Просмотр кода страницы Квазиправильный многогранник

'''Квазипра́вильный многогра́нник''' (от {{lang-lat|quas(i)}} «наподобие», «нечто вроде») — [[полуправильный многогранник]], который имеет в точности два вида [[Правильный многоугольник|правильных граней]], поочерёдно следующих вокруг каждой вершины. Эти многогранники {{не переведено 5|Рёберная транзитивность|рёберно транзитивны||edge-transitive}}, а потому на шаг ближе к [[Правильный многогранник|правильным многогранникам]], чем полуправильные, которые лишь [[Изогональная фигура|вершинно транзитивны]].

{| class=wikitable width=420 align=right
|+ Квазиправильные фигуры
|- align=center valign=top
!(3.3)<sup>2</sup>
!(3.4)<sup>2</sup>
!(3.5)<sup>2</sup>
!(3.6)<sup>2</sup>
!(3.7)<sup>2</sup>
!(3.8)<sup>2</sup>
!(3.∞)<sup>2</sup>
|-
!<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 6 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 7 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 8 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ \infin \end{Bmatrix}</math>
|-
![[Тетратетраэдр|r{3,3}]]
![[Кубооктаэдр|r{3,4}]]
![[Икосододекаэдр|r{3,5}]]
![[Тришестиугольная мозаика|r{3,6}]]
!{{не переведено 5|Трисемиугольная мозаика|r{3,7}||triheptagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Тривосьмиугольная мозаика|r{3,8}||trioctagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Трибесконечноугольная мозаика|r{3,&infin;}||triapeirogonal tiling}}
|-
!{{CDD|node|3|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|4|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|5|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|6|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|7|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|8|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|infin|node_1|3|node}}
|- align=center valign=top
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t1.svg|60px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t1.svg|60px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-53-t1.png|60px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-63-t1.svg|60px]]
|[[Файл:Uniform tiling 73-t1.png|60px]]
|[[Файл:Uniform tiling 83-t1.png|60px]]
|[[Файл:Uniform tiling infin32-t1.png|60px]]
|-
|colspan=7|'''Квазиправильные многогранники''' или '''мозаики''' имеют в точности два типа правильных граней, которые располагаются поочерёдно вокруг каждой вершины. Их [[Вершинная фигура|вершинные фигуры]] являются [[прямоугольник]]ами.
|}

Существует только два [[Выпуклый многогранник|выпуклых]] квазиправильных многогранника, [[кубооктаэдр]] и [[икосододекаэдр]]. Имена этих многогранников, данные [[Кеплер, Иоганн|Кеплером]], происходят от понимания, что их грани содержат все грани [[Двойственный многогранник|двойственной]] пары [[куб]]а и [[октаэдр]]а в первом случае, и двойственной пары [[икосаэдр]]а и [[додекаэдр]]а во втором.

Эти формы, представленные парой (правильным многогранником и двойственным ему), могут быть заданы вертикальным [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> или r{p, q} для представления граней как правильного '''{p, q}''', так и двойственного '''{q, p}''' многогранников. Квазиправильный многогранник с этим символом имеет {{не переведено 5|Вершинная кофигурация|вершинную конфигурацию||vertex configuration}} '''p.q.p.q''' (или '''(p.q)<sup>2</sup>''').

В более общем случае квазиправильные фигуры могут иметь {{не переведено 5|Вершинная кофигурация|вершинную конфигурацию||vertex configuration}} '''(p.q)<sup>r</sup>''', представляющую ''r'' (2 или более) граней разного вида вокруг вершины.

[[Паркет (геометрия)|Мозаики]] на плоскости могут быть также квазиправильными, в частности [[тришестиугольная мозаика]] с вершинной конфигурацией (3.6)<sup>2</sup>. {{не переведено 5|Однородная мозаика на гиперболической плоскости|Другие квазиправильные мозаики||Uniform tilings in hyperbolic plane}} существуют в гиперболической плоскости, например, {{не переведено 5|трисемиугольная мозаика|||triheptagonal tiling}} (3.7)<sup>2</sup>. Сюда входят мозаики (p.q)<sup>2</sup>, с 1/p+1/q<1/2.

