Просмотр кода страницы История тригонометрии

{{аудиостатья введение|Ru-History_of_trigonometry_(intro).ogg|{{date|30|10|2012|1}}|49446090}}
'''История тригонометрии''' как науки о соотношениях между [[Угол|углами]] и [[Треугольник|сторонами треугольника]] и других геометрических фигур охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных [[Алгебраическая операция|алгебраических операций]], и поэтому понадобилось ввести особые [[тригонометрические функции]], первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.

Историки полагают, что [[Тригонометрия|тригонометрию]] создали древние [[Астрономия|астрономы]]; немного позднее её стали использовать в [[Геодезия|геодезии]] и [[Архитектура|архитектуре]]. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности<ref name=VYG>{{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |заглавие=Справочник по элементарной математике |место = М. |издательство=Наука |год=1978 |страницы=266—268}}</ref>. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении [[Колебаний и волн теория|колебательных процессов]]; на них основан также [[гармонический анализ]] функций и другие инструменты [[Математический анализ|анализа]]. [[Томас Пейн]] в своей книге «[[Век Разума]]» (1794) назвал тригонометрию «душой науки»<ref>{{книга |автор=Paine, Thomas. |заглавие=The Age of Reason |ссылка=http://www.sacred-texts.com/aor/paine/aor/aor13.htm |издательство=Dover Publications |год=2004 |страницы=52 |archivedate=2012-11-16 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121116023945/http://www.sacred-texts.com/aor/paine/aor/aor13.htm }}</ref>.

== Ранний период ==
[[Файл:Chinese pythagoras.jpg|мини|<center>Древнекитайская иллюстрация к [[Теорема Пифагора|теореме Пифагора]]</center>]]
Зачатки [[Тригонометрия|тригонометрии]] можно найти в математических рукописях [[Математика в Древнем Египте|древнего Египта]], [[Вавилонская математика|Вавилона]] и [[Математика в Древнем Китае|древнего Китая]]. 56-я задача из [[Папирус Ринда|папируса Ринда]] (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей<ref>{{книга|автор=Eli Maor.|заглавие=Trigonometric Delights|ссылка=https://archive.org/details/trigonometricdel00maor|издательство=Princeton University Press|год=1998|pages=[https://archive.org/details/trigonometricdel00maor/page/n23 20]|isbn=0-691-09541-8}}</ref>.

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов [[Градус (геометрия)|градусами, минутами и секундами]] (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают [[Гипсикл]]у, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: [[вписанный угол]], опирающийся на диаметр круга — прямой{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|с=95 }}. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя [[Теорема Пифагора|теоремы Пифагора]]; [[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден]] считает, что [[Древняя Месопотамия|вавилоняне]] открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.<ref>{{книга|автор=van der Waerden, Bartel Leendert. |заглавие=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations |ссылка=https://books.google.com/?id=_vPuAAAAMAAJ&q=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&dq=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&cd=1 |издательство=Springer |год=1983 |isbn=3-540-12159-5}}</ref> Вполне возможно, что [[Китайская цивилизация|китайцы]] открыли его независимо (см. «[[Математика в девяти книгах]]»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «[[египетский треугольник]]» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался{{sfn|Ван дер Варден|1959|с=13, подстрочное примечание}}<ref>{{книга|автор=Зверкина Г. А. |заглавие=История математики: Учебное пособие |место=М. |издательство=МИИТ |год=2005 |страниц=108}}: «Говоря о египетской геометрии, естественно упомянуть «египетские треугольники» – прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами, известные и в Месопотамии. В [[землемер]]ной практике знание таких треугольников позволяло с помощью шнура с завязанными на нем на равном расстоянии узлами размечать прямые углы земельных участков».</ref>.

== Древняя Греция ==
Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в [[Математика в Древней Греции|древнегреческой]] геометрии{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|с=77 |name=GL77 }}. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку — для них она была частью астрономии{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|с=124-125 }}.

=== Плоская тригонометрия ===
Несколько теорем тригонометрического характера содержат «[[Начала Евклида|Начала]]» [[Евклид]]а (IV век до н. э.). В первой книге «Начал» теоремы 18 и 19 устанавливают, что большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол — и обратно, большему углу соответствует бо́льшая сторона. Теоремы 20 и 22 формулируют «[[неравенство треугольника]]»: из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого меньше суммы длин двух других. Теорема 32 доказывает, что сумма углов треугольника равна 180°.

Во второй книге «Начал» теорема 12 представляет собой словесный аналог [[Теорема косинусов|теоремы косинусов]]{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|с=94-95 |name=GL94 }}:
{{начало цитаты}}
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.
{{конец цитаты}}
Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога [[Теорема синусов|теоремы синусов]] у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее<ref name=MATV92/>.

[[Файл:Aristarchus Moon-Earth-Sun.png|250 px|thumb|Прямоугольный треугольник Аристарха: взаимное расположение Солнца, Луны и Земли во время [[Квадратура (астрономия)|квадратуры]]]]
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома [[Аристарх Самосский|Аристарха Самосского]] (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон [[Прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]] при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время [[Квадратура (астрономия)|квадратуры]]. Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения <math>\sin 3^\circ</math>. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны{{sfn |Цейтен Г. Г.|1932|с=153-154 }}; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла. Попутно Аристарх доказал неравенство, которое в современных терминах передаётся формулой:
: <math>\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac{\alpha}{\beta}<\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}.</math>
Это же неравенство содержится в «Исчислении песчинок» [[Архимед]]а{{sfn |Веселовский|1961|с=38 }}. В трудах Архимеда (III век до н. э.) имеется важная теорема деления хорд, по существу эквивалентная формуле синуса половинного угла{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=15 }}<ref>{{книга|автор=Boyer, Carl B. |заглавие=A History of Mathematics |ссылка=https://archive.org/details/historymathemati00boye_328 |издание=Second ed |издательство=John Wiley & Sons, Inc. |год=1991 |pages=[https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n177 158]–159 |isbn=0-471-54397-7}}</ref>:
: <math>\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 - \cos\alpha}{2} }.</math>

В течение всего периода развития античной науки главным полем для приложения результатов плоской тригонометрии у греков оставалась астрономия. Помимо задачи о вычислении расстояний, привлечения тригонометрии требовало определение параметров системы [[эпицикл]]ов и/или эксцентров, представляющих движение светила в пространстве. Согласно широко распространённому мнению, эта проблема впервые была сформулирована и решена [[Гиппарх]]ом (середина II века до н. э.) при определении элементов орбит Солнца и Луны; возможно, аналогичными задачами занимались и астрономы более раннего времени. Ему же часто приписывают авторство первых тригонометрических таблиц, не дошедших до нас{{sfn |Toomer|1973}}. Впрочем, согласно некоторым реконструкциям, первые тригонометрические таблицы были составлены ещё в III веке до н. э., возможно, [[Аполлоний Пергский|Аполлонием Пергским]]{{sfn |Van der Waerden|1988 }}.

[[Файл:Corda de fita igual al doble del sinus de la meitat de fita.svg|мини|250 px|right|<center>Синус угла θ/2 равен полухорде единичной окружности</center>]]
Вместо современной функции синуса Гиппарх и другие древнегреческие математики обычно рассматривали зависимость длины [[Хорда (геометрия)|хорды]] [[Окружность|окружности]] от заданного [[центральный угол|центрального угла]] (или, что эквивалентно, от заданной дуги окружности, выраженной в угловой мере). В современной терминологии, длина хорды, стягивающей дугу θ [[Единичная окружность|единичной окружности]], равна удвоенному синусу центрального угла θ/2. Это соответствие справедливо для любых углов: 0° < θ < 360°. На языке хорд были сформулированы первые открытые греками тригонометрические соотношения<ref name=VYG/>. Например, современной формуле:
: <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>
соответствовала у греков теорема{{sfn |Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|с=77 }}:
: <math>(chord_{\alpha})^2 + (chord_{180^\circ - \alpha})^2 = d^2,</math>
где <math>chord_{\alpha}</math> — хорда для центрального угла <math>\alpha</math>, <math>d</math> — диаметр круга.

