Квантовая теория рассеяния

Шаблон:Физическая теория Квантовая теория рассеяния — раздел квантовой механики, описывающий рассеяние частиц на изолированном рассеивающем центре. В простейшем случае, этот центр характеризуется потенциалом. Обычно предполагается, что потенциал стремится к нулю по мере удаления от рассеивающего центра.

Постановка задачи

Постановка задачи о квантовом рассеянии

В учебнике Ландау и Лифшица по квантовой механике задача о рассеянии ставится следующим образом.

На силовой центр падает пучок частиц с волновым вектором ${\overrightarrow{k}}_0$ и плотностью $N$. Измеряется число частиц $dN$, которые попадают в детектор в единицу времени:

$dN=q(\theta ,\varphi )Nd\mathrm{\Omega }$,

где $\theta$ и $\varphi$ сферические углы детектора в системе координат, начало которой помещено в рассеивающий центр (ось $z$ направлена вдоль вектора ${\overrightarrow{k}}_0$, а $d\mathrm{\Omega }$ — телесный угол, под которым детектор виден из начала координат. Для решения этой задачи рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера:

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m_0}\mathrm{\Delta }+V(r))\psi (\overrightarrow{r})=E\psi (\overrightarrow{r})$.

Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси $z$, описывается плоской волной: $\psi (\overrightarrow{r})=\exp (i{\overrightarrow{k}}_0\cdot \overrightarrow{r})$. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида $A(\theta ,\varphi )\frac{exp(i{k}_{0}r)}{r}$, следовательно, будем искать решение уравнения Шрёдингера со следующей асимптотикой на бесконечности:

$\psi (\overrightarrow{r})\approx \exp (i{\overrightarrow{k}}_0\cdot \overrightarrow{r})+A(\theta ,\varphi )\frac{\exp (i{k}_{0}r)}{r}$.

В результате решения этого уравнения мы получим амплитуду рассеяния $A(\theta ,\varphi )$ и, следовательно, эффективное сечение рассеяния $d\sigma =|A(\theta ,\varphi ){|}^{2}d\mathrm{\Omega }$. При решении задач рассеяния в квантовой механике широко применяется метод фазовых функций.

Классическое и квантовое рассеяние

Вышеприведенная постановка задачи существенно отличается от классической теории рассеяния, где начальное условие характеризуется прицельным параметром. В квантовой механике понятие траектории теряет смысл, поэтому говорить о прицельном параметре некорректно.

Возможна формулировка задачи о рассеянии, которая допускает единую интерпретацию как в классической, так и в квантовой механике

Обратная задача квантовой теории рассеяния

Обратная задача квантовой теории рассеяния — определение вида рассеивающего потенциала по известным характеристикам рассеяния в квантовой механике. Имеет большое практическое значение в экспериментальной физике элементарных частиц для интерпретации экспериментальных данных по рассеянию и определения различных характеристик элементарных частиц, не измеряемых непосредственно на опыте

Обратная задача квантовой теории рассеяния решена исчерпывающим образом для случев сферически симметричного потенциала $V(\overrightarrow{x})=v(r)$, удовлетворяющего условию $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r|v(r)|dr<\mathrm{\infty }$, Шаблон:Sfn а также для одномерного уравнения Шредингера и для систем уравнений с радиальными операторамиШаблон:Sfn.

Сферически симметричный потенциал определяется по заданной для всех значений волнового вектора $k$ одной из фаз ${\eta }_l(k)$ S-матрицы $S(k)=e^{-2i\eta (k)}$. Если соответствующий радиальный оператор Шредингера $H^l$ имеет дискретный спектр, то потенциал определяется по фазе ${\eta }_l(k)$ неоднозначноШаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика
• С. Сунакава Квантовая теория рассеяния. - М., Мир, 1979. - 265 c.
• Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелявиcтской квантовой механике. - М., Наука, 1966.
• Ву Т. Ю., Омура Т. Квантовая теория рассеяния. - М., Наука, 1969.
• Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. - М., Мир, 1967.
• Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. - М., Мир, 1969.
• Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. - М., Мир, 1969.
• Мигдал А. Б., Крайнов В. П. Приближенные методы квантовой механики. - М., Наука, 1966.
• Жигунов, В. П., Захарьев, Б. Н. Методы сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. - М., Атомиздат, 1974. - 223 с.
• Де Альфаро, В., Редже, Т. Потенциальное рассеяние. - М., Мир, 1966. - 274 с.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга