Метод фазовых функций

Метод фазовых функций — метод решения задач квантовой механики. Основан на понятии фазовой функции, имеющей ясный физический смысл. При рассмотрении движения элементарной частицы в потенциальном поле, если за начало системы отсчёта $R = 0$ принять центр рассеивающего потенциала, то фазовая функция в точке $r$ равна фазе рассеяния на части потенциала, содержащейся в шаре радиуса $r$ .

Фазовая и амплитудная функции

Рассмотрим рассеяние частицы без спина на сферически-симметричном потенциале $V (r)$ . Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции $u_{l} (r)$ имеет вид:

$\frac{d^{2}}{d r^{2}} u_{l} (r) + [k^{2} - \frac{l (l + 1)}{r^{2}} - V (r)] u_{l} (r) = 0$ (1).

Здесь $k^{2}$ — значение энергии частицы, $l$ — значение орбитального момента частицы.

Решение этого уравнения имеет вид:

$u_{l} (r) \approx C [j_{l} (k r) - \tan δ_{l} n_{l} (k r)]$

или

$u_{l} (r) \to C s i n (k r - \frac{l π}{2} + δ_{l}), r \to \infty$ .

Здесь $j_{l} (k r)$ и $n_{l} (k r)$ — функции Риккати-Бесселя.

Введём в рассмотрение фазовую функцию $δ_{l} (r)$ и амплитудную функцию $A_{l} (r)$ , исходя из двух условий:

$u_{l} (r) = A_{l} (r) [\cos δ_{l} (r) j_{l} (k r) - \sin δ_{l} (r) n_{l} (k r)]$ (2)

и

$\frac{d}{d r} u_{l} (r) = A_{l} (r) [\cos δ_{l} (r) \frac{d}{d r} j_{l} (k r) - \sin δ_{l} (r) \frac{d}{d r} n_{l} (k r)]$ (3).

Второе условие равносильно

$\frac{d A_{l}}{d r} [\cos δ_{l} j_{l} - \sin δ_{l} n_{l}] - \frac{d δ_{l}}{d r} A_{l} [\sin δ_{l} j_{l} + \cos δ_{l} n_{l}] = 0$ .

Продифференцировав уравнение $(3)$ , подставим выражение для второй производной $u_{l}$ вместе с уравнением $(2)$ в уравнение Шредингера $(1)$ . Получим уравнение для фазовой функции $δ_{l} (r)$ :

$\frac{d}{d r} δ_{l} (r) = - \frac{1}{k} V (r) [\cos δ_{l} (r) j_{l} (k r) - \sin δ_{l} (r) n_{l} (k r)]^{2}$ (4)

и начальное условие:

$δ_{l} (0) = 0$ (4).

Аналогичным образом можно получить уравнение для амплитудной функции:

$\frac{d}{d r} A_{l} (r) = - \frac{1}{k} A_{l} (r) V (r) [\cos δ_{l} (r) j_{l} (k r) - \sin δ_{l} (r) n_{l} (k r)] [\sin δ_{l} (r) j_{l} (k r) + \cos δ_{l} (r) n_{l} (k r)]$ (5).

Фазовое уравнение $(4)$ отражает связь фазы рассеяния с потенциалом. Оно является уравнением Риккати первого порядка и удобно для применения численных методов вычислений. На основе метода фазовых функций также можно вычислять амплитуды рассеяния, элементы S-матрицы, параметры рассеяния, энергии связанных состояний, функции Грина, коэффициенты прохождения через потенциальный барьер.

Литература

Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — Шаблон:М.: Наука, 1976. — С. 287.
Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1967.
Герштейн С. С., Пономарёв Л. И. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1971.
Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. — Шаблон:М.: Мир, 1972. — С. 292.

Метод фазовых функций

Фазовая и амплитудная функции

Литература

Навигация

Поиск