Квазитрохоида

Квазитрохоида (от Шаблон:Lang-lat — нечто вроде, как будто, и Шаблон:Lang-el — колесообразный) — плоская трансцендентная кривая, по форме напоминающая трохоиду, но отличающаяся тем, что центр вращения перемещается по произвольной траектории, радиус и частота вращения могут изменяться во времени по любому закону.

Квазитрохоиды имеют большое значение и широко используются в технике. Например, кривые, образуемые круговым движением и одновременно плоско-параллельным перемещением фрезы в станке с ЧПУ; движение летательного аппарата, перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси; траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле.

Уравнение обычной трохоиды на плоскости записывается как:

$\{\begin{array}{c}x(t)=x_0+v_{x}t+R\cos (\omega t+{\theta }_0)\\ y(t)=y_0+v_{y}t+R\sin (\omega t+{\theta }_0)\end{array}$ (3)

где: $x_0,y_0$ — координаты начального положения центра вращения; $v_x,v_y$ — проекции скорости центра вращения; $\omega$ — циклическая частота вращения; ${\theta }_0$ — начальная фаза вращения.

Уравнение квазитрохоиды на плоскости записывается как:

$\{\begin{array}{c}x(t)=x_c(t)+R(t)\cos (\theta (t))\\ y(t)=y_c(t)+R(t)\sin (\theta (t))\end{array}$ (2)

где: $x_c(t),y_c(t)$ — координаты поступательной составляющей (центра вращения); $R(t)$ — радиус вращения; $\theta (t)$ — фаза вращения; $d\theta /dt=\omega (t)$ — угловая частота вращения; Нестационарные параметры $x_c(t),y_c(t),R(t),\theta (t)$ сигнала (2) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.

Для упрощения используется комплексная форма записи параметрических уравнений (2). Полагая $z(t)=x(t)+iy(t)$, можно записать:

$z(t)=z_c(t)+R(t)\exp (i\theta (t))$ (3)

Литература

• Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Изд. Физматлит, 1960
• Карамов С. В. Оценка параметров и прогноз движения вращающегося объекта, имеющего трохоидальную траекторию по видеоизображению // Труды XVI международной конференции по компьютерной графике и её приложениям «Графикон-2006». Новосибирск, 2006. С. 347—350.
• Карамов С. В. Алгоритм оценки параметров и экстраполяции двухмерного сигнала, имеющего гармоническую составляющую // 9-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и её применение» г. Москва, 2007 г. Т.2, -С 505—508.

См. также

• Циклоида
• Трохоида
• Квазитрохоидальная траектория