Квазиправильный многогранник

Квазипра́вильный многогра́нник (от Шаблон:Lang-lat «наподобие», «нечто вроде») — полуправильный многогранник, который имеет в точности два вида правильных граней, поочерёдно следующих вокруг каждой вершины. Эти многогранники Шаблон:Не переведено 5, а потому на шаг ближе к правильным многогранникам, чем полуправильные, которые лишь вершинно транзитивны.

Квазиправильные фигуры

(3.3)2	(3.4)2	(3.5)2	(3.6)2	(3.7)2	(3.8)2	(3.∞)2
$\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}3\\ 8\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}3\\ \mathrm{\infty }\end{array}\right\}$
r{3,3}	r{3,4}	r{3,5}	r{3,6}	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5
Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
Квазиправильные многогранники или мозаики имеют в точности два типа правильных граней, которые располагаются поочерёдно вокруг каждой вершины. Их вершинные фигуры являются прямоугольниками.

Существует только два выпуклых квазиправильных многогранника, кубооктаэдр и икосододекаэдр. Имена этих многогранников, данные Кеплером, происходят от понимания, что их грани содержат все грани двойственной пары куба и октаэдра в первом случае, и двойственной пары икосаэдра и додекаэдра во втором.

Эти формы, представленные парой (правильным многогранником и двойственным ему), могут быть заданы вертикальным символом Шлефли $\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$ или r{p, q} для представления граней как правильного {p, q}, так и двойственного {q, p} многогранников. Квазиправильный многогранник с этим символом имеет Шаблон:Не переведено 5 p.q.p.q (или (p.q)²).

В более общем случае квазиправильные фигуры могут иметь Шаблон:Не переведено 5 (p.q)^r, представляющую r (2 или более) граней разного вида вокруг вершины.

Мозаики на плоскости могут быть также квазиправильными, в частности тришестиугольная мозаика с вершинной конфигурацией (3.6)². Шаблон:Не переведено 5 существуют в гиперболической плоскости, например, Шаблон:Не переведено 5 (3.7)². Сюда входят мозаики (p.q)², с 1/p+1/q<1/2.

Некоторые правильные многогранники и мозаики (имеющие чётное число граней в каждой вершине) могут также рассматриваться как квазиправильные путём разделения граней на два множества (как если бы мы их выкрасили в разные цвета). Правильная фигура с символом Шлефли {p, q} может быть квазиправильной и будет иметь вершинную кофигурацию (p.p)^q/2, если q чётно.

Правильные и квазиправильные фигуры

Прямоугольные треугольники (p p 2)
{3,4} r{3,3}	{4,4} r{4,4}	{5,4} r{5,5}	{6,4} r{6,6}	{7,4} r{7,7}	{8,4} r{8,8}	{∞,4} r{∞,∞}
$\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}7\\ 7\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right\}$	$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\infty }\\ \mathrm{\infty }\end{array}\right\}$
(3.3)2	(4.4)2	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5
Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
	Квадратный паркет	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5
Треугольники общего вида (p p 3)
{3,6}	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5
(3.3)3	(4.4)3	(5.5)3	(6.6)3	(7.7)3	(8.8)3	(∞.∞)3
Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
Треугольники общего вида (p p 4)
Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5
(3.3)4	(4.4)4	(5.5)4	(6.6)4	(7.7)4	(8.8)4	(∞.∞)4
Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
Правильный многогранник или мозаика могут считаться квазиправильными, если они имеют чётное число граней при каждой вершине (а потому могут быть выкрашены в два цвета, чтобы соседние грани имели разные цвета).

Октаэдр можно считать квазиправильным как тетратетраэдр, (3_a.3_b)², с раскрашенными попеременно треугольными гранями. Подобным же образом квадратную мозаику (4_a.4_b)² можно считать квазиправильной, если раскрасить в стиле шахматной доски. Также и грани треугольной мозаики могут быть выкрашены в два альтернативных цвета, (3_a.3_b)³.

