Просмотр кода страницы Квадрат

{{другие значения}}
{{Многоугольник
|название=Квадрат
|изображение=SquareDefinition.svg
|подпись=Квадрат со стороной <math>a</math> и диагональю <math>d</math>
|тип=
|рёбра=4
|шлефли={4}
|диаграмма=
|симметрия=[[Диэдрическая группа]] (D<sub>4</sub>)
|площадь=a<sup>2</sup>
|угол=90°
|свойства=[[Выпуклый многоугольник]], [[Изогональная фигура]], [[изотоксальная фигура]]
}}
'''Квадра́т''' (от {{lang-la|quadratus}}, четырёхугольный<ref>{{книга |часть=Квадрат |страницы=561 |заглавие=Советский энциклопедический словарь |издание=2-е изд. |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |год=1982 |страниц=1600}}</ref>) — [[правильный многоугольник|правильный]] [[четырёхугольник]], то есть [[Плоскость (математика)|плоский]] четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — [[Прямой угол|прямой]] <math>(90^\circ)</math><ref>{{книга |часть=Квадрат |страницы=776  |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |страниц=1184 |том=3 |год=1982 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]}}</ref>.
__TOC__

== Варианты определения ==
Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами<ref>{{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006 |заглавие=Справочник по элементарной математике |страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}}</ref><ref name=CAP/>.
* [[Четырёхугольник]], [[Диагональ|диагонали]] которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
* [[Четырёхугольник]], являющийся одновременно [[прямоугольник]]ом и [[ромб]]ом.
* [[Прямоугольник]], у которого длины двух смежных сторон равны.
* [[Прямоугольник]], у которого диагонали пересекаются под [[Прямой угол|прямым углом]].
* [[Ромб]], у которого диагонали равны.
* [[Ромб]], у которого два соседних угла равны.
* [[Ромб]], один из углов которого — [[Прямой угол|прямой]] (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
* [[Параллелограмм]], у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
* [[Параллелограмм]], у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
* [[Дельтоид]], все углы которого прямые.

== Свойства ==
{{основной источник|{{sfn|Каплун|2014|с=171—173|name=CAP}}}}
Далее в этом разделе <math>a</math> обозначает длину стороны квадрата, <math>d</math> — длину [[Диагональ|диагонали]], <math>R</math> — радиус [[описанная окружность|описанной окружности]], <math>r</math> — радиус [[вписанная окружность|вписанной окружности]].

=== Стороны и диагонали ===
Диагонали квадрата равны, взаимно [[Перпендикулярность|перпендикулярны]], делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются [[биссектриса]]ми внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали <math>d=a\sqrt{2}.</math>

[[Периметр]] квадрата <math>P</math> равен:
: <math>P = 4 a = 4 \sqrt 2 R = 8 r</math>.

=== Вписанная и описанная окружности ===
[[Файл:Regular tetragon 1.svg|thumb|150px|Вписанная и описанная окружности для квадрата]]
Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:
: <math>r=\frac a2.</math>
Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:
: <math>R=\frac\sqrt22a.</math>
Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

=== Площадь ===
<gallery widths="250px" heights="250px">
Five Squared.svg|{{center|Площадь квадрата}}
Square (shape) in square.svg|Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади
</gallery>
[[Площадь фигуры|Площадь]] <math>S</math> квадрата равна
: <math>S = a^2 = 2 R^2 = 4 r^2= {1\over 2}d^2</math>.

Из формулы <math>S = a^2,</math> связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «''возведением в квадрат''», а результаты такого возведения называются «[[Квадратное число|квадратными числами]]» или просто ''квадратами''. Аналогично [[Корень (математика)|корень 2-й степени]] называется ''[[Квадратный корень|квадратным корнем]]''.

Квадрат имеет два замечательных свойства<ref>{{книга|автор=[[Понарин, Яков Петрович|Понарин Я. П.]]|заглавие=Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости |место=М. |издательство=МЦНМО |год=2004 |страниц=312 |страницы=117, 119 |isbn=5-94057-171-9}}</ref>.
# Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет ''наибольшую'' площадь.
# Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет ''наименьший'' периметр.

