Просмотр кода страницы Кинетическая энергия

{{Энергия}}
'''Кинети́ческая эне́ргия''' — скалярная физическая величина, являющаяся мерой движения [[материальная точка|материальных точек]], образующих рассматриваемую [[механическая система|механическую систему]], и зависящая только от [[масса|масс]] и [[модуль вектора|модулей]] [[скорость|скоростей]] этих точек{{sfn|Айзерман|с=49|1980}}. [[Механическая работа|Работа]] всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии<ref name=":0" />. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как
: <math>E_\mathrm{kin} = \sum{{m_i v_i^2} \over 2},</math>

где индекс <math>\ i</math> нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию [[поступательное движение|поступательного]] и [[вращательное движение|вращательного]] движения<ref name="ФЭ">{{Книга:Физическая энциклопедия|2|автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]]|статья=Кинетическая энергия|ссылка= http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1614.html|страницы=360}}</ref>. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её [[Энергия покоя|энергией покоя]]; таким образом, кинетическая энергия — часть [[Полная энергия|полной энергии]], обусловленная [[Механическое движение|движением]]<ref>{{книга|автор=Батыгин В. В., Топтыгин И. Н.|часть=3.2. Кинематика релятивистских частиц|заглавие=Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория|ссылка=|место=Москва, Ижевск|издательство=Институт компьютерных исследований|год=2002|страницы=238|страниц=736|isbn=5-93972-164-8|тираж=1000}}</ref>. Когда [[физическое тело|тело]] не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: <math> T </math>, <math> E_\mathrm{kin} </math>, <math> K </math> и другие. В системе [[СИ]] она измеряется в [[Джоуль|джоулях]] (Дж), в [[СГС]] — в [[эрг]]ах.

Упрощённо, кинетическая энергия — это работа, которую необходимо совершить, чтобы тело массой <math>m</math> разогнать из состояния покоя до скорости <math>v</math>. Либо, наоборот, это работа, которую может совершить, останавливаясь, тело массой <math>m</math>, обладающее начальной скоростью <math>v</math>.

== История и этимология понятия ==
Прилагательное «кинетический» происходит от греческого слова κίνησις (kinesis, «движение»). [[Дихотомия]] между кинетической энергией и [[Потенциальная энергия|потенциальной энергией]] восходит к [[Аристотель|аристотелевским]] концепциям {{iw|Потенциальность и актуальность|потенциальности и актуальности||Potentiality and actuality}}<ref>{{cite book |title=Logic in Reality |edition=illustrated |first1=Joseph |last1=Brenner |publisher=Springer Science & Business Media |year=2008 |isbn=978-1-4020-8375-4 |page=93 |url=https://books.google.com/books?id=Jnj5E6C9UwsC |access-date=2016-02-01 |archive-date=2020-01-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200125133150/https://books.google.com/books?id=Jnj5E6C9UwsC |url-status=live }} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=Jnj5E6C9UwsC |date=20200125133150 }} [https://books.google.com/books?id=Jnj5E6C9UwsC&pg=PA93 Extract of page 93] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200804010734/https://books.google.com/books?id=Jnj5E6C9UwsC&pg=PA93 |date=2020-08-04 }}</ref> .

[[Лейбниц]] в своих трактатах 1686 и 1695 годов ввёл понятие «[[Живая сила (физика)|живой силы]]» ({{lang-la|vis viva}}), которую он определил как произведение массы объекта и квадрата его скорости (в современной терминологии — кинетическая энергия, только удвоенная)<ref>{{книга|автор=[[Мах, Эрнст|Мах Э.]]&nbsp;|заглавие=Механика. Историко-критический очерк её развития|год=2000|место=Ижевск|издательство=«РХД»|страницы=253|страниц=456|isbn=5-89806-023-5}}</ref>. 