При этом радиус круга не считался равным единице, как сейчас. Например, у Гиппарха радиус круга предположительно считался равным ''R=''3438 единиц — при таком определении длина дуги окружности была равна угловой мере этой дуги, выраженной в минутах: <math>\frac{360\cdot 60}{2\pi}\approx 3438</math>, и это облегчало вычисления. У Птолемея ''R=''60 единиц. Согласно современным реконструкциям{{sfn |Toomer|1973}} {{sfn |Thurston|1994}}, величины хорд у Гиппарха были протабулированы с интервалом 7°30'. Возможно, в основе вычисления таблицы Гиппарха лежал метод, разработанный [[Архимед]]ом и восходящий ещё к [[Аристарх Самосский|Аристарху]]{{sfn|Duke|2011|}}.

[[Файл:Ptolemy Theorem.svg|thumb|250 px|right|<math>AB \cdot CD + BC \cdot AD =</math><br /><math> = AC \cdot BD</math> ([[теорема Птолемея]])]]
Позднее астроном II века [[Клавдий Птолемей]] в «[[Альмагест]]е» дополнил результаты Гиппарха. Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут<ref name=VYG/>. Для вычисления хорд Птолемей использовал (в главе X) [[теорема Птолемея|теорему Птолемея]] (известную, впрочем, ещё Архимеду), которая утверждает: сумма произведений длин противоположных сторон выпуклого вписанного в круг четырёхугольника равна произведению длин его диагоналей. Из этой теоремы нетрудно вывести две формулы для синуса и [[косинус]]а суммы углов и ещё две для синуса и косинуса разности углов, однако общая формулировка этих теорем у греков отсутствует{{sfn |Хрестоматия по истории математики|1976|с=195-197 |name=CU195 }}.

Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «[[Решение треугольников|решения треугольников]]», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной)<ref name=GL77/>. Впоследствии эта задача и её обобщения стали основной задачей тригонометрии<ref name=VYG/>: заданы несколько (обычно три) известных элементов треугольника, требуется найти остальные связанные с ним величины. Первоначально в число элементов треугольника (известных или неизвестных) включали стороны и углы при вершинах, позже к ним добавились [[Медиана треугольника|медианы]], [[Высота треугольника|высоты]], [[Биссектриса|биссектрисы]], [[радиус]] [[Вписанная окружность|вписанной]] или [[Описанная окружность|описанной]] окружности, положение [[Центр масс|центра тяжести]] и т. д. Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием — например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).

=== Сферическая тригонометрия ===
Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули [[сферическая тригонометрия|сферическую тригонометрию]]. В «[[Начала Евклида|Началах]]» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и [[Картография|картографии]] вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей — [[Система небесных координат|системы небесных координат]], [[Картографическая проекция|теории картографических проекций]], технологии [[Астрономические инструменты|астрономических приборов]] (в частности, была изобретена [[астролябия]]{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=25-27 }}).

Историки не пришли к консенсусу насчёт степени развития у античных греков геометрии [[Небесная сфера|небесной сферы]]. Некоторые исследователи приводят доводы, что [[Системы небесных координат|эклиптическая или экваториальная система координат]] использовалась для записи результатов астрономических наблюдений по меньшей мере уже во времена Гиппарха{{sfn |Duke|2002}}. Возможно, тогда были известны и некоторые теоремы сферической тригонометрии, которые могли использоваться для составления звёздных каталогов{{sfn |Sidoli|2004}} и в [[геодезия|геодезии]].

Первые известные нам труды по «Сферике» (то есть сферической геометрии, с ясным астрономическим уклоном) написали{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=27-33|name=GPM27 }}:
: (IV век до н. э.) [[Автолик из Питаны]] и [[Евклид]] («Феномены»).
: (II век до н. э.) [[Феодосий (математик)|Феодосий]] и [[Гипсикл]].
Некоторые разобранные в этих сочинениях задачи носят тригонометрический характер, однако из-за слабой разработанности теории авторы ещё применяют обходные пути. Например, задачу «найти время полного восхода (захода) [[Зодиакальные созвездия|зодиакального созвездия]]» Гипсикл решает приближённо с помощью [[Фигурные числа|многоугольных чисел]]<ref name=GPM27/>.

[[Файл:Spherical triangle 3d.png|мини|250 px|right|<center>Сферический треугольник</center>]]
Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал [[Менелай Александрийский]] (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о [[Сферический треугольник|сферических треугольниках]], аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). Историки считают, что подход Менелая во многом опирается на труды [[Феодосий (математик)|Феодосия]], которые у Менелая существенно расширены и приведены в систему. По сообщению [[Папп Александрийский|Паппа]], Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками [[Сферическая геометрия|больших кругов]]{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=33-36|name=GPM33 }}. Менелай доказал теорему, для которой у Евклида нет плоского аналога: два сферических треугольника [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтны]] (совместимы), если соответствующие углы равны. Другая его теорема утверждает, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°<ref name=GPM33/>.

Вторая книга «Сферики» излагает применение сферической геометрии к астрономии. Третья книга содержит важную для практической астрономии [[Теорема Менелая|теорему Менелая]], известную как «правило шести величин»{{sfn |История математики, том I|1970|с=141-142 }}. Две другие открытые Менелаем фундаментальные теоремы впоследствии получили названия «правило четырёх величин» и «правило тангенсов»<ref name=GPM33/>.

Несколько десятилетий спустя [[Клавдий Птолемей]] в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана [[стереографическая проекция]], исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут [[Небесное светило|небесного светила]] по его [[Склонение (астрономия)|склонению]] и [[часовой угол|часовому углу]]. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу{{sfn |Цейтен Г. Г.|1932|с=158-162 }}.

Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой книге «Альмагеста»; в отличие от Менелая, Птолемей не привёл доказательств многих утверждений, но зато уделил много внимания алгоритмам, пригодным для практических вычислений в астрономии. Опорной конструкцией, вместо плоских хорд, в «Альмагесте» служит «четырёхсторонник Менелая». Для «[[Решение треугольников|решения]]» прямоугольного сферического треугольника, то есть для вычисления его характеристик, Птолемей привёл в словесной записи 4 теоремы; в современных обозначениях они имеют вид (угол <math>C</math> прямой){{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=36-39|name=GPM36 }}:
: <math>\sin a = \sin c \cdot \sin A</math> (частный случай [[Теорема синусов (сферическая геометрия)|сферической теоремы синусов]])
: <math>\operatorname{tg} a = \sin b \cdot \operatorname{tg} A</math>
: <math>\cos c = \cos a \cdot \cos b</math> (частный случай [[Теорема косинусов (сферическая геометрия)|сферической теоремы косинусов]])
: <math>\operatorname{tg} b = \operatorname{tg} c \cdot \cos A</math>
Поясним, что в сферической геометрии принято измерять стороны треугольника не линейными единицами, а величиной опирающихся на них [[Центральный угол|центральных углов]]. В современной сферической тригонометрии приводятся ещё два соотношения:
: <math>\cos A = \cos a \cdot \sin B</math> (тоже вытекает из сферической теоремы косинусов)
: <math>\cos c = \operatorname{ctg} A \cdot \operatorname{ctg} B</math>
У Птолемея они отсутствуют, поскольку их нельзя вывести из теоремы Менелая<ref name=GPM36/>.

== Средневековье ==

=== Индия ===
В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения [[История математики в Индии|индийских математиков]] ([[Сиддханта|сиддханты]]) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=40-44|name=GPM40 }}. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.
[[Файл:Old-trigonom.gif|250 px|thumb|Определение тригонометрических функций в средневековой математике]]
В первую очередь индийцы изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным. Они провели замену античных хорд на синусы (название «синус» восходит к слову «тетива» на [[санскрит]]е{{sfn |История математики в Средние века|1961|с=156-158|name=KU156 }}) в [[Прямоугольный треугольник|прямоугольном треугольнике]]. Тем самым в Индии было положено начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями острого угла{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|с=81-82 }}.