Построение Витхоффа

Правильные (p | 2 q) и квазиправильные многогранники (2 | p q) получаются построением Витхоффа с генераторной точкой на одном из 3 углов фундаментальной области. Это задаёт единственное ребро внутри фундаментальной области.

Квазиправильные многогранники генерируются из всех 3 углов фундаментальной области для треугольников Шварца, не имеющих прямых углов:
q | 2 p, p | 2 q, 2 | p q

Коксетер определяет квазиправильный многогранник как многогранник, имеющий Шаблон:Не переведено 5 вида p | q r, и он будет правильным, если q=2 или q=r Шаблон:Sfn.

Диаграммы Коксетера — Дынкина является другой формой символического представления, которое позволяет показать связь между двумя двойственно-правильными формами:

Символ Шлефли		Диаграммы Коксетера — Дынкина	Шаблон:Не переведено 5
$\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$	{p, q}	Шаблон:CDD	q | 2 p
$\left\{\begin{array}{c}q,p\end{array}\right\}$	{q, p}	Шаблон:CDD	p | 2 q
$\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$	r{p, q}	Шаблон:CDD	2 | p q

Выпуклые квазиправильные многогранники

Шаблон:Further Существует два выпуклых квазиправильных многогранника:

1. Кубооктаэдр $\left\{\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right\}$, вершинная конфигурация (3.4)², диаграмма Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD
2. Икосододекаэдр $\left\{\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right\}$, вершинная конфигурация (3.5)², диаграмма Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD

Кроме того, октаэдр, являющийся также правильным, $\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$, с вершинной конфигурацией (3.3)², может также считаться квазиправильным, если соседним граням дать различные цвета. В таком виде его иногда называют тетратетраэдром. Оставшиеся выпуклые правильные многогранники имеют нечётное число граней при каждой вершине и не могут быть выкрашены так, чтобы обеспечить транзитивность рёбер. Тетратетраэдр имеет диаграмму Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD.

Каждый из них образует общее ядро двойственной пары правильных многогранников. Имена (двух из) этих ядер напоминают о связанных двойственных парах, соответственно куб + октаэдр и икосаэдр + додекаэдр. Октаэдр является ядром двойственной пары тетраэдров, и при таком способе получения обычно называют его тетратетраэдром.

Правильный	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Тетраэдр {3,3} Шаблон:CDD 3 | 2 3	Тетраэдр {3,3} Шаблон:CDD 3 | 2 3	Тетратетраэдр r{3,3} Шаблон:CDD 2 | 3 3	3.3.3.3
Куб {4,3} Шаблон:CDD 3 | 2 4	Октаэдр {3,4} Шаблон:CDD 4 | 2 3	Кубооктаэдр r{3,4} Шаблон:CDD 2 | 3 4	3.4.3.4
Додекаэдр {5,3} Шаблон:CDD 3 | 2 5	Икосаэдр {3,5} Шаблон:CDD 5 | 2 3	Икосододекаэдр r{3,4} Шаблон:CDD 2 | 3 5	3.5.3.5

Каждый из этих квазиправильных многогранников можно построить с помощью полного усечения любого из родителей, усекая рёбра полностью, пока они не превратятся в точки.

Квазиправильные мозаики

Эту последовательность продолжает тришестиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.6.3.6 — квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике и шестиугольной мозаике.

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
шестиугольная мозаика {6,3} Шаблон:CDD 6 | 2 3	треугольная мозаика {3,6} Шаблон:CDD 3 | 2 6	тришестиугольная мозаика r{5,3} Шаблон:CDD 2 | 3 6	3.6.3.6

Рисунок шахматной доски является квазиправильной раскраской квадратной мозаики с вершинной фигурой 4.4.4.4:

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
{4,4} Шаблон:CDD 4 | 2 4	{4,4} Шаблон:CDD 4 | 2 4	r{4,4} Шаблон:CDD 2 | 4 4	4.4.4.4

Треугольную мозаику можно также считать квазиправильной, с тремя множествами альтернированных треугольников в каждой вершине, (3.3)³:

h{6,3} 3 | 3 3 Шаблон:CDD = Шаблон:CDD

На гиперболической плоскости (плоскости Лобачевского) эта последовательность продолжается дальше, например, Шаблон:Не переведено 5 с вершинной фигурой 3.7.3.7 — это квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике 7-го порядка и семиугольной мозаике.