Некоторые правильные многогранники и мозаики (имеющие чётное число граней в каждой вершине) могут также рассматриваться как квазиправильные путём разделения граней на два множества (как если бы мы их выкрасили в разные цвета). Правильная фигура с [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {p, q} может быть квазиправильной и будет иметь вершинную кофигурацию (p.p)<sup>q/2</sup>, если q чётно.
{| class=wikitable width=420 align=right
|+ Правильные и квазиправильные фигуры
|-
!colspan=7|Прямоугольные треугольники (p p 2)<ref>Фундаментальная область в виде прямоугольного треугольника</ref>
|- align=center valign=top
!{3,4}<br />r{3,3}
!{4,4}<br />r{4,4}
!{5,4}<br />r{5,5}
!{6,4}<br />r{6,6}
!{7,4}<br />r{7,7}
!{8,4}<br />r{8,8}
!{∞,4}<br />r{∞,∞}
|-
!<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 4 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 5 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 6 \\ 6 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 7 \\ 7 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 8 \\ 8 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} \infin \\ \infin \end{Bmatrix}</math>
|- align=center valign=top
![[Октаэдр|(3.3)<sup>2</sup>]]
![[Квадратный паркет|(4.4)<sup>2</sup>]]
!{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика 4-го порядка|(5.5)<sup>2</sup>||order-4 pentagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Шестиугольная мозаика 4-го порядка|(6.6)<sup>2</sup>||order-4 hexagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Семиугольная  мозаика 4-го порядка|(7.7)<sup>2</sup>||order-4 heptagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Восьмиугольная  мозаика 4-го порядка|(8.8)<sup>2</sup>||order-4 octagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Бесконечноугольная  мозаика 4-го порядка|(&infin;.&infin;)<sup>2</sup>||Order-4 apeirogonal tiling}}
|-
!{{CDD|node|3|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|4|node_1|4|node}}
!{{CDD|node|5|node_1|5|node}}
!{{CDD|node|6|node_1|6|node}}
!{{CDD|node|7|node_1|7|node}}
!{{CDD|node|8|node_1|8|node}}
!{{CDD|node|infin|node_1|infin|node}}
|- align=center valign=top
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t1.svg|60px]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t1.png|60px]]<br />[[Квадратный паркет]]
|[[Файл:H2 tiling 255-2.png|60px]]<br />{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика 4-го порядка|5-угольная мозаика 4-го порядка||order-4 pentagonal tiling}}
|[[Файл:H2 tiling 266-2.png|60px]]<br />{{не переведено 5|Шестиугольная мозаика 4-го порядка|6-угольная мозаика 4-го порядка||order-4 hexagonal tiling}}
|[[Файл:H2 tiling 277-2.png|60px]]<br />{{не переведено 5|Семиугольная  мозаика 4-го порядка|7-угольная мозаика 4-го порядка||order-4 heptagonal tiling}}
|[[Файл:H2 tiling 288-2.png|60px]]<br />{{не переведено 5|Восьмиугольная  мозаика 4-го порядка|8-угольная мозаика 4-го порядка||order-4 octagonal tiling}}
|[[Файл:H2 tiling 2ii-2.png|60px]]<br />{{не переведено 5|Бесконечноугольная  мозаика 4-го порядка|&infin;-угольная мозаика 4-го порядка||Order-4 apeirogonal tiling}}
|-
!colspan=8|Треугольники общего вида (p p 3)<ref>Фундаментальная область в виде треугольника общего вида</ref>
|- align=center valign=top
![[Треугольный паркет|{3,6}]]
!{{не переведено 5|Квадратная мозаика 6-го порядка|{4,6}||order-6 square tiling}}
!{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика 6-го порядка|{5,6}||order-6 pentagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Шестиугольная мозаика 6-го порядка|{6,6}||order-6 hexagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Семиугольная мозаика 6-го порядка|{7,6}||order-6 heptagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Восьмиугольная мозаика 6-го порядка|{8,6}||order-6 octagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Бесконечноугольная мозаика 6-го порядка|{&infin;,6}||order-6 apeirogonal tiling}}
|- align=center valign=top
!(3.3)<sup>3</sup>
!(4.4)<sup>3</sup>
!(5.5)<sup>3</sup>
!(6.6)<sup>3</sup>
!(7.7)<sup>3</sup>
!(8.8)<sup>3</sup>
!(∞.∞)<sup>3</sup>
|-
!{{CDD|branch|split2|node_1}}
!{{CDD|branch|split2-44|node_1}}
!{{CDD|branch|split2-55|node_1}}
!{{CDD|branch|split2-66|node_1}}
!{{CDD|branch|split2-77|node_1}}
!{{CDD|branch|split2-88|node_1}}
!{{CDD|branch|split2-ii|node_1}}
|- align=center valign=top
|[[Файл:Uniform tiling 333-t1.svg|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 344-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 355-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 366-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 377-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 388-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 3ii-2.png|60px]]
|-
!colspan=8| Треугольники общего вида (p p 4)
|- align=center valign=top
!{{не переведено 5|Треугольная мозаика 8-го порядка|{3,8}||order-8 triangular tiling}}
!{{не переведено 5|Квадратная мозаика 8-го порядка|{4,8}||order-8 square tiling}}
!{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика 8-го порядка|{5,8}||order-8 pentagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Шестиугольная мозаика 8-го порядка|{6,8}||order-8 hexagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Семиугольная мозаика 8-го порядка|{7,8}||order-8 heptagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Восьмиугольная мозаика 8-го порядка|{8,8}||order-8 octagonal tiling}}
!{{не переведено 5|Бесконечноугольная мозаика 8-го порядка|{&infin;,8}||order-8 apeirogonal tiling}}
|- align=center valign=top
!(3.3)<sup>4</sup>
!(4.4)<sup>4</sup>
!(5.5)<sup>4</sup>
!(6.6)<sup>4</sup>
!(7.7)<sup>4</sup>
!(8.8)<sup>4</sup>
!(∞.∞)<sup>4</sup>
|-
!{{CDD|label4|branch|split2|node_1}}
!{{CDD|label4|branch|split2-44|node_1}}
!{{CDD|label4|branch|split2-55|node_1}}
!{{CDD|label4|branch|split2-66|node_1}}
!{{CDD|label4|branch|split2-77|node_1}}
!{{CDD|label4|branch|split2-88|node_1}}
!{{CDD|label4|branch|split2-ii|node_1}}
|- align=center valign=top
|[[Файл:H2 tiling 334-4.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 444-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 455-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 466-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 477-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 488-2.png|60px]]
|[[Файл:H2 tiling 4ii-2.png|60px]]

