Просмотр кода страницы Кривая Персея

[[Файл:Torus-spir.svg|мини|Кривые Персея как сечения тора плоскостью]]
[[Файл:Spiric_section.svg|мини|Три кривых Персея:<br> <math>a=1, b=2, c=0</math><br> <math>a=1, b=2, c=0{,}8</math><br> <math>a=1, b=2, c=1</math>]]
'''Кривая Персея''' (''спирическое сечение'', ''спирическая линия'', от {{lang-grc|σπειρα}} — ''тор''{{Sfn|Стиллвелл|2004|с=42|quote=Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям}}) — [[сечение (геометрия)|сечение]] [[Тор (геометрическая фигура)|тора]] плоскостью, параллельной [[Ось вращения|оси вращения]] тора; [[плоская кривая|плоская]] [[алгебраическая кривая]] 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов{{Sfn|Стиллвелл|2004|с=43}}.

Впервые этот подкласс [[торическое сечение|торических сечений]] изучен древнегреческим геометром [[Персей (математик)|Персеем]] около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований [[Конические сечения|конических сечений]] [[Менехм]]ом{{Sfn|Мактьютор|1997}}. Переоткрыты в XVII веке{{Sfn|Стиллвелл|2004|с=43}}; [[лемниската Бута]] («выпуклый овал») и [[овал Кассини]] («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в [[Декартова система координат|декартовой системе координат]]:
: <math> (r^2 - a^2 + c^2 + x^2 + y^2)^2 = 4r^2 (x^2 + c^2)</math>,
в ней <math>a</math> — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом <math>r</math> образован тор. При <math>c = 0</math> кривая состоит из двух [[Окружность|окружностей]] радиуса <math>a</math> с центрами <math>(\pm r,0)</math>; при <math>c = r + a</math> кривая вырождается в точку — [[начало координат]], если же <math>c > r + a</math> — то кривая состоит из [[Пустое множество|пустого множества]] точек{{Sfn|Мактьютор|1997}}.

Если ввести новые параметры: <math>d=2(a^2+b^2-c^2)</math>, <math>e=2(a^2-b^2-c^2)</math> и <math>f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)</math>, то возникает другая форма уравнения<ref name = Ут.>Если система уравнений для <math>d</math>, <math>e</math>, <math>f</math> не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.</ref>:
: <math>(x^2 + y^2)^2 = dx^2 + ey^2 + f</math>.

Также можно определить кривую Персея как [[Бициркулярная кривая|бициркулярную кривую]]<ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Бициркулярная кривая}}</ref>, симметричную относительно осей <math>x</math> и <math>y</math>.

Уравнение в [[Полярные координаты|полярных координатах]]:
: <math>(r^2-a^2+b^2+c^2)^2 = 4b^2(r^2\cos^2\theta+c^2)</math>,
или<ref name = Ут. />:
: <math>r^4 = r^2(d \cos^2\theta+e \sin^2\theta) + f</math>.
Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Стиллвелл Д. |заглавие = Математика и её история | место = Ижевск |издательство = Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530 | страницы = 42—43 | ref = Стиллвелл}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|title=Spiric Section|urlname=SpiricSection}}
* {{cite web | url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Spiric.html | title = Spiric Sections | date = 1997-01-01 | work = MacTutor History | ref = Мактьютор1997 | access-date = 2018-05-18 | archive-date = 2019-10-26 | archive-url = https://web.archive.org/web/20191026010337/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Spiric.html | deadlink = yes }}
* {{MacTutor Biography|id=Perseus|title=Perseus}}

{{Кривые}}

[[Категория:Алгебраические кривые]]
[[Категория:Торические сечения]]