Синус индийцы определяли несколько иначе, чем в современной математике (см. рис. справа): под синусом понималась длина отрезка AD, опирающегося на дугу AC окружности радиуса ''R=''3438 единиц (как у [[Гиппарх]]а). Таким образом, «индийский синус» угла в 3438 раз больше современного синуса и имел размерность длины<ref name=KU156/>. Из этого правила были исключения; например, [[Брахмагупта]] по неясным причинам принял радиус равным 3270 единиц{{sfn |Scott J. F.|1958|с=50|name=SC50 }}.

Индийцы первыми ввели в использование [[косинус]]. Использовался ещё так называемый обращённый синус, или [[синус-верзус]], равный длине отрезка DC на рисунке справа{{sfn |Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|с=79|name=SM79 }}.

Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в связи с её астрономическими приложениями, в основном для использовании в теории движения планет и для изучения небесной сферы. Это свидетельствует о хорошем знании сферической тригонометрии «Альмагеста» и «Аналеммы», однако ни одной их собственной работы, развивающей теорию этого раздела тригонометрии, не обнаружено{{sfn |Scott J. F.|1958|с=52|name=SC52 }}. Тем не менее в разработке прикладных алгоритмов решения астрономических задач индийцы достигли больших успехов<ref name=GPM40/>. Например, в «Панча-сиддхантике» [[Варахамихира|Варахамихиры]] (VII в.) даётся оригинальное решение астрономической задачи, описанной у Птолемея: найти высоту Солнца над горизонтом, если известны [[Широта географическая|широта]] местности, [[Склонение (астрономия)|склонение]] Солнца и его [[часовой угол]]. Автор для решения применяет аналог [[Теоремы косинусов (сферическая геометрия)|теоремы косинусов]]{{sfn |История математики, том I|1970|с=199-201}}, он же впервые привёл формулу для синуса половинного угла{{sfn |История математики в Средние века|1961|с=157|name=KU157 }}.

[[Файл:2064 aryabhata-crp.jpg|200 px|right|thumb|<center>Статуя [[Ариабхата|Ариабхаты]]. Индийский межуниверситетский центр астрономии и астрофизики (IUCAA)</center>]]
Для астрономических расчётов был составлен ряд тригонометрических таблиц. Первые (четырёхзначные) таблицы синусов приведены в древней «[[Сурья-сиддханта|Сурья-сиддханте]]» и у [[Ариабхата|Ариабхаты]] («Ариабхатия», V век). Таблицы Ариабхаты содержат 24 значения синусов и синус-верзусов с интервалом 3°45' (половина шага таблиц у Гиппарха).

Важный вклад в развитие тригонометрии внес [[Брахмагупта]] (VII в.), открывший [[Интерполяционная формула Брахмагупты|интерполяционную формулу]], которая позволила ему  получить значения синуса на основе небольшого количества известных значений этой функции<ref name="Gupta">{{статья |заглавие=Second-order interpolation in Indian mathematics upto the fifteenth century |издание=Indian Journal of History of Science |том=4 |номер=1 & 2 |страницы=86—98 |язык=en |тип=journal |автор=Gupta, R. C.}}</ref>. 
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов <math>\sin n\varphi</math>, <math>\cos n\varphi</math> для <math>n = 2, 3, 4, 5</math>. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется [[Теорема синусов (сферическая геометрия)|сферический вариант теоремы синусов]], однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась{{sfn |История математики в Средние века|1961|с=160|name=KU160 }}. Историки нашли в индийских трудах неявное использование [[тангенс]]ов, но важность этого понятия была осознана только позже, математиками исламских стран<ref name=GPM40/>.

В трудах другого выдающегося ученого, [[Бхаскара II|Бхаскары II]] (XII век), приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов:
: <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta,</math>
а также формула для малого [[Приращение функции|приращения]] синуса:
: <math>\sin \alpha - \sin \beta \approx (\alpha - \beta)\cos \beta </math>
(при <math>\alpha \approx \beta</math>), соответствующая современному выражению для дифференциала синуса. Опираясь на формулу синуса суммы, Бхаскара опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические таблицы с шагом 1°{{sfn |История математики в Средние века|1961|с=159 }}.

В XI веке мусульмане ([[Махмуд Газневи]]) захватили и разорили Северную Индию. Культурные центры переместились в Южную Индию, где образуется так называемая «[[керальская школа астрономии и математики]]» (по названию современного штата [[Керала]] на юге Индии)<ref>{{статья |автор=Бахмутская Э. Я. |заглавие=Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV—XVIII вв |издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=13 |издательство=Физматгиз |место=М. |год=1960 |страницы=325—335}}</ref>. В XV—XVI веках математики Кералы в ходе астрономических исследований добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов, в том числе для тригонометрических функций<ref name=KU160/>. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды<ref>{{статья|автор=Roy, Ranjan.|заглавие=Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory, and Nilakantha|автор издания=Math. Assoc. Amer.|издание=Mathematics Magazine|год=1990|выпуск=63 (5)|страницы=291—306}}</ref>, восходящие, вероятно, к основателю этой школы астроному [[Мадхава из Сангамаграмы|Мадхаве из Сангамаграмы]] (1-я половина XV века){{sfn |Plofker|2009}}. Мадхава и его последователь [[Нилаканта Сомаяджи|Нилаканта]] (в трактате «''Taнтpacaнrpaха''») приводят также правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. В Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII—XVIII веках. Так, ряды для синуса и косинуса вывел [[Исаак Ньютон]] около 1666 года, а ряд арктангенса был найден [[Грегори, Джеймс|Дж. Грегори]] в 1671 году и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Г. В. Лейбницем]] в 1673 году{{sfn |История математики, том I|1970|с=203 }}.

=== Исламские страны ===
В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Переводом их на арабский язык занимались такие крупные учёные VIII века, как [[Ал-Фазари, Ибрахим|Ибрахим Ал-Фазари]] и [[Якуб ибн Тарик]]. Далее они и их последователи стали активно комментировать и развивать эти теории. Опорной конструкцией у исламских учёных, как и у индийцев, был синус в треугольнике, или, что то же самое, полухорда в круге<ref name=SC52/>.

Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «[[зидж]]и»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=51-55|name=GPM51 }}. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Предметом особого внимания ученых стран ислама была сферическая тригонометрия, методы которой использовались для решения задач астрономии и геодезии{{sfn |Хрестоматия по истории математики|1976|с=204-205 }}. Среди основных решаемых проблем были следующие{{sfn |История математики, том I|1970|с=236-238|name=U1-236 }}<ref name=GPM51/>.
: — Точное определение времени суток.
: — Вычисление будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, [[Солнечное затмение|затмений Солнца]] и [[Лунное затмение|Луны]].
: — Нахождение [[Географические координаты|географических координат]] текущего места.
: — Вычисление расстояния между городами с известными [[Географические координаты|географическими координатами]].
: — Определение направления на [[Мекка|Мекку]] ([[кибла]]) из заданного места.

[[Файл:Old-tangens.gif|thumb|right|180px|Определение тангенса, котангенса, секанса и косеканса в средневековой арабской математике. Отрезок AD — гномон (вертикальный вверху или горизонтальный внизу), отрезок OD — его тень]]
Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат [[ал-Хорезми]] и [[Хаббаш аль-Хасиб|ал-Марвази]] (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: [[тангенс]], [[котангенс]], [[секанс]] и [[косеканс]]<ref name=SM79/>. Изначально эти функции определялись иначе, чем в современной математике. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального [[гномон]]а высотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта [[Солнечные часы|солнечных часов]]. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке справа){{sfn |История математики, том I|1970|с=234-235 }}. Лишь в X веке философ и математик [[ал-Фараби]] в своих комментариях к «Альмагесту» ввёл независимые от гномоники определения этих четырёх функций, определив их через синус и косинус в [[Тригонометрический круг|тригонометрическом круге]] птолемеевского радиуса (60 единиц). Основные соотношения между всеми шестью функциями привёл [[ал-Баттани]] в том же столетии. Окончательной унификации добился [[Абу-л-Вафа]] во второй половине X века, который впервые использовал для определения тригонометрических функций круг единичного радиуса, как это делается в современной математике.

[[Сабит ибн Курра]] (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную [[Теорема синусов (сферическая геометрия)|теорему синусов]] для частного случая прямоугольного [[Сферический треугольник|сферического треугольника]]. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, [[ал-Худжанди]] и [[ибн Ирак]]ом в конце X века{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=92-96 |name=MATV92 }}. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана [[теорема синусов]] для плоского треугольника{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=111 }}.

[[Сферическая теорема косинусов]] в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения. Вероятно, поэтому [[Региомонтан]], впервые давший общую формулировку этой важного соотношения (XV век), назвал его «теоремой Альбатегния» (так тогда в Европе называли ал-Баттани){{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=96-98 }}.

[[Ибн Юнис, Абу-л-Хасан|Ибн Юнис]] (X век) открыл преобразование произведения тригонометрических функций в сумму{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=69 }}, например:
: <math>\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>
Формулы преобразования позволяли заменить трудоёмкое умножение на более простое сложение или вычитание. Впоследствии в Европе эти же формулы использовали для противоположной цели — замены сложения и вычитания на умножение, чтобы затем для вычисления результата применить [[логарифмические таблицы]]<ref name=G9-60/>.

Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление тригонометрических таблиц с как можно меньшим шагом. В IX веке ал-Хорезми составил таблицы синусов с шагом 1°, его современник Хаббаш аль-Хасиб (ал-Марвази) добавил к ним первые таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов (с тем же шагом)<ref name=SM79/>. В начале X века ал-Баттани опубликовал таблицы с шагом 30', в конце того же столетия [[Ибн Юнис, Абу-л-Хасан|Ибн Юнис]] составил таблицы с шагом 1'{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=71-78 }}. При составлении таблиц ключевым было вычисление значения <math>\sin 1^\circ</math>. Искусные методы для вычисления этой величины изобрели Ибн Юнис, [[Абу-л-Вафа]], [[ал-Бируни]]. Наибольшего успеха добился в XV веке [[ал-Каши]]; в одной из своих работ он подсчитал, что <math>\sin 1^\circ \approx 0{,}017452406437283571</math> (все знаки верны). В составленных при его участии «Астрономических таблицах» [[Обсерватория Улугбека|Самаркандской обсерватории Улугбека]] таблицы синусов вычислены с шестью [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричными]] знаками{{sfn |Хрестоматия по истории математики|1976|с=195-198, }}, с шагом 1'. Султан [[Улугбек]] лично участвовал в этой работе: он написал специальный трактат о вычислении синуса угла в 1°.

[[Файл:Biruni Iranian.jpg|thumb|200 px|left|<center>[[Ал-Бируни]] на иранской марке 1973 г.</center>]]
Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного [[ал-Бируни]] (X—XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995—996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд ал-Бируни — «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15') Ал-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°). Идеологически труды Бируни близки к птолемеевским — на языке хорд он формулирует теоремы о синусе удвоенного и половинного угла, синусе суммы и разности углов{{sfn |Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|с=82 }}. Среди приложений книга Ал-Бируни показывает построение правильного вписанного девятиугольника и приближённое вычисление длины его стороны; этот алгоритм он использует для нахождения <math>\sin 1^\circ</math>. В другом труде, «Геодезия», Бируни сообщил результаты собственных измерений длины земного [[меридиан]]а, из которых следует оценка радиуса Земли, близкая к истинной (в пересчёте к [[Метрическая система мер|метрической системе]], Бируни получил 6340 км){{sfn |Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|с=88 }}.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном [[Ат-Туси, Насир ад-Дин|Насир ад-Дин ат-Туси]] в 1260 году<ref>''Туси Насирэддин''. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.</ref>. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам{{sfn |Рыбников К. А.|1960|с=105 }}. Приведена [[теорема тангенсов]] для сферических треугольников, описано важное понятие [[Полярный треугольник|полярного треугольника]] (впервые использованное в XI веке Ибн Ираком и [[ал-Джайяни]]). Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.

Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, составляющие содержание тригонометрии:
: — Выражение любой тригонометрической функции через любую другую.
: — Формулы для синусов и косинусов кратных и половинных углов, а также для суммы и разности углов.
: — Теоремы синусов и косинусов.
: — [[Решение треугольников|Решение плоских и сферических треугольников]]
Из-за отсутствия алгебраической символики все перечисленные теоремы выражались в громоздкой словесной форме, но по существу были полностью эквивалентны современному их пониманию.

=== Европа ===
[[Файл:Geometry XVII century.gif|thumb|left|250px|<center>Геодезические измерения (XVII век)</center>]]
После того как арабские трактаты были в XII—XIII веках переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря [[зидж]]у [[ал-Хорезми]], два перевода которого были выполнены в XII веке. Первоначально сведения о тригонометрии (правила её использования, таблицы некоторых тригонометрических функций) приводились в сочинениях по астрономии, однако в сочинении [[Фибоначчи]] «Практика геометрии», написанном около 1220 года, тригонометрия излагается как часть геометрии. Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома [[Ричард Уоллингфордский|Ричарда Уоллингфордского]] (около 1320 г.). Книга содержит доказательство ряда тригонометрических тождеств и оригинальный метод вычисления синусов. Примерно в те же годы был написан трактат еврейского математика [[Леви бен Гершом]]а (Герсонида) «О синусах, хордах и дугах», переведённый на латинский язык в 1342 году<ref>Этот трактат был включён в состав «Астрономии», одной из шести частей фундаментального теолого-философско-научного трактата «Войны Господа», над которым Герсонид трудился в ходе всей его жизни.</ref>. Книга содержит доказательство теоремы синусов и пятизначные таблицы синусов<ref>''Rabinovich, Nachum L.'' Рабби Леви бен Гершом и происхождение метода математической индукции. = Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction // [[Archive for History of Exact Sciences]]. — 1970. — В. 6. — С. 237—248.</ref>. Тригонометрия затрагивается в «Теоретической геометрии» английского математика [[Брадвардин, Томас|Томаса Брадвардина]] (написана в первой половине XIV в., опубликована в 1495 году). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV—XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Крупным достижением стала монография [[Региомонтан]]а «Пять книг о треугольниках всех видов» (опубл. 1462—1464), в которой были сведены все известные к этому моменту знания по плоской и сферической тригонометрии и приложены семизначные таблицы синусов (с шагом 1') и тангенсов (с шагом 1°). Немаловажно и то, что в таблицах Региомонтана, в нарушение астрономической традиции, впервые использовалась десятичная система (а не архаичная [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричная]]). Радиус [[Тригонометрический круг|тригонометрического круга]] Региомонтан принял равным <math>10^7</math>, чтобы табличные значения были представлены целыми числами (десятичные дроби вошли в обиход несколько позднее, причём мощным стимулом к их применению стали именно тригонометрические вычисления{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=14, 30-31 }}).

По сравнению с трактатом ат-Туси сочинение Региомонтана существенно полнее, оно содержит ряд новых задач, решённых оригинальными методами. Например, показывается, как построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол{{sfn |Цейтен Г. Г.|1932|с=223-224|name=ZGG223 }}.

== Новое время ==
[[Файл:Ferdinand Bol - Portret van een mathematicus.jpg|left|250 px|thumb|<center>[[Бол, Фердинанд|Фердинанд Бол]]. Портрет математика (1658). Диаграмма на стене показывает тригонометрические функции, определённые через окружность единичного радиуса</center>]]

=== XVI—XVII века ===
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не только для астрономии и астрологии, но и для других приложений, в первую очередь [[Артиллерия|артиллерии]], [[Оптика|оптики]] и [[Морская навигация|навигации]] при дальних морских путешествиях. Поэтому после XVI века этой темой занимались многие выдающиеся учёные, в том числе [[Коперник, Николай|Николай Коперник]], [[Кеплер, Иоганн|Иоганн Кеплер]], [[Виет, Франсуа|Франсуа Виет]]<ref name=GL79/>. Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «[[О вращении небесных сфер]]» (1543). Вскоре (1551) появились 15-значные тригонометрические таблицы [[Ретик]]а, ученика Коперника, с шагом 10"{{sfn |История математики, том I|1970|с=320 }}. Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).

Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие [[логарифм]]ов, причём первые [[логарифмические таблицы]] [[Непер, Джон|Джона Непера]] содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм [[Решение треугольников|решения сферических треугольников]], получивший название «[[формулы аналогии Непера]]»<ref>{{книга|автор=Степанов Н. Н.|заглавие=Сферическая тригонометрия|часть=§42. Формулы «аналогии Непера»|место=М.—Л.|издательство=[[ОГИЗ]]|год=1948|страниц=154|страницы=87—90}}</ref>.

Термин «тригонометрия» как название математической дисциплины ввёл в употребление немецкий математик [[Питискус, Бартоломеус|Б. Питискус]], опубликовавший в 1595 году книгу «Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о [[Решение треугольников|решении треугольников]]» ({{lang-lat|Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus}}). К концу XVII века появились современные названия тригонометрических функций. Термин «синус» впервые употребил около 1145 года английский математик и арабист [[Роберт Честерский]]<ref name=KU156/>. Региомонтан в своей книге назвал косинус «синусом дополнения» ({{lang-lat|sinus complementi}}), поскольку <math>\cos x = \sin(90^\circ - x)</math>; его последователи в XVII веке сократили это обозначение до ''co-sinus'' (Эдмунд Гунтер){{sfn |Глейзер Г. И.|1982|с=79, 84 |name=GL79 }}, а позднее — до ''cos'' ([[Уильям Отред]]). Названия тангенса и секанса предложил в 1583 году датский математик [[Томас Финке]]<ref name=GL79/>, а упомянутый выше Эдмунд Гунтер ввёл названия [[котангенс]]а и [[косеканс]]а. Термин «тригонометрические функции» впервые употребил в своей «Аналитической тригонометрии» (1770) [[Клюгель, Георг Симон|Георг Симон Клюгель]]{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=341-343|name=WIL341 }}.

[[Файл:Triangle inequality С.png|thumb|250px|right|<center>Стандартные обозначения в треугольнике</center>]]
Томас Финке предложил оригинальное решение геодезической задачи: найти углы треугольника, если известна их сумма <math>\alpha+\beta</math> и отношение противолежащих сторон <math>a:b</math>. Для решения Финке использовал [[Теорема тангенсов|формулу Региомонтана]] (см. рисунок){{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|с=126-127 }}:
: <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}} {\operatorname{tg}\frac{\alpha-\beta}{2}}</math>

Виет в первой части своего «Математического канона» (1579) поместил разнообразные таблицы, в том числе тригонометрические, а во второй части дал обстоятельное и систематическое, хотя и без доказательств, изложение плоской и сферической тригонометрии. В 1593 году Виет подготовил расширенное издание этого капитального труда. «Несомненно, что самый интерес его к алгебре первоначально был вызван возможностью приложений к тригонометрии и астрономии»{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|с=129|name=ZGG129 }}. Другой важной заслугой Виета стало применение в тригонометрии разработанной им общей алгебраической символики; если ранее решение задачи понималось как геометрическое построение, то начиная с работ Виета приоритет начинает переходить к алгебраическим вычислениям{{sfn |Александрова Н. В.|2008|с=189|name=AL189 }}. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества — например, [[Тригонометрические функции#Формулы для кратных углов|формулы для кратных углов]]{{sfn |Рыбников К. А.|1960|с=125 }}:
: <math>\cos m\alpha = \cos ^{m} \alpha - \frac{m(m-1)}{1\cdot 2}\cos ^{m-2} \alpha \cdot \sin ^2 \alpha + \dots</math>
: <math>\sin m\alpha = m \cos ^{m-1} \alpha \cdot \sin \alpha - \frac{m(m-1)(m-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cos ^{m-3} \alpha \cdot \sin ^3 \alpha + \dots</math>
Надо оговориться, что сам Виет ещё дал эти формулы частично в словесном описании, но при этом ясно указал на связь коэффициентов формул с [[Биномиальный коэффициент|биномиальными коэффициентами]] и привёл таблицу их значений для небольших значений <math>m</math><ref name=ZGG129/>.

Из других достижений Виета{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|с=130-132 }}: в работе «Дополнение к геометрии» Виет указал тригонометрический способ решения кубического уравнения для самого трудного в тот период — [[Формула Кардано|''неприводимого'']] — случая (стандартная формула требует умения работать с корнями из [[Комплексное число|комплексных чисел]]). Виет дал первое в истории бесконечное произведение:
: <math>\frac{2}{\pi} = \cos \frac{90^\circ}{2} \cdot \cos \frac{90^\circ}{4} \cdot \cos \frac{90^\circ}{8} \dots</math>

[[Файл:Mountain height by triangulation.svg|thumb|250px|right|<center>Измерение высоты</center>]]
Кроме артиллерии и навигации, тригонометрия быстро развивалась и в таких классических областях её применения, как [[геодезия]]. Широкое применение тангенсов объяснялось, в частности, простотой измерения с их помощью высоты горы или здания (см. рисунок):
: <math> h = \frac{\operatorname{tg}\alpha\ \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha} \,l</math>
В 1615 году «[[Снеллиус]] нашёл решение [[Задача Потенота|задачи Снеллиуса-Потенота]]»: найти точку, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами. Он открыл [[закон преломления света]]: для заданных исходной и преломляющей среды отношение синусов угла падения и угла преломления постоянно. Тем самым Снеллиус открыл дорогу новым применениям тригонометрических функций в оптике, а изобретение в эти же годы первых [[телескоп]]ов придало этому открытию особую важность.

[[Файл:Durer sine wave.jpg|340px|мини|слева|Синусоида в книге Альбрехта Дюрера (1525)]]
Первый график [[Синусоида|синусоиды]] появился в книге [[Дюрер, Альбрехт|Альбрехта Дюрера]] «Руководство к измерению циркулем и линейкой» ({{lang-de|Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt}}, 1525 год)<ref>{{книга|автор=Хайрер Э., Ваннер Г |заглавие=Математический анализ в свете его истории |ссылка=https://archive.org/details/isbn_9785891764859 |место=М. |издательство=Научный мир |год=2008 |страницы=[https://archive.org/details/isbn_9785891764859/page/n51 42] |страниц=396 |isbn=978-5-89176-485-9}}</ref>. В 1630-х годах [[Жиль Роберваль]], в ходе своих исследований [[Циклоида|циклоиды]], независимо вычертил [[Синусоида|синусоиду]]{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|с=86 |name=GL86 }}, он же опубликовал формулу тангенса двойного угла{{sfn |Глейзер Г. И.|1983|с=60|name=G9-60 }}. [[Джон Валлис]] в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех [[Квадрант плоскости|квадрантах]] и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил [[Джеймс Грегори]] (1668){{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=324-325 }}.

Во второй половине XVII века началось стремительное развитие общей теории [[Квадратура (математика)|квадратур]] (то есть вычисления площади), завершившееся появлением в конце века [[Математический анализ|математического анализа]]. Для тригонометрических функций важные результаты в начале этого периода получил [[Блез Паскаль]] (опубликованы в его книге «Письма А. Деттонвилля о некоторых его геометрических открытиях», 1659 год). В современной терминологии, Паскаль вычислил интегралы от натуральных степеней синуса и косинуса и некоторые связанные с ними{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|с=283-288 }}, а также отметил, что <math>d(\sin x) = \cos x\ d x</math>. Работы в области тригонометрии проводили такие крупные математики XVII века, как [[Отред, Уильям|Отред]], [[Гюйгенс, Христиан|Гюйгенс]], [[Озанам, Жак|Озанам]], [[Валлис, Джон|Валлис]]. Заметным процессом во второй половине XVII века стала постепенная алгебраизация тригонометрии, совершенствование и упрощение её символики (хотя до [[Эйлер, Леонард|Эйлера]] символика была всё же гораздо более громоздка, чем современная){{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=327-335 }}.

=== XVIII век ===
После открытия [[Математический анализ|математического анализа]] сначала [[Джеймс Грегори]], а затем [[Исаак Ньютон]] получили разложение тригонометрических функций (а также [[Обратные тригонометрические функции|обратных к ним]]) в [[Числовой ряд|бесконечные ряды]]. Ньютон посвятил проблемам геометрии и тригонометрии 10 задач в своей книге «[[Универсальная арифметика]]»{{sfn |История математики, том III|1972|с=205-209|name=U3-205 }}. Например, в задаче X требуется «[[Решение треугольников|решить треугольник]]», если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон. Предложенный Ньютоном метод решения представляет собой одну из [[Формулы Мольвейде|формул Мольвейде]]{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=331 }}.