|-
|colspan=7|'''Правильный многогранник''' или '''мозаика''' могут считаться квазиправильными, если они имеют чётное число граней при каждой вершине (а потому могут быть выкрашены в два цвета, чтобы соседние грани имели разные цвета).
|}

[[Октаэдр]] можно считать квазиправильным как ''[[тетратетраэдр]]'', (3<sub>a</sub>.3<sub>b</sub>)<sup>2</sup>, с раскрашенными попеременно треугольными гранями. Подобным же образом [[Квадратный паркет|квадратную мозаику]] (4<sub>a</sub>.4<sub>b</sub>)<sup>2</sup> можно считать квазиправильной, если раскрасить в стиле ''шахматной доски''. Также и грани [[Треугольный паркет|треугольной мозаики]] могут быть выкрашены в два альтернативных цвета, (3<sub>a</sub>.3<sub>b</sub>)<sup>3</sup>.

== Построение Витхоффа ==
{| class=wikitable width=320
|[[Файл:Wythoffian construction diagram.png|320px]]<br />Правильные (''p &#124; 2 q'') и квазиправильные многогранники (''2 &#124; p q'') получаются [[построение Витхоффа|построением Витхоффа]] с генераторной точкой на одном из 3 углов фундаментальной области. Это задаёт единственное ребро внутри фундаментальной области.
|}
[[Файл:Wythoff construction-pqr.png|400px|thumb|Квазиправильные многогранники генерируются из всех 3 углов фундаментальной области для [[Треугольник Шварца|треугольников Шварца]], не имеющих прямых углов:<br />'''q &#124; 2 p''', '''p &#124; 2 q''', '''2 &#124; p q''']]

[[Коксетер, Гарольд|Коксетер]] определяет ''квазиправильный многогранник'' как многогранник, имеющий {{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}} вида ''p | q r'', и он будет правильным, если q=2 или q=r {{sfn|Coxeter, Longuet-Higgins, Miller|1954|с=401–450}}.