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Семиугольная мозаика {7,3} Шаблон:CDD 7 | 2 3	Треугольный паркет {3,7} Шаблон:CDD 3 | 2 7	Шаблон:Не переведено 5 r{3,7} Шаблон:CDD 2 | 3 7	3.7.3.7

Невыпуклые примеры

Коксетер и др. (1954) классифицировали также некоторые звёздчатые многогранники, имеющие квазиправильные характеристики:

Два многогранника основываются на двойственных парах правильных тел Кеплера — Пуансо.

Большой икосододекаэдр $\left\{\begin{array}{c}3\\ 5/2\end{array}\right\}$ и додекододекаэдр $\left\{\begin{array}{c}5\\ 5/2\end{array}\right\}$:

Правильный	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Большой звёздчатый додекаэдр {5/2,3} Шаблон:CDD 3 | 2 5/2	Большой икосаэдр {3,5/2} Шаблон:CDD 5/2 | 2 3	Большой икосододекаэдр r{3,5/2} Шаблон:CDD 2 | 3 5/2	3.5/2.3.5/2
Малый звёздчатый додекаэдр {5/2,5} Шаблон:CDD 5 | 2 5/2	Большой додекаэдр {5,5/2} Шаблон:CDD 5/2 | 2 5	Додекододекаэдр r{5,5/2} Шаблон:CDD 2 | 5 5/2	5.5/2.5.5/2

Наконец, существует три Шаблон:Не переведено 5 вида, вершинные фигуры которых содержат три перемежающихся типа граней:

Рисунок	Название многогранника Шаблон:Не переведено 5 Диаграмма Коксетера	Вершинная фигура
	Шаблон:Не переведено 5 3 | 5/3 5 or Шаблон:CDD	(5.5/3)3
	Шаблон:Не переведено 5 3 | 5/2 3 or Шаблон:CDD	(3.5/2)3
	Шаблон:Не переведено 5 3/2 | 3 5 or Шаблон:CDD	((3.5)3)/2

Квазиправильные двойственные

Некоторые авторы высказывают мнение, что, поскольку двойственные многогранники к квазиправильным имеют те же симметрии, эти двойственные тела тоже следует считать квазиправильными, но не все математики придерживаются такого мнения. Эти двойственные многогранники транзитивны относительно своих рёбер и граней (но не вершин). Они являются рёберно транзитивными Шаблон:Не переведено 5. Выпуклые формы, согласно порядку многогранника (как выше):

1. Ромбододекаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 8 вершин с тремя ромбическими гранями, и 6 вершин с четырьмя ромбическими гранями.
2. Ромботриаконтаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 20 вершин с тремя ромбическими гранями, и 12 вершин с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, будучи двойственным октаэдру, куб, являющийся правильным, может быть сделан квазиправильным, если раскрасить его вершины в два цвета, так, чтобы вершины на одном ребре имели разные цвета.

Их конфигурация грани имеет вид V3.n.3.n, а диаграмма Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD

Куб V(3.3)2 Шаблон:CDD	Ромбододекаэдр V(3.4)2 Шаблон:CDD	Ромботри- аконтаэдр V(3.5)2 Шаблон:CDD	Ромбическая мозаика V(3.6)2 Шаблон:CDD	V(3.7)2 Шаблон:CDD	V(3.8)2 Шаблон:CDD

Эти три квазиправильных двойственных многогранника характерны наличием ромбических граней.

Эта ромбическая структура граней продолжает V(3.6)², ромбическая мозаика.