[[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] строго доказал, что <math>\sin x</math> не может быть, вообще говоря, алгебраически выражен через <math>x</math>, то есть, в современной терминологии, тригонометрические функции [[Трансцендентная функция|трансцендентны]]{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|с=419 }}.

Важными открытиями в начале XVIII века стали:
: — Открытие и широкое распространение [[Радиан|радианной меры углов]]<ref>{{cite web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html|title=Biography of Roger Cotes|work=The MacTutor History of Mathematics|date=2005-02|last1=O'Connor|first1=J. J.|first2=E. F.|last2=Robertson |archiveurl=https://www.webcitation.org/6AuwvrfcU?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html|archivedate=2012-09-24}}</ref> ([[Котс, Роджер|Роджер Котс]], 1714). Сам термин «радиан» появился позднее, его в 1873 году предложил английский инженер [[Томсон, Джеймс (инженер)|Джеймс Томсон]]{{sfn |Александрова Н. В.|2008|с=152 }}.
: — Тригонометрическое представление [[Комплексное число|комплексного числа]] и [[формула Муавра]].
:: <math>(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n\varphi + i \sin n\varphi \ </math>
: — Начало использования ([[Ньютон, Исаак|Ньютон]] и [[Грегори, Джеймс|Грегори]]) [[Полярная система координат|полярной системы координат]], связанной с [[Декартова система координат|декартовой]] тригонометрическими соотношениями; в общее употребление эти координаты ввёл [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] (1748){{sfn |Александрова Н. В.|2008|с=80-81 }}.
В 1706 году швейцарский математик Якоб Герман опубликовал формулы для тангенса суммы и тангенса кратных углов, а [[Иоганн Ламберт]] в 1765 году нашёл [[Тригонометрические функции#Однопараметрическое представление|чрезвычайно полезные формулы]], выражающие разные тригонометрические функции через тангенс половинного угла{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=322, 329 }}. Исследуя [[гиперболические функции]] (1761), Ламберт показал, что их свойства аналогичны свойствам тригонометрических; причину этого ещё в 1707 году обнаружил [[Муавр, Абрахам де|Муавр]]: при замене вещественного аргумента на [[Комплексное число|мнимый]] круг переходит в [[Гипербола (математика)|гиперболу]], а тригонометрические функции — в соответствующие гиперболические{{sfn |Александрова Н. В.|2008|с=207 }}.

Немецкий математик {{нп3 |Оппель, Фридрих Вильгельм фон|Фридрих Вильгельм фон Оппель|de|Friedrich Wilhelm von Oppel }} в книге «Анализ треугольников» (1746) опубликовал в современной записи обе [[формулы Мольвейде]]{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=334 }}.

В книге «Полигонометрия» (1789) [[Люилье, Симон|Симон Люилье]] обобщил тригонометрические соотношения для треугольников, дав их аналоги для произвольных многоугольников, включая пространственные. В работах на эту тему Люилье привёл основную теорему [[Полигонометрия|полигонометрии]]: ''площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с первой гранью''. Он рассмотрел способы «решения многоугольников» с <math>n</math> сторонами при различных постановках задачи: заданы <math>n-1</math> сторона и <math>n-2</math> угла, или все углы и <math>n-2</math> стороны, или все стороны и <math>n-3</math> угла{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=345 }}.

В 1798 году [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] доказал, что если размеры сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, то при решении тригонометрических задач можно применять формулы плоской тригонометрии, вычтя при этом из каждого угла треть [[Сферический треугольник|сферического избытка]]<ref>{{книга |автор=Степанов Н. Н. |заглавие=Сферическая тригонометрия |издание=Изд. 2-е |место=М.-Л. |издательство=ГИТТЛ |год=1948 |страницы=139—143 |страниц=154}}</ref>.

Манера обозначать [[обратные тригонометрические функции]] с помощью приставки ''arc'' (от {{lang-lat|arcus}} — дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (''Karl Scherffer'', 1716—1783) и закрепилась благодаря [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжу]]. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: <math>\sin^{-1}, \frac{1}{\sin}</math>, но они не прижились{{sfn |Александрова Н. В.|2008|с=211 }}.

==== Реформы Леонарда Эйлера ====
[[Файл:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|<center>[[Леонард Эйлер]]</center>]]
Современный вид тригонометрии придал [[Леонард Эйлер]]. В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному<ref name=U3-205/>, и соответственно определил [[Обратные тригонометрические функции|обратные функции]]. Если его предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера <math>\sin x, ~ \cos x, ~ \operatorname{tg} x</math> и т. д. стали рассматриваться как безразмерные [[Аналитическая функция|аналитические функции]] действительного и [[Комплексное число|комплексного]] переменного. Для комплексного случая он установил связь тригонометрических функций с [[Показательная функция|показательной функцией]] ([[формула Эйлера]]). Подход Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.

Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей [[Вещественное число|вещественной]] [[Числовая ось|числовой прямой]], а затем продолжить их на [[Комплексная плоскость|комплексную плоскость]]. Когда встал вопрос о распространении тригонометрических функций на тупые углы, знаки этих функций до Эйлера нередко выбирались ошибочно; многие математики считали, например, косинус и тангенс тупого угла положительными<ref name=GL86/>. Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных квадрантах, исходя из [[Тригонометрические функции#Формулы приведения|формул приведения]]{{sfn |История математики, том III|1972|с=323 }}.

Эйлер впервые представил разложение тригонометрических функций в [[Бесконечное произведение|бесконечные произведения]] (1734), откуда вывел ряды для их логарифмов{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=148, 336 }}.

В других трудах, в первую очередь «Основания сферической тригонометрии, выведенные из метода максимумов и минимумов» (1753) и «Всеобщая сферическая тригонометрия, кратко и ясно выведенная из первых оснований» (1779), Эйлер впервые дал полное систематическое изложение сферической тригонометрии на аналитическом основании{{sfn |История математики, том III|1972|с=209-215|name=U3-209 }}, причём многие крупные результаты принадлежат самому Эйлеру.

В середине XVIII века разгорелся важнейший по своим последствиям «[[спор о струне]]»<ref name="MATENC_TR"/>. [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] в полемике с [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Даламбером]] предложил более общее определение функции, чем принималось ранее; в частности, функция может быть задана [[Тригонометрический ряд|тригонометрическим рядом]]. В своих трудах Эйлер использовал несколько представлений [[Алгебраическая функция|алгебраических функций]] в виде ряда из кратных аргументов тригонометрических функций, например{{sfn |Паплаускас А. Б.|1966|с=7, 15|name=PAP7 }}:
: <math>\frac{\pi - x}{2} = \sin x + \frac{\sin 2 x}{2} + \frac{\sin 3 x}{3}\dots</math>
Общей теорией тригонометрических рядов Эйлер не занимался и сходимость полученных рядов не исследовал, но получил несколько важных результатов. В частности, он вывел разложения целых степеней синуса и косинуса<ref name=PAP7/>.

==== Тригонометрия в России ====
В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Л. Ф. Магницкого]] в 1703 году<ref>{{книга |автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]] |заглавие=История математики в школе |издательство=Просвещение |место=М. |год=1964 |страниц=376 |страницы=287}}</ref>. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии<ref>См.: ''Юшкевич А. П.'' Главы по истории математики в средние века. — В кн.: История естествознания в России. М.: 1957, т. I, с 45—48.</ref>. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика [[Головин, Михаил Евсеевич|М. Е. Головина]] (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа ([[Лексель, Андрей Иванович|А. И. Лексель]], [[Фусс, Николай Иванович|Н. И. Фусс]], [[Шуберт, Фёдор Иванович|Ф. И. Шуберт]]), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию<ref name=WIL341/>.

