Просмотр кода страницы Квазитрохоидальная траектория

'''Квазитрохоида́льная траекто́рия''' — сложная [[траектория]] какого-либо объекта, имеющего поступательные и вращательные составляющие движения. Подобная траектория именуется [[квазитрохоида]]льной, поскольку на малом участке её возможно приблизить [[трохоида]]льной кривой.

Примером квазитрохоидальной траектории является траектория летательного аппарата перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси, траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле, траектория вихревого образования в атмосфере и в жидкости, и т. п.

== Анализ и сопровождение ==
В случае жесткого тела, ограничиваются рассмотрением траектории движения лишь одной принадлежащей ему точки, принятой за реперную. При рассмотрении движения слабо связанных, но имеющих однообразное движение объектов, к примеру, атмосферных завихренностей, рассматривают совокупность реперных точек, наиболее приближающих заданный процесс, и разбитых на группы, например, по степени удалённости от центра вращения. Основная задача при сопровождении рассматриваемых объектов заключается в оценке параметров траектории для выявления их внутренних свойств, и прогнозировании дальнейшего движения.

== Получение ==
Обычно траектории получают проецированием трёхмерных координат на плоскость. Двумерные координаты объекта возможно получить двумя способами. При первом способе, входные двумерные координаты привязываются к временным отсчётам, обычно эквидистантным, что существенно упрощает последующие вычисления. Одной из принципиальных особенностей является возможное отсутствие каких-либо измеренных координат в определённые моменты времени, из-за нестабильности наблюдения или действия помех. Примером являются отсчёты координат, полученные РЛС либо оптико-электронной системой, выдающей видеоизображение. Во втором способе используется уже имеющаяся совокупность двумерных координат за какое-то определённое, обычно достаточно большое время, в случаях, когда отсутствует связь измеренных координат с моментами времени измерений.

== Модель ==
В параметрическом виде модель измеренного двумерного сигнала (квазитрохоидальной траектории) представляется в виде уравнений:

<math> \left\{\begin{matrix}
x(t)=x_c(t)+R(t)\cos(\theta(t))+n_x(t)\\
y(t)=y_c(t)+R(t)\sin(\theta(t))+n_y(t)
\end{matrix}\right. </math> (1)

где: <math> x_c(t), y_c(t)</math> — координаты поступательной составляющей (центра вращения); <math>R(t)</math> — радиус вращения; <math>\theta(t)</math> — фаза вращения; <math>d\theta/dt=\omega(t)</math> — угловая частота вращения; <math>n_x(t), n_y(t)</math> — шумы измерения и действующие помехи; и т. д. Нестационарные параметры <math>x_c(t), y_c(t), R(t), \theta(t)</math> сигнала (1) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.

Для упрощения используется комплексная ф
орма записи [[Параметрическое уравнение|параметрических уравнений]] (1). Полагая <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>, можно записать:

<math>z(t)=z_c(t)+R(t)\exp \left( i\theta(t) \right)+n_z(t)</math> (2)

В простейшем случае, при прямолинейном движении центра вращения, при постоянной частоте вращения и отсутствии шумов, будем иметь параметрические уравнения классической двумерной кривой — трохоиды:

<math> \left\{\begin{matrix}
x(t)=x_0+v_xt+R\cos(\omega t+\theta_0)\\
y(t)=y_0+v_yt+R\sin(\omega t+\theta_0)
\end{matrix}\right. </math> (3)

где: <math> x_0, y_0 </math> — координаты начального положения центра вращения; <math> v_x, v_y </math> — проекции скорости центра вращения; <math> \omega </math> — циклическая частота вращения; <math> \theta_0 </math> — начальная фаза вращения.

Для более сложного случая используют следующую модель, имеющую одну составляющую вращения:

<math>
z(t)= \sum_{p=0}^{P-1}c_pt^p + \left( \sum_{q=0}^{Q-1}R_qt^q \right) \exp \left(i \sum_{m=0}^{M-1}\theta_mt^m \right)
</math> (4)

В общем случае, вращательных составляющих может быть произвольное количество. Применительно к реальным объектам, подлежащим распознаванию и сопровождению, например ЛА, обычно бывает достаточно всего двух гармонических членов. Первый отвечает за основное вращение по углу крена, тогда как второй отражает наличие какой-либо дополнительной составляющей второго порядка малости. Подобной гармоникой может быть описано, к примеру, явление флаттера — высокочастотного колебания вращающейся консоли стабилизатора или крыла ЛА. В этом случае одну из моделей можно представить как:

<math>
z(t)= \sum_{p=0}^{P-1}c_pt^p +  \sum_{g=0}^{G-1} \left( \left( \sum_{q=0}^{Q-1}R_{qg}t^q \right) \exp\left(i \sum_{m=0}^{M-1}\theta_{mg}t^m \right) \right)
</math>

или

<math>
z(t)= \sum_{p=0}^{P-1} \left( R_p \exp \left( \alpha_p t \right ) \right ) +  \sum_{m=0}^{M-1}  \exp\left( i \omega_m t + \theta_m \right)
</math>

где: <math> G </math> — количество вращательных составляющих;

Для слежения за объектами необходимо выделение составляющих параметров траектории, таких как: координаты центра вращения, частоты вращения, текущей фаза вращения, радиуса вращения. По этим параметрам возможно решение задачи распознавания объекта, прогнозирования движения в случае пропадания координат, формирования модельной сглаженной траектории и др. Также, процесс измерения координат подвержен воздействию пассивных и активных помех, в результате действия которых появляются ошибки в измерениях, либо отсутствие достоверных измеренных координат.

== Литература ==
* Савёлов А. А. ''Плоские кривые. Систематика, свойства, применения.'' М.: Изд. Физматлит, 1960
* Karamov S.V. ''Modified Prony Method for Tracking Trochoidal trajectories'' // 8th International conference «Pattern Recognition and Image Analyses: New Information Technologies» Yoshkar-Ola, 2007. — Vol. 1. — P. 310—313.
* Карамов С. В. ''Методы идентификации параметров трохоидальной траектории летательного аппарата'' // VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Труды. -М.: ИПУ РАН, 2007, -С. 293—323.
* Карамов С. В. ''Методы сопровождения объектов имеющих квазитрохоидальные траектории'' // 10-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и её применение» г. Москва, 2008 г. Т.2, 659-662C.

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20100219141741/http://physics.nad.ru/curves.html Циклоидальные кривые]

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Картография]]