[[Гравезанд, Вильгельм Якоб|Вильгельм Гравезанд]] из [[Нидерланды|Нидерландов]] предоставил экспериментальные доказательства важности величины {{math|''mv''<sup>2</sup>}}. Cбрасывая грузы с разной высоты на глиняный блок, он определил, что глубина их проникновения пропорциональна квадрату скорости удара. [[Эмили дю Шатле]] осознала значение данного эксперимента и опубликовала объяснение в книге «Учебник физики» ({{lang-fr|Institutions de Physique}}, 1740)<ref>{{Книга|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/170956072|автор=Judith P. Zinsser|заглавие=Emilie Du Châtelet : daring genius of the Enlightenment|год=2007|место=New York|издательство=Penguin Books|страниц=viii, 376 pages, 16 unnumbered pages of plates|isbn=0-14-311268-6, 978-0-14-311268-6}}</ref>.

[[Бернулли, Иоганн|Иоганн Бернулли]] использовал понятие "живой силы" для расчётов (в частности, движения идеальной жидкости). В 1741 году у него впервые появилось выражение {{math|''mv''<sup>2</sup>/2}}<ref>{{статья|автор=Bernoulli D.|заглавие=De legibus quibusdam mechanicis…|ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/jet.htm|издание=Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae|год=1741 (1736)|том=8|страницы=99—127|archivedate=2014-01-02|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140102200440/http://gidropraktikum.narod.ru/jet.htm}}</ref>.

[[Юнг, Томас|Томас Юнг]] в лекциях, опубликованных в 1807 году<ref>Thomas Young (1807). ''A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts'', p. 52.</ref>, предложил вместо термина «живая сила» использовать слово «энергия», хотя первое время после Юнга многие учёные продолжали пользоваться термином "живая сила". 

В 1829 году [[Кориолис, Гаспар-Гюстав|Гаспар-Гюстав Кориолис]] опубликовал статью ''Du Calcul de l’Effet des Machines'', в которой излагалась математика того, что по сути является связью между работой и кинетической энергией. Исходя из той связи, что существует между механической работой и величиной <math>\frac{1}{2} mv^2</math>, Кориолис предложил называть живой силой именно эту величину<ref>{{книга |автор=Coriolis |заглавие=Du calcul de l'effet des machines |ответственный= |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1068268/f27.image |место=Paris |издательство= |год=1829 |том= |allpages= |pages=17 |isbn= |ref= |archivedate=2019-08-07 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20190807092425/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1068268/f27.image }}</ref>. Комментируя такой подход, Кориолис писал<ref>Цит. по: {{книга |автор=Roche J. J. |заглавие= The Mathematics of Measurement: A Critical History |ответственный= |ссылка= https://books.google.ru/books?id=eiQOqS-Q6EkC&pg=PA159&dq=Coriolis+kinetic+energy&hl=ru&sa=X&ei=SEuxUuPoEKmI4gS8hYGoBQ&ved=0CF4Q6AEwBg#v=onepage&q=Coriolis%20kinetic%20energy&f=false |место= |издательство=Springer |год=1998 |том= | allpages =330 |pages=159|isbn=978-0-387-91581-4 |ref= }}</ref>: «Если ранее наименование живая сила давалось произведению массы на квадрат скорости, то это было потому, что не уделялось внимания <u>работе</u>»<ref>Подчёркнуто Кориолисом.</ref>.