=== XIX—XXI века ===
В начале XIX века [[Лобачевский, Николай Иванович|Н. И. Лобачевский]] добавил к плоской и сферической тригонометрии третий раздел — гиперболическую (для [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]], первую работу в этой области опубликовал [[Тауринус, Франц Адольф|Ф. А. Тауринус]] в 1826 году). Лобачевский показал, что формулы сферической тригонометрии переходят в формулы гиперболической тригонометрии при замене длин сторон треугольника ''a, b, c'' на мнимые величины: ''ai, bi, ci'' — или, что эквивалентно, при замене тригонометрических функций на соответствующие [[Гиперболические функции|гиперболические]]<ref>См. статью Б. А. Розенфельда в книге: ''Каган В. Ф.'' Основания геометрии. Том II, стр. 313—321.</ref>.

В XIX—XX веках бурное развитие получили теория [[Тригонометрический ряд|тригонометрических рядов]] и связанные с ней области математики: [[гармонический анализ]], [[Случайный процесс|теория случайных процессов]], [[Сжатие с использованием вейвлет|кодирование аудио и видеоинформации]] и другие. Ещё [[Даниил Бернулли]] высказал убеждение, что любую (непрерывную) функцию на заданном [[Промежуток (математика)|промежутке]] можно представить тригонометрическим рядом{{sfn |Паплаускас А. Б.|1966|с=26-27 }}. Дискуссии продолжались до 1807 года, когда [[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]] опубликовал теорию представления произвольных [[Аналитическая функция|кусочно-аналитических функций]] тригонометрическими рядами (окончательный вариант содержится в его «Аналитической теории тепла», 1822)<ref name=MATENC_TR>{{книга |часть=Тригонометрический ряд |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=5 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |archivedate=2020-11-17 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20201117081408/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu }}</ref>. Для разложения функции <math>f(x)</math> в ряд:
: <math>f(x)=a_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} \cos{nx} + b_{n} \sin{nx}).</math>
Фурье привёл [[интеграл]]ьные формулы расчёта коэффициентов<ref name=MATENC_TR/>:
: <math>a_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \cos{nx} \,dx  \quad (n=0, 1, 2, \dots); \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \sin{nx}\, dx\quad (n=1,2,3, \dots)</math>
Изложение Фурье не было строгим в современном понимании, но уже содержало исследование [[Сходимость ряда|сходимости]] большинства полученных им рядов. Для функций, заданных на всей числовой прямой и не являющихся периодическими, Фурье предложил разложение в [[интеграл Фурье]].

Универсальность и эффективность методов анализа Фурье произвели большое впечатление на научный мир. Если ранее тригонометрические ряды использовались в [[Математическая физика|математической физике]] преимущественно для изучения периодических процессов (колебания струны, [[небесная механика]], движение маятника и т. п.), то в труде Фурье исследовались процессы совсем иного рода (теплопередача), и тригонометрические ряды помогли получить ценные практические результаты. С этого момента тригонометрические ряды и интегралы стали мощным инструментом анализа разнообразных функций. Результаты Фурье продолжили и углубили [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассон]] и [[Коши, Огюстен Луи|Коши]], вопрос сходимости рядов детально исследовали [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]] и другие математики{{sfn |Паплаускас А. Б.|1966|loc=Глава IV}}. [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]] в своей диссертации исследовал произвольные тригонометрические ряды, не обязательно связанные с разложением какой-либо функции (1853), сформулировал для них «принцип локализации». Вопрос о представимости произвольной [[Измеримая функция|измеримой]] и конечной почти всюду функции тригонометрическим рядом (который не обязательно совпадает с её рядом Фурье) был решён в 1941 году [[Теорема Меньшова|теоремой Меньшова]].

Исследуя множества [[математическая сингулярность|особых точек]] для тригонометрических рядов, [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Георг Кантор]] разработал фундаментальную для всей математики [[Теория множеств|теорию множеств]]<ref>{{статья|автор=Даубен, Джозеф У.|заглавие=Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств|ссылка=http://www.ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm|издание=Scientific American, издание на русском языке|год=1983|выпуск=8 (август)|страницы=76—86|archivedate=2012-09-07|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120907045933/http://www.ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm}}</ref>. Огромное влияние теория тригонометрических рядов оказала на развитие [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], [[Математическая физика|математической физики]], [[Электроника|электроники]] и многих других разделов науки<ref name=MATENC_TR/>. [[Функциональный анализ|Теория функций вещественного переменного]], [[Мера множества|теория меры]] и [[интеграл Лебега]] появились и далее развивались в тесной связи с теорией тригонометрических рядов<ref name=MATENC_TR/><ref>{{cite web|url=https://bigenc.ru/c/trigonometricheskii-riad-07eca5 |title=Тригонометрический ряд|accessdate=2023-08-02}}</ref>. Важные практические применения имеет приближение функций конечными тригонометрическими полиномами<ref>{{книга |часть=Тригонометрический полином |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=5 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |archivedate=2020-11-17 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20201117081408/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu }}</ref> (используемое также для [[Интерполяция|интерполирования]]).

== Историки тригонометрии ==
В XVIII—XIX веках труды по истории математики и астрономии значительное внимание уделяли и истории тригонометрии ([[Монтукля, Жан Этьен|Ж. Э. Монтукла]], [[Деламбр, Жан-Батист-Жозеф|Ж. Б. Ж. Деламбр]], [[Ганкель, Герман|Г. Ганкель]], [[Таннери, Поль|П. Таннери]] и другие). В 1900 году немецкий историк математики {{нп3 |Антон фон Браунмюль||de|Anton von Braunmühl (Mathematiker) }} опубликовал первую монографию в двух томах, специально посвящённую истории тригонометрии<ref>{{книга|автор=Braunmühl A. |заглавие=Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie |место=Leipzig |год=1900—1903}}</ref>. В XX веке крупные работы по этой теме опубликовали [[Цейтен, Иероним Георг|И. Г. Цейтен]], [[Кантор, Мориц Бенедикт|М. Б. Кантор]], [[Нейгебауэр, Отто|О. Нейгебауэр]], [[Розенфельд, Борис Абрамович|Б. А. Розенфельд]], [[Матвиевская, Галина Павловна|Г. П. Матвиевская]] и другие.

== См. также ==
* [[Астрономия Древней Греции]]
* [[Астрономия исламского Средневековья]]
* [[История математики]]
* [[Тригонометрические тождества]]