[[Диаграммы Коксетера — Дынкина]] является другой формой символического представления, которое позволяет показать связь между двумя двойственно-правильными формами:
{| class=wikitable
!colspan=2|[[Символ Шлефли]]
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина]]
!{{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}}
|- align=center
|<math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>||{p, q}||{{CDD|node_1|p|node|q|node}}||''q &#124; 2 p''
|- align=center
|<math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>||{q, p}|| {{CDD|node|p|node|q|node_1}}||''p &#124; 2 q''
|- align=center
| <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||r{p, q}|| {{CDD|node|p|node_1|q|node}}||''2 &#124; p q''
|}

== Выпуклые квазиправильные многогранники ==
{{Further|[[Полное усечение (геометрия)]]}}
Существует два [[Выпуклый многогранник|выпуклых]] квазиправильных многогранника:
# [[Кубооктаэдр]] <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>, вершинная конфигурация '''(3.4)<sup>2</sup>''', [[диаграмма Коксетера — Дынкина]] {{CDD|node|4|node_1|3|node}}
# [[Икосододекаэдр]] <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>, вершинная конфигурация '''(3.5)<sup>2</sup>''', ''диаграмма Коксетера — Дынкина'' {{CDD|node|5|node_1|3|node}}

Кроме того, [[октаэдр]], являющийся также [[Правильный многогранник|правильным]], <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>, с вершинной конфигурацией '''(3.3)<sup>2</sup>''', может также считаться квазиправильным, если соседним граням дать различные цвета. В таком виде его иногда называют тетратетраэдром. Оставшиеся выпуклые правильные многогранники имеют нечётное число граней при каждой вершине и не могут быть выкрашены так, чтобы обеспечить транзитивность рёбер. Тетратетраэдр имеет ''диаграмму Коксетера — Дынкина'' {{CDD|node|3|node_1|3|node}}.

Каждый из них образует общее ядро двойственной пары [[Правильный многогранник|правильных многогранников]]. Имена (двух из) этих ядер напоминают о связанных двойственных парах, соответственно [[куб]] + [[октаэдр]] и [[икосаэдр]] + [[додекаэдр]]. [[Октаэдр]] является ядром двойственной пары [[тетраэдр]]ов, и при таком способе получения обычно называют его ''тетратетраэдром''.

{| class="wikitable"
!Правильный
!Двойственный<BR />правильный
!Квазиправильный
![[Вершинная фигура]]
|- valign=top align=center
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t0.png|75px]]<br />[[Тетраэдр]]<br />{3,3}<br />{{CDD|node_1|3|node|3|node}}<br />3 | 2 3
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t2.png|75px]]<br />[[Тетраэдр]]<br />{3,3}<br />{{CDD|node|3|node|3|node_1}}<br />3 | 2 3
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t1.svg|75px]]<br />[[Октаэдр|Тетратетраэдр]]<BR />r{3,3}<br />{{CDD|node|3|node_1|3|node}}<br />2 | 3 3
|[[Файл:Tetratetrahedron vertfig.png|75px]]<br />''3.3.3.3''
|- valign=top align=center
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t0.png|75px]]<br />[[Куб]]<br />{4,3}<br />{{CDD|node_1|4|node|3|node}}<br />3 | 2 4
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t2.png|75px]]<br />[[Октаэдр]]<br />{3,4}<br />{{CDD|node|4|node|3|node_1}}<br />4 | 2 3
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t1.svg|75px]]<br />[[Кубооктаэдр]]<br />r{3,4}<br />{{CDD|node|4|node_1|3|node}}<br />2 | 3 4
|[[Файл:Cuboctahedron vertfig.png|75px]]<br />''3.4.3.4''
|- valign=top align=center
|[[Файл:Uniform polyhedron-53-t0.png|75px]]<br />[[Додекаэдр]]<br />{5,3}<br />{{CDD|node_1|5|node|3|node}}<br />3 | 2 5
|[[Файл:Uniform polyhedron-53-t2.png|75px]]<br />[[Икосаэдр]]<br />{3,5}<br />{{CDD|node|5|node|3|node_1}}<br />5 | 2 3
|[[Файл:Uniform polyhedron-53-t1.png|75px]]<br />[[Икосододекаэдр]]<br />r{3,4}<br />{{CDD|node|5|node_1|3|node}}<br />2 | 3 5
|[[Файл:Icosidodecahedron vertfig.png|75px]]<br />''3.5.3.5''
|}

Каждый из этих квазиправильных многогранников можно построить с помощью [[Полное усечение (геометрия)|полного усечения]] любого из родителей, [[Усечение (геометрия)|усекая]] рёбра полностью, пока они не превратятся в точки.

=== Квазиправильные мозаики ===
Эту последовательность продолжает [[тришестиугольная мозаика]] с [[Вершинная фигура|вершинной фигурой]] ''3.6.3.6'' — '''квазиправильная мозаика''', основанная на [[Треугольный паркет|треугольной мозаике]] и [[Шестиугольный паркет|шестиугольной мозаике]].

