Просмотр кода страницы Координатное представление (квантовая механика)

'''Координа́тное представле́ние''' — такое [[Теория представлений|представление]] [[Оператор (физика)|операторов]] [[Квантовая механика|квантовой механики]], в котором операторы и [[волновая функция]] <math>\psi</math> зависят от пространственных координат. В этом представлении [[оператор координаты]] диагонален. В наиболее общем трехмерном случае квадрат модуля волновой функции <math>|\psi(\vec{r})|^2</math> в координатном представлении определяет [[плотность вероятности]] обнаружить частицу в конкретной точке пространства <math>\vec{r}</math>, а сама функция имеет размерность м<sup>-3/2</sup> (в одномерном случае м<sup>-1/2</sup>).

== Уравнение Шрёдингера ==
В данном представлении [[уравнение Шрёдингера]] имеет вид:
: <math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec{r})\right)\psi=i{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>
- зависящее от времени, и
: <math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec{r})\right)\psi=E\psi</math>
- не зависящее от времени. 

Здесь <math>\vec{r}</math> —  [[радиус-вектор]] точки, где берётся волновая функция <math>\psi(\vec{r},t)</math>, <math>E</math> — [[полная энергия]] рассматриваемой частицы, <math>U</math> — [[потенциальная энергия]] этой частицы, <math>m</math> — [[масса]] частицы, <math>\nabla</math> — дифференциальный [[оператор набла]], <math>\hbar</math> — редуцированная [[постоянная Планка]], <math>t</math> — время, <math>i</math> — [[мнимая единица]].

== Некоторые операторы в координатном представлении ==
: <math>\vec{r}</math> — [[Оператор координаты|координата]];

: <math>-i{\hbar}\nabla</math> — [[Оператор импульса|импульс]];

: <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec{r})</math> — [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониан]].

== Связь с другими представлениями ==
Чтобы перейти в [[импульсное представление]] (<math>p</math> — импульс), нужно осуществить один из двух вариантов действий:

1) решить задачу в координатном представлении и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения
: <math>\psi(p)=\frac{1}{\sqrt {2 \pi {\hbar}}} \int \psi(x)e^{-ipx/\hbar}dx</math>,
при этом переход обратно к координатному представлению можно записать как  
: <math>\psi(x)=\frac{1}{\sqrt {2 \pi {\hbar}}} \int \psi(p)e^{ipx/\hbar}dp</math>.
Видно, что это [[преобразование Фурье|прямое и обратное преобразования Фурье]]. В трехмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на <math>\frac {1}{\sqrt {(2 \pi  \hbar)^3}}</math>.

2) Сменить гамильтониан на <math>\hat H=\frac{p^2}{2m}+U\left(i{\hbar}\frac{\partial}{\partial p}\right)</math> и решать задачу с ним.

== Литература ==
* Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. М.:Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2014.

[[Категория:Квантовая механика]]