== Примечания ==
{{примечания|3}}

== Литература ==
'''Книги'''
* {{книга |автор=Александрова Н. В.
 |ref=Александрова Н. В.
 |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник,  изд. 3-е
 |издательство=ЛКИ
 |место=СПб.
 |год=2008
 |страниц=248
 |isbn=978-5-382-00839-4
}}
* {{книга |автор= Ван дер Варден Б.&nbsp;Л.
 |заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции
 |ссылка=http://naturalhistory.virtbox.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm
 |место=М.
 |издательство=ГИФМЛ
 |год=1959
 |ref=Ван дер Варден
}}
* {{книга |автор=Вилейтнер Г.
 |заглавие=История математики от Декарта до середины XIX столетия
 |издательство=ГИФМЛ
 |место=М.
 |год=1960
 |страниц=468
 |ref=Вилейтнер Г.
 |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/vileitner.djvu
}}
* {{книга |автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]]
 |ref=Глейзер Г. И.
 |заглавие=История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей
 |издательство=Просвещение
 |место=М.
 |год=1982
 |страниц=240
 |страницы=76—95
}}
* {{книга |автор=Глейзер Г. И.
 |ref=Глейзер Г. И.
 |заглавие=История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей
 |издательство=Просвещение
 |место=М.
 |год=1983
 |страниц=352
}}
* История математики под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] в трёх томах, М.: Наука.
** {{книга |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени
 |заглавие=История математики
 |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1970
 |том=I
 |страниц=351
 |ref=История математики, том I
}}
** {{книга |часть=Математика XVII столетия
 |заглавие=История математики
 |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1970
 |том=II
 |страниц=300
 |ref=История математики, том II
}}
** {{книга |часть=Математика XVIII столетия
 |заглавие=История математики
 |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1972
 |том=III
 |страниц=495
 |ref=История математики, том III
}}
* {{книга |автор=[[Матвиевская, Галина Павловна|Матвиевская Г. П.]]
 |заглавие=Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье
 |издание=Изд. 2-е
 |место=М.
 |издательство=Либроком
 |год=2012
 |страниц=160
 |isbn=978-5-397-02777-9
 |серия=Физико-математическое наследие: математика (история математики)
 |ref=Матвиевская Г. П.
}}
* {{книга |автор=Паплаускас А. Б.
 |заглавие=Тригонометрические ряды. От Эйлера до Лебега
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1966
 |страниц=277
 |ref=Паплаускас А. Б.
}}
* {{книга |автор=Рожанская М.&nbsp;М.
 |заглавие=Механика на средневековом Востоке
 |место=Москва
 |издательство=Наука
 |год=1976
}}
* {{книга |автор=Рыбников К. А.
 |заглавие=История математики в двух томах
 |место=М.
 |издательство=Изд. МГУ
 |год=1960
 |том=I
 |ref=Рыбников К. А.
}}
* {{книга |автор=Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.
 |ref=Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.
 |заглавие=Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся
 |место=М.
 |издательство=Просвещение
 |год=1978
 |страниц=95
 |серия=Люди науки
}}
* {{книга |автор=Стройк Д. Я.
 |ref=
 |заглавие=Краткий очерк истории математики,  изд. 3-е
 |издательство=Наука
 |место=М.
 |год=1978
 |страниц=336
 |isbn=
}}
** {{книга |автор=Стройк Д. Я. (Dirk J. Struik)
 |ref=
 |заглавие=Краткий очерк истории математики,  изд. 5-е
 |издательство=Наука, Гл. ред. физ.-мат. литературы
 |место=М.
 |год=1990
 |страниц=256
 |isbn=5-02014329-4
}}
* {{книга |заглавие=Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия |ответственный=Под ред. [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место=М. |издательство=Просвещение |год=1976 |страниц=318 |ref=Хрестоматия по истории математики}}
* {{книга |автор=Цейтен Г. Г.
 |заглавие=История математики в древности и в средние века
 |место=М.-Л.
 |издательство=ГТТИ
 |год=1932
 |страниц=230
 |ref=Цейтен Г. Г.
}}
* {{книга |автор=Цейтен Г. Г.
 |заглавие=История математики в XVI и XVII веках
 |место=М.-Л.
 |издательство=ОНТИ
 |год=1938
 |страниц=456
 |ref=Цейтен Г. Г.
}}
* {{книга |автор=[[Юшкевич, Адольф Павлович|Юшкевич А. П.]]
 |страниц=448
 |ref=История математики в Средние века
 |заглавие=История математики в Средние века
 |место=М.
 |издательство=ГИФМЛ
 |год=1961
}}
* {{книга |автор= Plofker K.
 |заглавие=Mathematics in India
 |ref=Plofker
 |место=Princeton
 |издательство= Princeton University Press
 |год=2009
}}
* {{книга |автор=Scott J. F.
 |ref = Scott J. F.
 |allpages = 266
 |заглавие=A History of Mathematics From Antiquity to the Beginning of the Nineteen Century
 |год=1958
 |место=London
 |издательство=Tailor & Francis Ltd
}}
* {{книга |автор=Thurston H.
 |заглавие=Early astronomy
 |ref=Thurston
 |место= New York
 |издательство= Springer-Verlag
 |год=1994
}}
* {{книга |автор= Van Brummelen G.
 |заглавие=The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry
 |место=
 |издательство= Princeton University Press
 |год=2009
}}

'''Статьи'''
* {{статья |автор=Веселовский И. Н.
 |заглавие=Аристарх Самосский — Коперник античного мира
 |издание=Историко-астрономические исследования, вып. VII
 |ref=Веселовский
 |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Person/A_N/Aristarch_1.htm
 |место=М.
 |год=1961
 |страницы=17—70
}}
* {{статья |автор=Матвиевская Г.&nbsp;П.
 |заглавие=Сферика и сферическая тригонометрия в древности и на средневековом Востоке
 |издание=Развитие методов астрономических исследований, Вып. 8
 |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Hronolog/Stat/Spherika.htm
 |место=М.-Л.
 |год=1979
}}
* {{статья |автор= Bond J. D.
 |заглавие=The Development of Trigonometric Methods down to the Close of the XVth Century
 |издание= Isis
 |ссылка=https://archive.org/details/sim_isis_1921-10_4_2/page/295
 |место=
 |издательство=
 |год=1921
 |volume=4
 |номер=2
 |pages=295—323
}}
* {{статья |автор=Duke D.
 |заглавие=Hipparchus’ Coordinate System
 |ref=Duke
 |издание=Arch. Hist. Exact Sci
 |ссылка=https://people.sc.fsu.edu/~dduke/coordinates4.pdf
 |издательство=
 |год=2002
 |volume=56
 |pages=427—433
}}
* {{статья |автор=Duke D. |заглавие=The Very Early History of Trigonometry |ref=Duke |издание=DIO: The International Journal of Scientific History |ссылка=http://www.dioi.org/dioindex2.htm |год=2011 |volume=17 |номер= |pages=34—42 |deadlink=да |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120326133210/http://www.dioi.org/dioindex2.htm |archivedate=2012-03-26}}
* {{статья |автор= Kennedy E. S.
 |заглавие=The history of trigonometry
 |издание= Historical Topics for the Mathematics Classroom: Thirty-first Yearbook
 |ссылка=
 |место=Washington, D.C.
 |издательство=National Council of Teachers of Mathematics
 |год=1969
}}
* {{статья |автор= Moussa A.
 |издание=Arabic Sciences and Philosophy
 |заглавие=The trigonometric functions, as they were in the arabic-islamic civilization
 |ссылка=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract;jsessionid=05AE1A14E4CD69969A3B43912FA64C2C.journals?fromPage=online&aid=7319824
 |издательство=
 |год=2010
 |volume=20
 |pages=93—104
}}
* {{статья |автор=Sidoli N.
 |заглавие=Hipparchus and the Ancient Metrical Methods on the Sphere
 |издание=Journal of the History of Astronomy
 |год=2004
 |volume=35
 |pages=71—84
 |ref=Sidoli
 |ссылка=http://adsabs.harvard.edu/abs/2004JHA....35...71S
}}
* {{статья |автор= Toomer G.&nbsp;J.
 |заглавие=The Chord Table of Hipparchus and the Early History of Greek Trigonometry
 |издание= Centaurus
 |ссылка=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1600-0498.1974.tb00205.x/abstract;jsessionid=2A720DA79663EF96F6250EA1C99E76BF.d04t04?systemMessage=Wiley+Online+Library+will+be+disrupted+on+9+June+from+10%3A00-12%3A00+BST+%2805%3A00-07%3A00+EDT%29+for+essential+maintenance
 |издательство=
 |год=1973
 |volume=18
 |pages=6—28
 |ref=Toomer
}}
* {{статья |автор=Van der Waerden B. L.
 |ref=Van der Waerden
 |заглавие=Reconstruction of a Greek table of chords
 |издание=Arch. Hist. Exact Sci
 |ссылка=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00329978
 |год=1988
 |volume=38
 |pages=23—38
}}

== Ссылки ==
* {{cite web|url=http://www.krugosvet.ru/node/39959|title=Тригонометрия|last=Федосова М.|publisher=Энциклопедия Кругосвет|accessdate=2012-06-05|archiveurl=https://www.webcitation.org/6AuwwKeuy?url=http://www.krugosvet.ru/node/39959|archivedate=2012-09-24}}
* {{cite web |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html |title=Trigonometric functions |author=O’Connor, J. J. |coauthors=Robertson E. F. |date=1996 |publisher=MacTutor History of Mathematics Archive |accessdate=2012-06-05 |archiveurl=https://www.webcitation.org/6Auwxe6v3?url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html |archivedate=2012-09-24 |lang=en }}
* {{cite web
 |url         = http://nrich.maths.org/6843
 |author      = Leo Rogers.
 |title       = The History of Trigonometry
 |accessdate  = 2012-10-19
 |lang        = en
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6BkXg1fkY?url=http://nrich.maths.org/6843
 |archivedate = 2012-10-28
}}

{{История математики}}
{{Тригонометрия}}

{{Избранная статья|Математика}}
{{Статья года|2012}}

[[Категория:Тригонометрия]]