^{k+s}$, где $c_s^i$ — коэффициенты ряда Тейлора для функции $\frac{(x-x_i{)}^{n_i}}{\prod _{j=1}^m(x-x_j{)}^{n_j}}=\sum _{s=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_s^i(x-x_i{)}^s$.

Частные случаи

• Если все $n_i$ равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа.
• Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с многочленом Тейлора.
• Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении кубического сплайна.

См. также

• Интерполяционный многочлен Лагранжа
• Интерполяционный многочлен Ньютона
• Интерполяционный тригонометрический многочлен
• Интерполяция сплайнами

Литература

• Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.