[[Файл:Square equation plot.svg|мини|110px|К уравнению квадрата; здесь <math>R=2, x_0=y_0=0</math>]]
=== Уравнение квадрата ===
В [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]] уравнение квадрата с центром в точке <math>\{x_0,y_0\}</math> и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде<ref>{{Cite web |url=https://www.calc.ru/Uravneniye-Kvadrata-V-Dekartovoy-Sisteme-Koordinat.html |title=Уравнение квадрата в декартовой системе координат |access-date=2021-11-09 |archive-date=2021-11-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211109123438/https://www.calc.ru/Uravneniye-Kvadrata-V-Dekartovoy-Sisteme-Koordinat.html |deadlink=no }}</ref>:
: <math>|x-x_0| + |y-y_0| = R,</math>
где <math>R</math> — радиус [[Описанная окружность|описанной окружности]], равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна <math>R\sqrt{2},</math> его диагональ равна <math>2R,</math> а площадь квадрата равна <math>2R^2.</math>

[[Файл:Square incircle excircle 02.svg|мини|110px|К уравнению квадрата]]
Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:
# <math>|x-y| + |x+y| = a</math> (легко получается применением [[поворот]]а на 45° к предыдущему уравнению)<br>
# <math>\max(x^2, y^2) = r^2</math>
# (в [[Полярная система координат|полярных координатах]]<ref>[https://www.quora.com/What-is-the-polar-equation-for-a-square-if-any What is the polar equation for a square, if any?]</ref>) <math>\quad r(\varphi) = \min\left( \frac{r}{|\cos\varphi|}, \frac{r}{|\sin\varphi|} \right)</math>

=== Математические проблемы ===
С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.
* [[Квадратура круга]] — древняя проблема [[Построение с помощью циркуля и линейки|построения циркулем и линейкой]] квадрата, равновеликого по площади заданному [[круг]]у. В 1882 году [[Фердинанд Линдеман]] доказал, что это невозможно.
[[Файл:Squaredsquare.svg|мини|Пример квадрирования квадрата <math>112\times 112</math>]]
* [[Квадрирование квадрата]] — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
* Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока [[Джузеппе Пеано]] не построил свой [[кривая Пеано|контрпример]].
* [[Гипотеза Тёплица]]: на всякой [[Замкнутая кривая|замкнутой]] плоской [[Жорданова кривая|жордановой кривой]] можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
* Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории [[Латинский квадрат|латинских]] и [[греко-латинский квадрат|греко-латинских квадратов]], [[Магический квадрат|магических квадратов]], в игре [[судоку]].

=== Симметрия ===
[[Файл:LinesOfSymmetryInASquare.png|thumb|80px|Линии симметрии]]
Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
* одну [[ось симметрии|ось симметрии четвёртого порядка]] — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
* четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

== Применение ==

=== В математике ===
[[Единичный квадрат]] используется как эталон [[Порядок величины (площадь)|единицы измерения площади]], а также в определении [[Площадь фигуры|площади произвольных плоских фигур]]. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются ''квадрируемыми''.

[[Теорема Пифагора]] первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на [[Гипотенуза|гипотенузе]], равна сумме площадей квадратов, построенных на [[катет]]ах.

Квадратами являются грани [[куб]]а — одного из пяти [[Правильный многогранник|правильных многогранников]].

В [[Математическая физика|математической физике]] символ квадрата может означать «[[оператор Д’Аламбера]]» (даламбериан) — [[дифференциальный оператор]] второго порядка:
: <math>\square u := \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>

Из [[Теорема Бойяи — Гервина|теоремы Бойяи — Гервина]] следует, что любой [[многоугольник]] равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)<ref>{{книга |автор=Болтянский В. Г. |заглавие=Третья проблема Гильберта |год=1977 |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/3problem.htm |место=М. |издательство=Наука |страниц=208 |archivedate=2021-06-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210628173512/https://www.mccme.ru/free-books/djvu/3problem.htm }}</ref>.