Создание и введение в оборот самого термина «кинетическая энергия» приписывают [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|Уильяму Томсону]] (лорду Кельвину) c 1849—1851 гг.<ref>{{Книга|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/18413875|автор=Crosbie Smith|заглавие=Energy and empire : a biographical study of Lord Kelvin|год=1989|место=Cambridge [Cambridgeshire]|издательство=Cambridge University Press|страниц=xxvi, 866 pages|isbn=0-521-26173-2, 978-0-521-26173-9|archivedate=2022-01-25|archiveurl=https://web.archive.org/web/20220125223034/https://www.worldcat.org/oclc/18413875}}</ref><ref>{{Книга|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/31731572|автор=John Theodore Merz|заглавие=A history of European thought in the nineteenth century|год=1976|место=Gloucester, Mass.|издательство=Peter Smith|страниц=4 volumes|isbn=0-8446-2579-5, 978-0-8446-2579-9}}</ref>. [[Ренкин, Уильям Джон|Ренкин]], который ввёл термин «потенциальная энергия» в 1853 году<ref>{{Статья|ссылка=http://dx.doi.org/10.1080/14786445308647205|автор=William John Macquorn Rankine|заглавие=XVIII. On the general law of the transformation of energy|год=1853-02|издание=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|том=5|выпуск=30|страницы=106–117|issn=1941-5982, 1941-5990|doi=10.1080/14786445308647205}}</ref>, позже цитировал У. Томсона и [[Тэйт, Питер Гатри|П. Тэйта]] с заменой слова «кинетическая» на «фактическая»<ref>{{Статья|ссылка=http://dx.doi.org/10.1080/14786446708639753|автор=W.J. Macquorn Rankine|заглавие=XIII. On the phrase “Potential energy,” and on the definitions of physical quantities|год=1867-02|издание=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|том=33|выпуск=221|страницы=88–92|issn=1941-5982, 1941-5990|doi=10.1080/14786446708639753}}</ref>.

== Кинетическая энергия в классической механике ==

=== Случай одной материальной точки ===
По определению, кинетической энергией материальной точки массой <math>m</math> называется величина
: <math>T = {{m v^2} \over 2}</math>,
при этом предполагается, что скорость точки <math>v</math> всегда значительно меньше [[скорость света|скорости света]]. С использованием понятия [[импульс]]а (<math> \vec{p} = m\vec{v}</math>) данное выражение примет вид <math>\ T = p^2/2m</math>.

Если <math>\vec{F}</math> — равнодействующая всех [[сила|сил]], приложенных к точке, выражение [[второй закон Ньютона|второго закона Ньютона]] запишется как <math> \vec F = m \vec a</math>. [[скалярное умножение|Скалярно умножив]] его на [[перемещение]] материальной точки <math>{\rm d} \vec s = \vec v {\rm d}t</math> и учитывая, что <math> \vec a = {\rm d}\vec{v}/{\rm d}t </math>, причём <math> {\rm d}(v^2)/{\rm d}t = {\rm d}(\vec{v}\cdot\vec{v})/{\rm d}t = 2\vec{v}\cdot{\rm d}\vec{v}/{\rm d}t </math>, получим <math>\ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} (m v^2/2) = {\rm d} T</math>.

Если [[Замкнутая система (механика)|система замкнута]] (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина <math>\ T</math> остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является [[интеграл движения|интегралом движения]].

=== Случай абсолютно твёрдого тела ===
При рассмотрении движения [[абсолютно твёрдое тело|абсолютно твёрдого тела]] его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя [[Теорема Кёнига (механика)|формулу Кёнига]], в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и [[кинетическая энергия вращательного движения|вращательного движения]]:
: <math>T = \frac{M v^2}{2}+\frac{I \omega^2}{2}.</math>
Здесь <math>\ M </math> — масса тела, <math>\ v </math> — скорость [[центр масс|центра масс]], <math> \vec \omega </math> и <math>I </math> — [[угловая скорость]] тела и его [[момент инерции]] относительно [[Мгновенный центр скоростей#Более общий случай сферического движения|мгновенной оси]], проходящей через центр масс<ref name="ВращПост">{{Книга|автор= Голубева О. В.|заглавие= Теоретическая механика|издательство= М.: «Высшая школа»|год= 1968|ссылка= http://lib.sernam.ru/book_g_tm.php?id=70|страницы= 243—245|archivedate= 2017-08-23|archiveurl= https://web.archive.org/web/20170823171027/http://lib.sernam.ru/book_g_tm.php?id=70}}</ref>.