{| class="wikitable"
!Правильный многоугольник
!Двойственный правильный
!Квазиправильный
![[Вершинная фигура]]
|- valign=top align=center
|[[Файл:Uniform tiling 63-t0.svg|75px]]<br />[[Шестиугольный паркет|шестиугольная<BR />мозаика]]<br />{6,3}<br />{{CDD|node|6|node|3|node_1}}<br />6 | 2 3
|[[Файл:Uniform tiling 63-t2-red.svg|75px]]<br />[[Треугольный паркет|треугольная<BR />мозаика]]<br />{3,6}<br />{{CDD|node_1|6|node|3|node}}<br />3 | 2 6
|[[Файл:Uniform tiling 63-t1.png|75px]]<br />[[Тришестиугольная мозаика|тришестиугольная<BR>мозаика]]<br />r{5,3}<BR />{{CDD|node|6|node_1|3|node}}<br />2 | 3 6
|[[Файл:Trihexagonal tiling vertfig.svg|75px]]<br />''3.6.3.6''
|}

Рисунок шахматной доски является квазиправильной раскраской [[Квадратный паркет|квадратной мозаики]] с [[Вершинная фигура|вершинной фигурой]] ''4.4.4.4'':
{| class="wikitable"
!Правильный многоугольник
!Двойственный правильный
!Квазиправильный
![[Вершинная фигура]]
|- valign=top align=center
|[[Файл:Uniform tiling 44-t0.svg|75px]]<br />{4,4}<br />{{CDD|node|4|node|4|node_1}}<br />4 | 2 4
|[[Файл:Uniform tiling 44-t2.png|75px]]<br />{4,4}<br />{{CDD|node_1|4|node|4|node}}<br />4 | 2 4
|[[Файл:Uniform tiling 44-t1.png|75px]]<br />r{4,4}<br />{{CDD|node|4|node_1|4|node}}<br />2 | 4 4
|[[Файл:square tiling vertfig.svg|75px]]<br />''4.4.4.4''
|}

[[Треугольный паркет|Треугольную мозаику]] можно также считать квазиправильной, с тремя множествами альтернированных треугольников в каждой вершине, (3.3)<sup>3</sup>:
{| class="wikitable"
|- align=center
|[[Файл:Uniform tiling 333-t1.svg|60px]]<BR />h{6,3}<br />3 &#124; 3 3<br />{{CDD|branch_10ru|split2|node}} = {{CDD|node_h|6|node|3|node}}
|}

На гиперболической плоскости ([[Геометрия Лобачевского|плоскости Лобачевского]]) эта последовательность продолжается дальше, например, {{не переведено 5|трисемиугольная мозаика|||triheptagonal tiling}} с [[Вершинная фигура|вершинной фигурой]] ''3.7.3.7'' — это '''квазиправильная мозаика''', основанная на ''треугольной мозаике 7-го порядка'' и ''семиугольной мозаике''.
{| class="wikitable"
!Правильный многоугольник
!Двойственный правильный
!Квазиправильный
![[Вершинная фигура]]
|- valign=top align=center
|[[Файл:Uniform tiling 73-t0.png|75px]]<br />Семиугольная<br />мозаика<br />{7,3}<br />{{CDD|node|7|node|3|node_1}}<br />7 | 2 3
|[[Файл:Uniform tiling 73-t2.png|75px]]<br />Треугольный<br />паркет<br />{3,7}<br />{{CDD|node_1|7|node|3|node}}<br />3 | 2 7
|[[Файл:Uniform tiling 73-t1.png|75px]]<br />{{не переведено 5|Трисемиугольная мозаика|Трисемиугольная<br>мозаика||Triheptagonal tiling}}<br />r{3,7}<br />{{CDD|node|7|node_1|3|node}}<br />2 | 3 7
|[[Файл:Triheptagonal tiling vertfig.png|75px]]<br />''3.7.3.7''
|}

== Невыпуклые примеры ==

[[Коксетер, Гарольд|Коксетер]] и др. (1954) классифицировали также некоторые [[Звёздчатый многогранник|звёздчатые многогранники]], имеющие квазиправильные характеристики:

Два многогранника основываются на двойственных парах правильных [[Тело Кеплера — Пуансо|тел Кеплера — Пуансо]].