Квазиправильные многогранники в 4-мерном пространстве и квазиправильные соты

Общая вершинная фигура — квазиправильный тетратетраэдр, Шаблон:CDD, то же самое, что и правильный октаэдр

В евклидовом 4-мерном пространстве правильный шестнадцатиячейник можно считать квазиправильным как альтернированный тессеракт, h{4,3,3}, Диаграммы Коксетера — Дынкина: Шаблон:CDD = Шаблон:CDD, состоящий из альтернированных тетраэдраэдральных и тетраэдральных ячеек. Его вершинная фигура — это квазиправильный тетратетраэдр (октаэдр с тетраэдральной симметрией), Шаблон:CDD.

Единственные квазиправильные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — Шаблон:Не переведено 5, h{4,3,4}, диаграмма Коксетера — Дынкина: Шаблон:CDD = Шаблон:CDD, состоящие из альтернированных тетраэдральных и октаэдральных ячеек. Их вершинные фигуры являются квазиправильными кубооктаэдрами, Шаблон:CDD Шаблон:Sfn.

Общая вершинная фигура — квазиправильный треугольный паркет, Шаблон:CDD = Шаблон:CDD

В гиперболическом 3-мерном пространстве квазиправильными сотами являются Шаблон:Не переведено 5, h{4,3,5}, диаграммы Коксетера — Дынкина: Шаблон:CDD = Шаблон:CDD, составленные из альтернированных тетраэдральных и икосаэдральных ячеек. Вершинная фигура — квазиправильный икосододекаэдр, Шаблон:CDD. Связанные паракомпактные Шаблон:Не переведено 5, h{4,3,6} имеют альтернированные тетраэдральные и шестиугольные мозаичные ячейки с вершинной фигурой, которая является тришестиугольной мозаикой, Шаблон:CDD.

Квазиправильные многогранники и соты: h{4,p,q}

Пространство	Конечное	Аффинное	Компактное	Паракомпактное
Название	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
	$\{3,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\}$	$\{3,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}\}$	$\{3,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}\}$	$\{3,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{6}\}$	$\{4,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}\}$	$\{4,\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\}$
Диаграмма Коксетера	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
Рисунок
Вершинная фигура r{p,3}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD

Можно уменьшить симметрию правильных многогранных сот вида {p,3,4} или Шаблон:CDD как Шаблон:CDD и получить квазиправильный вид Шаблон:CDD, создавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Это можно сделать для евклидовых кубических сот {4,3,4} с кубическими ячейками, для компактных гиперболических сот {5,3,4} с додекаэдральными ячейками и паракомпактных сот {6,3,4} с конечными шестиугольными мозаичными ячейками. Они имеют четыре ячейки вокруг каждого ребра, попеременно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные тетраэдры, Шаблон:CDD = Шаблон:CDD.

Правильные и квазиправильные соты: {p,3,4} и {p,3^1,1}

Пространство	Евклидово 4-мерное	Евклидово 3-мерное	Гиперболическое 3-мерное
Название	{3,3,4} {3,31,1} = $\{3,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\}$	{4,3,4} {4,31,1} = $\{4,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\}$	{5,3,4} {5,31,1} = $\{5,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\}$	{6,3,4} {6,31,1} = $\{6,\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\}$
Диаграмма Коксетера	Шаблон:CDD = Шаблон:CDD	Шаблон:CDD = Шаблон:CDD	Шаблон:CDD = Шаблон:CDD	Шаблон:CDD = Шаблон:CDD
Рисунок
Ячейки {p,3}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD

Таким же образом можно уменьшить вдвое симметрию правильных гиперболических сот вида {p,3,6} или Шаблон:CDD как Шаблон:CDD и получить квазиправильный вид Шаблон:CDD, задавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Они имеют шесть ячеек вокруг каждого ребра, поочерёдно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные треугольные мозаики, Шаблон:CDD.

См. также

• Хиральный многогранник
• Полное усечение (геометрия)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга (стр.17 Глава 2.3: Quasi-Regular Polyhedra, стр. 69 Quasi-regular honeycombs p. 69
• Шаблон:Статья (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra p | q r)

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld Quasi-regular polyhedra: (p.q)^r
• George Hart, Quasiregular polyhedra Шаблон:Архивировано