== Кинетическая энергия в гидродинамике ==
В [[Гидродинамика|гидродинамике]] вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть [[плотность]] жидкости или газа <math> \rho = {\rm d}M/{\rm d}V</math>. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью <math>\vec{v}</math>, то есть [[Плотность энергии|плотность]] кинетической энергии <math>  w_T = {\rm d}T/{\rm d}V</math> (Дж/м<sup>3</sup>), запишется:
: <math> w_T =  \rho \frac{v_{\alpha} v_{\alpha}}{2},</math>
где по повторяющемуся индексу <math>{\alpha} = x, y, z</math>, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в [[Турбулентность|турбулентном]] потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с [[RANS|методом О. Рейнольдса]], получаются путём осреднения [[Уравнения Навье-Стокса|уравнений Навье-Стокса]]<ref name="Monin">''[[Монин, Андрей Сергеевич|Монин А. С.]], [[Яглом, Акива Моисеевич|Яглом А. М.]]'' Статистическая гидромеханика. Часть 1. — {{М.}}: Наука, 1965. — 639 с.</ref>. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить <math>\ \rho = \overline {\rho} + \rho' </math>, <math>v_{\alpha} = \overline {v_{\alpha}} + v'_{\alpha} </math>, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:
: <math> \overline{w_T} = \frac{1}{2}  \overline{\rho v_{\alpha} v_{\alpha}} = E_s + E_{st} + E_t, </math>
где <math>E_s= \overline{\rho} \, \overline{v_{\alpha}} \, \overline{ v_{\alpha}}/2 </math> — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, <math>E_t=   \overline{\rho}\,\overline{v'_{\alpha} \, v'_{\alpha}}/2 + \overline{\rho' v'_{\alpha}  v'_{\alpha}}/2</math> — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («''плотность кинетической энергии турбулентности''»<ref name="Monin"/>, часто называемой просто «''энергией турбулентности''»), а <math>E_{st}=   S_{\alpha}\overline{v_{\alpha}} </math> — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества (<math>S_{\alpha} = \overline{\rho'  v'_{\alpha}} </math> — плотность флуктуационного потока массы, или «''плотность турбулентного импульса''»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при [[Преобразования Галилея|преобразовании Галилея]]: кинетическая энергия упорядоченного движения <math>E_s</math> зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности <math>E_t</math> от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие [[Внутренняя энергия|внутренней энергии]].

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри [[циклон]]ы и [[антициклон]]ы, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в [[Метеорология|метеорологии]] как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения [[общая циркуляция атмосферы|общей циркуляции атмосферы]] и теории [[климат]]а это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

== Кинетическая энергия в [[Квантовая механика|квантовой механике]] ==
В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой [[оператор (физика)|оператор]], записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (<math>\hat{p}= -j\hbar\nabla </math>, <math> \ j </math> — [[мнимая единица]]):
: <math>\hat{T}= \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta</math>
где <math>\hbar</math> — [[постоянная Дирака|редуцированная постоянная Планка]], <math>\nabla </math> — оператор [[набла]], <math>\Delta</math> — [[оператор Лапласа]]. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — [[уравнение Шрёдингера]]<ref>''[[Блохинцев, Дмитрий Иванович|Блохинцев Д. И.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Blohincev1976ru.djvu Основы квантовой механики] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Blohincev1976ru.djvu |date=20220215074245 }}, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.</ref>.

== Кинетическая энергия в [[Специальная теория относительности|релятивистской механике]] ==
[[Файл:E Kin-ru.svg|thumb|350px|Зависимости кинетической энергии от скорости в классическом и релятивистском случаях для массы в 1 кг]]
Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к [[скорость света|скорости света]], кинетическая энергия материальной точки определяется как:

: <math>T = \frac{m c^2}{\sqrt{1- v^2/c^2 }}-m c^2,</math>

: где <math>\ m</math> — [[масса]] материальной точки,
: <math>\ v</math> — [[скорость]] движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,
: <math>\ c</math> — [[скорость света]] в вакууме (<math>m c^2</math> — [[энергия покоя]]).

Кинетическая энергия в этой формуле может быть разложена в [[Ряд Тейлора|ряд Маклорена]] по степеням <math>v/c</math>:

: <math>T = mc^2\left(\frac{1}{2} (v/c)^2 + \frac{3}{8}(v/c)^4 + \cdots\right).</math>

При скоростях много меньших скорости света (<math>v \ll c</math>) пренебрегаем членами разложения с высшими степенями и выражение для <math>\ T</math> переходит в классическую формулу <math>\ T \approx  1/2\cdot mv^2</math>.