[[Большой икосододекаэдр]] <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 5/2 \end{Bmatrix}</math> и [[додекододекаэдр]] <math>\begin{Bmatrix} 5 \\ 5/2 \end{Bmatrix}</math>:

{| class="wikitable"
!Правильный
!Двойственный правильный
!Квазиправильный
![[Вершинная фигура]]
|- valign=top align=center
|[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|75px]]<br />[[Большой звёздчатый додекаэдр]]<br />{<sup>5</sup>/<sub>2</sub>,3}<br />{{CDD|node_1|5|rat|d2|node|3|node}}<br />3 | 2 5/2
|[[Файл:Great icosahedron.png|75px]]<br />[[Большой икосаэдр]]<br />{3,<sup>5</sup>/<sub>2</sub>}<br />{{CDD|node|5|rat|d2|node|3|node_1}}<br />5/2 | 2 3
|[[Файл:Great icosidodecahedron.png|75px]]<br />[[Большой икосододекаэдр]]<br />r{3,<sup>5</sup>/<sub>2</sub>}<br />{{CDD|node|5|rat|d2|node_1|3|node}}<br />2 | 3 5/2
|[[Файл:Great icosidodecahedron vertfig.png|75px]]<br />''3.<sup>5</sup>/<sub>2</sub>.3.<sup>5</sup>/<sub>2</sub>''
|- valign=top align=center
|[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|75px]]<br />[[Малый звёздчатый додекаэдр]]<br />{<sup>5</sup>/<sub>2</sub>,5}<br />{{CDD|node_1|5|rat|d2|node|5|node}}<br />5 | 2 5/2
|[[Файл:Great dodecahedron.png|75px]]<br />[[Большой додекаэдр]]<br />{5,<sup>5</sup>/<sub>2</sub>}<br />{{CDD|node|5|rat|d2|node|5|node_1}}<br />5/2 | 2 5
|[[Файл:Dodecadodecahedron.png|75px]]<br />[[Додекододекаэдр]]<br />r{5,<sup>5</sup>/<sub>2</sub>}<br />{{CDD|node|5|rat|d2|node_1|5|node}}<br />2 | 5 5/2
|[[Файл:Dodecadodecahedron vertfig.png|75px]]<br />''5.<sup>5</sup>/<sub>2</sub>.5.<sup>5</sup>/<sub>2</sub>''
|}

Наконец, существует три {{не переведено 5|Битригональный многогранник|битригональных||Ditrigonary polyhedra}} вида, вершинные фигуры которых содержат три перемежающихся типа граней:
{| class="wikitable"
!Рисунок
!Название многогранника<br />{{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}}<br />[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма<BR />Коксетера]]
![[Вершинная фигура]]
|- align=center
| [[Файл:Ditrigonal dodecadodecahedron.png|125px]]
||{{не переведено 5|Битреугольный додекододекаэдр|Битреугольный<BR>додекододекаэдр||Ditrigonal dodecadodecahedron}}<br />''3 | 5/3 5''<br />[[Файл:Ditrigonal dodecadodecahedron cd.png]] or {{CDD|node|5|node_h3|5-2|node}}
||[[Файл:Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png|100px]]<br />(5.5/3)<sup>3</sup>
|- align=center
| [[Файл:Small ditrigonal icosidodecahedron.png|125px]]
||{{не переведено 5|Малый битреугольный икосододекаэдр|Малый битреугольный<BR> икосододекаэдр||Small ditrigonal icosidodecahedron}}<br />''3 | 5/2 3''<br />[[Файл:Small ditrigonal icosidodecahedron cd.png]] or {{CDD|node_h3|5|node|3|node}}
||[[Файл:Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png|100px]]<br />(3.5/2)<sup>3</sup>
|- align=center
| [[Файл:Great ditrigonal icosidodecahedron.png|125px]]
||{{не переведено 5|Большой битреугольный икосододекаэдр|Большой битреугольный<br>икосододекаэдр||Great ditrigonal icosidodecahedron}}<br />''3/2 | 3 5''<br />[[Файл:Great ditrigonal icosidodecahedron cd.png]] or {{CDD|node_h3|5-2|node|3|node}}
||[[Файл:Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png|100px]]<br />((3.5)<sup>3</sup>)/2

