Просмотр кода страницы Квантовая теория рассеяния

{{Квантовая механика}}
'''Квантовая теория рассеяния''' — раздел [[квантовая механика|квантовой механики]], описывающий [[рассеивание частиц|рассеяние частиц]] на изолированном рассеивающем центре. В простейшем случае, этот центр характеризуется потенциалом. Обычно предполагается, что потенциал стремится к нулю по мере удаления от рассеивающего центра.

== Постановка задачи ==
[[File:Постановка задачи о квантовом рассеянии.svg|300px|thumb|Постановка задачи о квантовом рассеянии]]
В учебнике Ландау и Лифшица по квантовой механике<ref>{{книга
|заглавие=Квантовая механика
|год=1989
|язык=und
|автор=Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
}}
</ref> задача о рассеянии ставится следующим образом.

На силовой центр падает пучок частиц с волновым вектором <math> \vec k_0 </math> и плотностью <math>N</math>. Измеряется число частиц <math>dN</math>, которые попадают в детектор в единицу времени:
:: <math> dN = q(\theta, \phi) N d\Omega </math>,
где <math> \theta </math> и <math> \phi </math> сферические углы детектора в системе координат, начало которой помещено в рассеивающий центр (ось <math>z</math> направлена вдоль вектора <math> \vec k_0 </math>, а <math> d\Omega </math> — телесный угол, под которым детектор виден из начала координат.
Для решения этой задачи рассмотрим стационарное [[уравнение Шрёдингера]]:
:: <math> \left( - \frac{\hbar^2}{2m_0}\Delta + V(r) \right)\psi(\vec r) = E \psi(\vec r) </math>.
Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси <math>z</math>, описывается плоской волной: <math> \psi(\vec r) = \exp (i \vec k_0 \cdot \vec r) </math>. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида <math> A (\theta, \phi) \frac {exp (i k_0  r)}{r} </math>, следовательно, будем искать решение уравнения Шрёдингера со следующей асимптотикой на бесконечности:
:: <math> \psi(\vec r) \approx \exp (i \vec k_0 \cdot \vec r) + A (\theta, \phi) \frac {\exp (i  k_0  r)}{r}</math>.

В результате решения этого уравнения мы получим амплитуду рассеяния <math> A (\theta, \phi) </math> и, следовательно, [[Эффективное поперечное сечение|эффективное сечение]] рассеяния <math> d\sigma = |A (\theta, \phi)|^2 d\Omega </math>. При решении задач рассеяния в квантовой механике широко применяется [[метод фазовых функций]].

== Классическое и квантовое рассеяние ==
Вышеприведенная постановка задачи существенно отличается от классической теории рассеяния, где начальное условие характеризуется [[прицельный параметр|прицельным параметром]]. В квантовой механике понятие [[Траектория материальной точки|траектории]] теряет смысл, поэтому говорить о прицельном параметре некорректно.

Возможна формулировка задачи о рассеянии, которая допускает единую интерпретацию как в классической, так и в квантовой механике
<ref>
{{статья
|заглавие=Единый формализм для квантовой и классической теорий рассеяния
|издание=[[Теоретическая и математическая физика]]
|том=38
|номер=3
|страницы=313—319
|язык=ru
|тип=журнал
|автор=[[Широков, Юрий Михайлович|Ю.М.Широков]]
|год=1979}}
</ref>

== Обратная задача квантовой теории рассеяния ==
'''Обратная задача квантовой теории рассеяния''' — определение вида рассеивающего потенциала по известным характеристикам рассеяния в квантовой механике. Имеет большое практическое значение в экспериментальной [[физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]] для интерпретации экспериментальных данных по рассеянию и определения различных характеристик [[элементарная частица|элементарных частиц]], не измеряемых непосредственно на опыте<ref name="Fad1">''[[Фаддеев, Людвиг Дмитриевич|Л. Д. Фаддеев]]'', [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7335&option_lang=rus “Обратная задача квантовой теории рассеяния”] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7335&option_lang=rus |date=20180920232417 }}, [[УМН]], 14:4(88) (1959), 57–119; J. Math. Phys., 4 (1963), 72–104</ref>

Обратная задача квантовой теории рассеяния решена исчерпывающим образом для случев сферически симметричного потенциала <math>V(\vec{x})=v(r)</math>, удовлетворяющего условию <math>\int_{0}^{\infty} r \left | v(r) \right | dr < \infty</math>,
{{sfn|Крейн|с=453-454|1972}}<ref name="Fad2">''[[Фаддеев, Людвиг Дмитриевич|Л. Д. Фаддеев]]'',[http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intd&paperid=9&option_lang=rus “Обратная задача квантовой теории рассеяния. II”] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intd&paperid=9&option_lang=rus |date=20200805125032 }}, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 3, [[ВИНИТИ]], М., 1974, 93–180; J. Soviet Math., 5:3 (1976), 334–396</ref>  а также для одномерного уравнения Шредингера<ref name="Fad1"></ref> и для систем уравнений с радиальными операторами{{sfn|Агранович|с=5|1959}}. 

Сферически симметричный потенциал определяется по заданной для всех значений волнового вектора <math>k</math> одной из фаз <math>\eta_{l}(k)</math> S-матрицы <math>S(k)=e^{-2 i \eta (k)}</math>. Если соответствующий радиальный оператор Шредингера <math>H^{l}</math> имеет дискретный спектр, то потенциал определяется по фазе <math>\eta_{l}(k)</math> неоднозначно{{sfn|Крейн|с=453-454|1972}} 

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}}
* ''С. Сунакава'' Квантовая теория рассеяния. - М., Мир, 1979. - 265 c.
* ''Базь А. И., [[Зельдович, Яков Борисович|Зельдович Я. Б.]], Переломов А. М.'' Рассеяние, реакции и распады в нерелявиcтской квантовой механике. - М., Наука, 1966.
* ''Ву Т. Ю., Омура Т.'' Квантовая теория рассеяния. - М., Наука, 1969.
* ''Гольдбергер М., Ватсон К.'' Теория столкновений. - М., Мир, 1967.
* ''[[Мотт, Невилл Франсис|Мотт Н.]], Месси Г.'' Теория атомных столкновений. - М., Мир, 1969.
* ''Ньютон Р.'' Теория рассеяния волн и частиц. - М., Мир, 1969.
* ''[[Мигдал, Аркадий Бейнусович|Мигдал А. Б.]], Крайнов В. П.'' Приближенные методы квантовой механики. - М., Наука, 1966.
* ''Жигунов, В. П., Захарьев, Б. Н.'' Методы сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. - М., Атомиздат, 1974. - 223 с.
* ''Де Альфаро, В., [[Редже, Туллио|Редже, Т.]]'' Потенциальное рассеяние. - М., Мир, 1966. - 274 с.
* {{книга | автор  = [[Крейн, Селим Григорьевич|Крейн Г. Г.]] | заглавие  = Функциональный анализ | место = М. | издательство  = Наука | год  = 1972 | страниц    = 544 | isbn = | ref  = Крейн}}
* {{книга | автор  = [[Агранович, Михаил Семёнович|Агранович М. С.]], [[Марченко, Владимир Александрович|Марченко В. А.]] 
 | заглавие  = Обратная задача квантовой теории рассеяния | место = М. | издательство  = Физматгиз | год  = 1959 | страниц    = 267 | isbn = | ref  = Агранович}}

[[Категория:Квантовая теория рассеяния]]