Как и в классическом случае, имеет место соотношение <math>\ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} T</math>, получаемое посредством умножения на <math>{\rm d} \vec s = \vec v {\rm d}t</math> выражения второго закона Ньютона (в виде <math>\ \vec F = m\cdot {\rm d}(\vec v /\sqrt{1-v^2/c^2})/{\rm d}t</math>).

Релятивистское соотношение между кинетической энергией и импульсом {{math|''p''}} записывается в виде

: <math>T = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2 = mc^2\left(\sqrt{\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1} -1\right).</math>

Разложив это выражение по степеням <math>p^2/(m^2 c^2),</math> получаем

: <math>T = mc^2\left(\frac{p^2}{2m^2 c^2} - \frac{p^4}{8m^4 c^4} + \frac{3p^6}{48m^6 c^6} - \cdots\right) = \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3 c^2} + \frac{3p^6}{48m^5 c^4} - \cdots,</math>

первый член которого равен нерелятивистскому выражению кинетической энергии через импульс, а последующие члены — релятивистские поправки к этому выражению, которые малы при <math>p \ll mc.</math>

== Свойства кинетической энергии ==
* '''Аддитивность.''' Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему{{sfn|Айзерман|с=49|1980}}.
* '''Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта.''' Кинетическая энергия не зависит от положения точки и направления её скорости, а зависит лишь от модуля скорости или от квадрата её скорости{{sfn|Айзерман|с=49|1980}}.
* '''Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае.''' Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
* '''Сохранение.''' Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея{{sfn|Айзерман|с=49|1980}}. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии{{sfn|Айзерман|с=54|1980}}<ref>Сорокин В. С. [http://ufn.ru/ru/articles/1956/6/c/ «Закон сохранения движения и мера движения в физике»] {{Wayback|url=http://ufn.ru/ru/articles/1956/6/c/ |date=20150101115259 }} // [[УФН]], 59, с. 325—362, (1956)</ref>.

== Физический смысл кинетической энергии ==
[[Механическая работа|Работа]] всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии<ref name=":0">{{Сивухин|1|1979|часть=§ 22. Работа и кинетическая энергия.|страницы=131}}</ref>:
: <math>\ A_{12} = T_2 - T_1.</math>
Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения <math>\ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} T</math> между состояниями 1 и 2).

== Соотношение кинетической и внутренней энергии ==
Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как [[внутренняя энергия]]. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из [[атом]]ов и [[Молекула|молекул]], и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие [[Тепловое движение|теплового движения]] этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — [[постоянная Больцмана]].

== См. также ==
* [[Теорема о кинетической энергии системы]]
* [[Потенциальная энергия]]
* [[Закон сохранения энергии]]
* [[Хаос]]
* [[Энтальпия]]
* [[Негэнтропия]]
* [[Термодинамика]]
* [[Парадокс кинетической энергии]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 | автор = [[Айзерман, Марк Аронович|Айзерман М. А.]]
 | заглавие = Классическая механика
 | место = М.
 | издательство  = Наука
 | год = 1980
 | страниц = 368
 | isbn = 
 | ref = Айзерман
 }}
* ''[[Фриш, Сергей Эдуардович|Фриш С. Э.]]'' Курс общей физики. В 3-х тт. Т.1. Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны. 13-е изд. — СПб<abbr>.</abbr>: Лань, 2010. — 480 с. — [[Служебная:Источники книг/978-5-8114-0663-0|ISBN 978-5-8114-0663-0]].
* ''[[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Сивухин Д. В.]]'' Общий курс физики. Т. 1. Механика. 5-е изд. — <abbr>М.</abbr>: [[Физматлит]], 2006. — 560 с. — ISBN 5-9221-0715-1.

{{rq|topic=physics|sources|refless}}
{{ВС}}

[[Категория:Динамика]]
[[Категория:Энергия]]