|}

== Квазиправильные двойственные ==

Некоторые авторы высказывают мнение, что, поскольку двойственные многогранники к квазиправильным имеют те же симметрии, эти двойственные тела тоже следует считать квазиправильными, но не все математики придерживаются такого мнения. Эти двойственные многогранники транзитивны относительно своих рёбер и граней (но не вершин). Они являются рёберно транзитивными {{не переведено 5|Тело Каталана|телами Каталана||Catalan solid}}. Выпуклые формы, согласно порядку многогранника (как выше):
# [[Ромбододекаэдр]] с двумя ''типами'' перемежающихся вершин, 8 вершин с тремя ромбическими гранями, и 6 вершин с четырьмя ромбическими гранями.
# [[Ромботриаконтаэдр]] с двумя ''типами'' перемежающихся вершин, 20 вершин с тремя ромбическими гранями, и 12 вершин с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, будучи двойственным октаэдру, [[куб]], являющийся [[Правильнывй многогранник|правильным]], может быть сделан квазиправильным, если раскрасить его вершины в два цвета, так, чтобы вершины на одном ребре имели разные цвета.

Их [[конфигурация грани]] имеет вид V3.n.3.n, а [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграмма Коксетера — Дынкина]] {{CDD|node|3|node_f1|n|node}}
{| class="wikitable"
|[[Файл:Hexahedron.svg|100px]]
|[[Файл:Rhombicdodecahedron.jpg|100px]]
|[[Файл:Rhombictriacontahedron.svg|100px]]
|[[Файл:Rhombic star tiling.svg|100px]]
|[[Файл:Order73 qreg rhombic til.png|100px]]
|[[Файл:Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png|100px]]
|- align=center valign=bottom
|[[Куб]]<br />V(3.3)<sup>2</sup><br />{{CDD|node|3|node_f1|3|node}}
|[[Ромбододекаэдр]]<br />V(3.4)<sup>2</sup><br />{{CDD|node|3|node_f1|4|node}}
|[[Ромботриаконтаэдр|Ромботри-<BR />аконтаэдр]]<br />V(3.5)<sup>2</sup><br />{{CDD|node|3|node_f1|5|node}}
|[[Ромбическая мозаика]]<br />V(3.6)<sup>2</sup><br />{{CDD|node|3|node_f1|6|node}}
|V(3.7)<sup>2</sup><br />{{CDD|node|3|node_f1|7|node}}
|V(3.8)<sup>2</sup><br />{{CDD|node|3|node_f1|8|node}}
|}

Эти три квазиправильных двойственных многогранника характерны наличием [[ромб]]ических граней.

Эта ромбическая структура граней продолжает V(3.6)<sup>2</sup>, [[ромбическая мозаика]].

== Квазиправильные многогранники в 4-мерном пространстве и квазиправильные соты ==
[[Файл:Uniform polyhedron-33-t1.svg|100px|thumb|Общая вершинная фигура — квазиправильный тетратетраэдр, {{CDD|node_1|split1|nodes}}, то же самое, что и правильный [[октаэдр]]]]

В евклидовом 4-мерном пространстве правильный [[шестнадцатиячейник]] можно считать квазиправильным как альтернированный [[тессеракт]], h{4,3,3}, [[Диаграммы Коксетера — Дынкина]]: {{CDD|node_h1|4|node|3|node|3|node}} = {{CDD|nodes_10ru|split2|node|3|node}}, состоящий из альтернированных [[тетраэдр]]аэдральных и [[тетраэдр]]альных [[Грань (геометрия)|ячеек]]. Его [[вершинная фигура]] — это квазиправильный [[тетратетраэдр]] (октаэдр с тетраэдральной симметрией), {{CDD|node|3|node_1|3|node}}.

Единственные квазиправильные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — {{не переведено 5|альтернированные кубические соты|||alternated cubic honeycomb}}, h{4,3,4}, диаграмма Коксетера — Дынкина: {{CDD|node_h1|4|node|3|node|4|node}} = {{CDD|nodes_10ru|split2|node|4|node}}, состоящие из альтернированных тетраэдральных и [[октаэдр]]альных [[Грань (геометрия)|ячеек]]. Их вершинные фигуры являются квазиправильными [[кубооктаэдр]]ами, {{CDD|node|4|node_1|3|node}} {{sfn|Coxeter|1973|с=69, 88}}.

