Квазитрохоидальная траектория

Квазитрохоида́льная траекто́рия — сложная траектория какого-либо объекта, имеющего поступательные и вращательные составляющие движения. Подобная траектория именуется квазитрохоидальной, поскольку на малом участке её возможно приблизить трохоидальной кривой.

Примером квазитрохоидальной траектории является траектория летательного аппарата перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси, траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле, траектория вихревого образования в атмосфере и в жидкости, и т. п.

Анализ и сопровождение

В случае жесткого тела, ограничиваются рассмотрением траектории движения лишь одной принадлежащей ему точки, принятой за реперную. При рассмотрении движения слабо связанных, но имеющих однообразное движение объектов, к примеру, атмосферных завихренностей, рассматривают совокупность реперных точек, наиболее приближающих заданный процесс, и разбитых на группы, например, по степени удалённости от центра вращения. Основная задача при сопровождении рассматриваемых объектов заключается в оценке параметров траектории для выявления их внутренних свойств, и прогнозировании дальнейшего движения.

Получение

Обычно траектории получают проецированием трёхмерных координат на плоскость. Двумерные координаты объекта возможно получить двумя способами. При первом способе, входные двумерные координаты привязываются к временным отсчётам, обычно эквидистантным, что существенно упрощает последующие вычисления. Одной из принципиальных особенностей является возможное отсутствие каких-либо измеренных координат в определённые моменты времени, из-за нестабильности наблюдения или действия помех. Примером являются отсчёты координат, полученные РЛС либо оптико-электронной системой, выдающей видеоизображение. Во втором способе используется уже имеющаяся совокупность двумерных координат за какое-то определённое, обычно достаточно большое время, в случаях, когда отсутствует связь измеренных координат с моментами времени измерений.

Модель

В параметрическом виде модель измеренного двумерного сигнала (квазитрохоидальной траектории) представляется в виде уравнений:

$\{\begin{array}{c}x(t)=x_c(t)+R(t)\cos (\theta (t))+n_x(t)\\ y(t)=y_c(t)+R(t)\sin (\theta (t))+n_y(t)\end{array}$ (1)

где: $x_c(t),y_c(t)$ — координаты поступательной составляющей (центра вращения); $R(t)$ — радиус вращения; $\theta (t)$ — фаза вращения; $d\theta /dt=\omega (t)$ — угловая частота вращения; $n_x(t),n_y(t)$ — шумы измерения и действующие помехи; и т. д. Нестационарные параметры $x_c(t),y_c(t),R(t),\theta (t)$ сигнала (1) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.

Для упрощения используется комплексная ф орма записи параметрических уравнений (1). Полагая $z(t)=x(t)+iy(t)$, можно записать:

$z(t)=z_c(t)+R(t)\exp (i\theta (t))+n_z(t)$ (2)

В простейшем случае, при прямолинейном движении центра вращения, при постоянной частоте вращения и отсутствии шумов, будем иметь параметрические уравнения классической двумерной кривой — трохоиды:

$\{\begin{array}{c}x(t)=x_0+v_{x}t+R\cos (\omega t+{\theta }_0)\\ y(t)=y_0+v_{y}t+R\sin (\omega t+{\theta }_0)\end{array}$ (3)

где: $x_0,y_0$ — координаты начального положения центра вращения; $v_x,v_y$ — проекции скорости центра вращения; $\omega$ — циклическая частота вращения; ${\theta }_0$ — начальная фаза вращения.

Для более сложного случая используют следующую модель, имеющую одну составляющую вращения:

$z(t)=\sum _{p=0}^{P-1}{c}_p{t}^p+\left(\sum _{q=0}^{Q-1}{R}_q{t}^q\right)\exp \left(i\sum _{m=0}^{M-1}{\theta }_m{t}^m\right)$ (4)

В общем случае, вращательных составляющих может быть произвольное количество. Применительно к реальным объектам, подлежащим распознаванию и сопровождению, например ЛА, обычно бывает достаточно всего двух гармонических членов. Первый отвечает за основное вращение по углу крена, тогда как второй отражает наличие какой-либо дополнительной составляющей второго порядка малости. Подобной гармоникой может быть описано, к примеру, явление флаттера — высокочастотного колебания вращающейся консоли стабилизатора или крыла ЛА. В этом случае одну из моделей можно представить как:

$z(t)=\sum _{p=0}^{P-1}{c}_p{t}^p+\sum _{g=0}^{G-1}(\left(\sum _{q=0}^{Q-1}{R}_{qg}{t}^q\right)\exp \left(i\sum _{m=0}^{M-1}{\theta }_{mg}{t}^m\right))$

или

$z(t)=\sum _{p=0}^{P-1}(R_p\exp \left({\alpha }_{p}t\right))+\sum _{m=0}^{M-1}\exp (i{\omega }_{m}t+{\theta }_m)$

где: $G$ — количество вращательных составляющих;

Для слежения за объектами необходимо выделение составляющих параметров траектории, таких как: координаты центра вращения, частоты вращения, текущей фаза вращения, радиуса вращения. По этим параметрам возможно решение задачи распознавания объекта, прогнозирования движения в случае пропадания координат, формирования модельной сглаженной траектории и др. Также, процесс измерения координат подвержен воздействию пассивных и активных помех, в результате действия которых появляются ошибки в измерениях, либо отсутствие достоверных измеренных координат.

Литература

• Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Изд. Физматлит, 1960
• Karamov S.V. Modified Prony Method for Tracking Trochoidal trajectories // 8th International conference «Pattern Recognition and Image Analyses: New Information Technologies» Yoshkar-Ola, 2007. — Vol. 1. — P. 310—313.
• Карамов С. В. Методы идентификации параметров трохоидальной траектории летательного аппарата // VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Труды. -М.: ИПУ РАН, 2007, -С. 293—323.
• Карамов С. В. Методы сопровождения объектов имеющих квазитрохоидальные траектории // 10-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и её применение» г. Москва, 2008 г. Т.2, 659-662C.

Ссылки

• Циклоидальные кривые