Графы:
K<sub>4</sub> [[полный граф]] часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.
{| class=wikitable
|- align=center
|[[Файл:Tetrahedron petrie.png|100px]]<br>3-[[симплекс]] (3D)
|[[Файл:3-simplex graph.svg|100px]]
|}

=== Орнаменты и паркеты ===
<gallery caption="Мозаики, включающие квадраты" class="center">
Distorted truncated square tiling.png|«[[Пифагорова мозаика]]»
Bond brick hexagonal tiling.png
Square rhombic tiling.png
</gallery>
[[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости|Мозаики, орнаменты]] и [[Квадратный паркет|паркеты]], содержащие квадраты, широко распространены.

=== Графика ===
{{Похожие буквы|□}}
Ряд символов имеют форму квадрата.
* Символы [[Юникод]]а U+25A0 — U+25CF
* U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
* ロ ([[Ро (кана)|Японский иероглиф «Ро» (катакана)]])
* 口 ([[Ключ 30|Китайский иероглиф «рот»]])
* 囗 ([[Ключ 31|Китайский иероглиф «ограда»]])

В [[Latex]] для вставки символа квадрата служат конструкции <code>\Box</code> или <code>\square</code>.

В [[HTML]], чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:
* <nowiki><span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span></nowiki>; результат: <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>.

== Вариации и обобщения ==

=== Многомерное пространство ===
Квадрат можно рассматривать как '''[[двумерное пространство|двумерный]] [[гиперкуб]]'''.

=== Неевклидова геометрия ===
В [[Неевклидова геометрия|неевклидовой геометрии]] квадрат (в более широком смысле) — [[многоугольник]] с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в [[Сферическая геометрия|сферической геометрии]] углы сферического квадрата больше прямого, в [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] — меньше.
{| class="wikitable" width=640
|[[Файл:Square on sphere.svg|200px]]<!-- Six squares can tile the sphere with 3 squares around each vertex and 120 degree [[internal angle]]s. This is called a spherical cube. The [[Schläfli symbol]] is {4,3}. -->
|[[Файл:Square on plane.svg|200px]]<!-- [[Square tiling|Squares can tile]] the [[Euclidean plane]] with 4 around each vertex, with each square having an internal angle of 90 degrees. The [[Schläfli symbol]] is [[Square tiling|{4,4}]].-->
|[[Файл:Square on hyperbolic plane.png|200px]]<!-- [[Order-5 square tiling|Squares can tile]] the
[[Hyperbolic space|Hyperbolic plane]] with 5 around each vertex, with each square having 72 degree internal angles. The [[Schläfli symbol]] is [[Order-5 square tiling|{4,5}]].-->
|}[[Файл:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|right|Построение квадрата с использованием циркуля и линейки]]
[[Файл:Folding a squer.gif|thumb|right|Складывание квадрата из произвольного куска бумаги]]

== См. также ==
* [[Marching squares|Алгоритм «движущиеся квадраты»]]
* [[Квадрат Полибия]]
* [[Квадратная матрица]]
* [[Квадратриса]]
* [[Теорема Тебо#Теорема Тебо 1|Первая теорема Тебо]]
* [[Четырёхугольник#Площадь|Площадь произвольного четырёхугольника]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Навигация|Викисловарь=квадрат}}
* {{книга|автор=Каплун А. И. |заглавие=Математика, Учебно-практический справочник |место=Ростов н/Д 
  |издательство=ООО "Феникс" |год=2014 |ref=Каплун |страниц=240 |isbn=978-5-222-20926-3}}

== Ссылки ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Квадрат, геометрическая фигура}}

{{ВС}}
{{Многоугольники}}
{{Символ Шлефли}}

[[Категория:Правильные многоугольники|4]]
[[Категория:Четырёхугольники]]