[[Файл:Uniform tiling 333-t1.svg|100px|thumb|Общая [[вершинная фигура]] —
квазиправильный [[треугольный паркет]], {{CDD|node_1|3|node|6|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1|branch}}]]

В гиперболическом 3-мерном пространстве квазиправильными сотами являются {{не переведено 5|альтернированные кубические соты 5-го порядка|||alternated order-5 cubic honeycomb}}, h{4,3,5}, диаграммы Коксетера — Дынкина: {{CDD|node_h1|4|node|3|node|5|node}} = {{CDD|nodes_10ru|split2|node|5|node}}, составленные из альтернированных тетраэдральных и [[икосаэдр]]альных [[Грань (геометрия)|ячеек]]. Вершинная фигура — квазиправильный [[икосододекаэдр]], {{CDD|node|5|node_1|3|node}}. Связанные паракомпактные {{не переведено 5|альтернированные кубические соты 6-го порядка|||alternated order-6 cubic honeycomb}}, h{4,3,6} имеют альтернированные тетраэдральные и шестиугольные мозаичные ячейки с вершинной фигурой, которая является [[Тришестиугольная мозаика|тришестиугольной мозаикой]], {{CDD|node|6|node_1|3|node}}.

{{Квазиправильные многогранники и соты}}

Можно уменьшить симметрию правильных многогранных сот вида {p,3,4} или {{CDD|node_1|p|node|3|node|4|node}} как {{CDD|node_1|p|node|3|node|4|node_h0}} и получить квазиправильный вид {{CDD|node_1|p|node|split1|nodes}}, создавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Это можно сделать для евклидовых [[Кубические соты|кубических сот]] {4,3,4} с [[куб]]ическими ячейками, для компактных гиперболических сот {5,3,4} с [[додекаэдр]]альными ячейками и паракомпактных сот {6,3,4} с конечными [[Шестиугольный паркет|шестиугольными мозаичными]] ячейками. Они имеют четыре ячейки вокруг каждого ребра, попеременно выкрашенные в 2 цвета. Их [[Вершинная фигура|вершинные фигуры]] — квазиправильные тетраэдры, {{CDD|node_1|3|node|4|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1|nodes}}.

{{Правильные и квазиправильные соты}}
Таким же образом можно уменьшить вдвое симметрию правильных гиперболических сот вида {p,3,6} или {{CDD|node_1|p|node|3|node|6|node}} как {{CDD|node_1|p|node|3|node|6|node_h0}} и получить квазиправильный вид {{CDD|node_1|p|node|split1|branch}}, задавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Они имеют шесть ячеек вокруг каждого ребра, поочерёдно выкрашенные в 2 цвета. Их [[Вершинная фигура|вершинные фигуры]] — квазиправильные [[Треугольный паркет|треугольные мозаики]], {{CDD|node_1|split1|branch}}.

{{Вершинные фигуры треугольных мозаик}}

== См. также ==
* [[Хиральный многогранник]]
* [[Полное усечение (геометрия)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{refbegin}}
* {{книга
|автор=P. Cromwell
|ref=Cromwell
|год=1997
|url=http://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&lpg=PP1&pg=PA82#v=onepage&q=&f=false 
|заглавие=Polyhedra
|место=United Kingdom
|издательство=Cambridge University Press
|isbn=0-521-55432-2
}}
* {{книга
|автор=[[Коксетер, Гарольд|H.S.M Coxeter]]
|заглавие ={{не переведено 5|Regular Polytopes|Regular Polytopes||Regular Polytopes (book)}}
|ссылка=https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe_q0b5
|издательство=Dover Publications Inc.
|ISBN=0-486-61480-8
|место=New York
|год=1973
|издание=3rd edition
|ref=Coxeter
}} (стр.17 Глава 2.3: Quasi-Regular Polyhedra, стр. 69 Quasi-regular honeycombs p.&nbsp;69
* {{статья
|автор=H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller 
|заглавие=Uniform polyhedra 
|jstor=91532 
|mr=0062446  
|год=1954 
|издание=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 
|issn=0080-4614 
|том=246 
|выпуск=916 
|страницы=401–450 
|издательство=The Royal Society 
|doi=10.1098/rsta.1954.0003 
|ref=Coxeter, Longuet-Higgins, Miller 
}} (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra ''p | q r'')
{{refend}}

== Ссылки ==
* {{Mathworld | urlname=QuasiregularPolyhedron | title=Quasiregular polyhedron }}
* {{Mathworld | urlname=UniformPolyhedron | title=Uniform polyhedron }} Quasi-regular polyhedra: (p.q)<sup>r</sup>
* George Hart, [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/quasi-regular-info.html Quasiregular polyhedra] {{Архивировано|url=https://www.webcitation.org/6JK8QekgY?url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/quasi-regular-info.html |date=2013-09-02 }}
{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Квазиправильные многогранники]]