Просмотр кода страницы Критерий Дарбина — Уотсона

'''Критерий Дарбина—Уотсона''' (или '''DW-критерий''') — [[статистический критерий]], используемый для тестирования [[автокорреляция|автокорреляции]] первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе [[временной ряд|временных рядов]] и остатков [[регрессионная модель|регрессионных моделей]].

== Статистика Дарбина—Уотсона ==
Критерий назван в честь {{нп4|Дарбин, Джеймс|Джеймса Дарбина||James Durbin}} и {{нп4|Уотсон, Джеффри|Джеффри Уотсона||Geoffrey Watson}}. Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле<ref name = "Суслов">{{книга
|автор = Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А. А.
|заглавие     = Эконометрия
|место        = Новосибирск
|издательство = СО РАН
|год          = 2005
|страниц      = 744
|isbn         = 5-7692-0755-8
}}</ref><ref name = "eliseeva">{{книга
|ответственный = Под ред. Елисеевой И. И.
|заглавие      = Эконометрика. Учебник
|издание       = 2-е изд
|место         = М.
|издательство  = Финансы и статистика
|год           = 2006
|страниц       = 576
|isbn          = 5-279-02786-3
}}.</ref>:
: <math>\begin{align}
& DW=\frac{\sum\limits_{t=2}^T(e_t-e_{t-1})^2}{\sum\limits^T_{t=1}e_t^2} =  \frac{\sum\limits_{t=2}^T e_t^2 + \sum\limits_{t=2}^{T} e^2_{t-1} - 2\sum\limits_{t=2}^T e_t e_{t-1}}{\sum\limits_{t=1}^T e_t^2} = \\
& =  \frac{\sum\limits_{t=2}^T e_t^2 + \sum\limits_{t=1}^{T-1} e^2_{t} - 2\sum\limits_{t=2}^T e_t e_{t-1}}{\sum\limits_{t=1}^T e_t^2} =\frac{e_1^2 + e_T^2 + 2\sum\limits_{t=2}^{T-1} e_t^2  - 2\sum\limits_{t=2}^T e_t e_{t-1}}{\sum\limits_{t=1}^T e_t^2}  \approx \\
& \approx 2 - 2\frac{\sum\limits_{t=2}^T e_t e_{t-1}}{\sum\limits_{t=1}^T e_t^2} =2(1-\rho_1),\end{align}</math>
где <math>\rho_1</math> — коэффициент автокорреляции первого порядка.

Подразумевается, что в модели регрессии <math>\vec Y = \boldsymbol{X}\vec \beta + \vec\varepsilon</math> ошибки специфицированы как <math>\varepsilon_t = \rho\varepsilon_{t-1} + v_t</math>, где <math>v_t</math> распределено, как [[белый шум]]. <math>\mathbb{E}(\varepsilon_t) = 0</math>, <math>\mathop{\mathrm{Var}}(\varepsilon_t) = \frac{\sigma^2_v}{1-\rho^2}</math>, а <math>\mathop{\mathrm{Corr}}(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-1}) = \rho</math>, где <math>|\rho|<1</math>.

В случае отсутствия автокорреляции <math>DW=2</math>; при положительной автокорреляции <math>DW</math> стремится к нулю а при отрицательной — к 4:
: <math>\begin{cases}\rho_1=0\Rightarrow DW=2; \\
\rho_1=1\Rightarrow DW=0; \\
\rho_1=-1\Rightarrow DW=4.\end{cases}</math>
На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины <math>DW</math> с теоретическими значениями <math>d_L</math> и <math>d_U</math> для заданного числа наблюдений <math>n</math>, числа [[независимая переменная|независимых переменных]] модели <math>k</math> и [[уровень значимости|уровня значимости]] <math>\alpha</math>.
# Если <math>DW<d_L</math>, то [[гипотеза]] о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
# Если <math>DW>d_U</math>, то гипотеза не отвергается;
# Если <math>d_L<DW<d_U</math>, то нет достаточных оснований для принятия решений.
Когда расчётное значение <math>DW</math> превышает 2, то с <math>d_L</math> и <math>d_U</math> сравнивается не сам коэффициент <math>DW</math>, а выражение <math>(4-DW)</math><ref name = "eliseeva"/>.

Также с помощью данного критерия выявляют наличие [[коинтеграция|коинтеграции]] между двумя [[временной ряд|временными рядами]]. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью [[Метод Монте-Карло|метода Монте-Карло]] были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то [[Нулевая гипотеза|нулевую гипотезу]] об отсутствии коинтеграции отвергают<ref name = "eliseeva"/>.

== Недостатки ==
# Неприменим к моделям [[авторегрессия|авторегрессии]], а также к моделям с [[Авторегрессионная условная гетероскедастичность|гетероскедастичностью условной дисперсии]] и [[GARCH]]-моделям.
# Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
# Даёт [[достоверность|достоверные]] результаты только для больших [[выборка|выборок]]<ref name = "eliseeva"/>.
# Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная <math>DW</math>, была рассчитана Farebrother).
# Дисперсия коэффициентов будет расти, если <math>v</math> имеет распределение, отличающееся от [[Нормальное распределение|нормального]].

== h-критерий Дарбина ==
Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей [[авторегрессионная модель|авторегрессии]], так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется <math>h</math>-критерий Дарбина.

<math>h</math>-статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть <math>Y_{t-1}</math>. На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий <math>h</math> Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами<ref name = "eliseeva"/>:
: <math>h=\left(1-\frac{1}{2}DW\right)\sqrt{\frac{n}{1-n\cdot \mathop{\mathrm{Var}}(\hat\gamma)}},</math>
где
* <math>n</math> — число наблюдений в модели;
* <math>\mathop{\mathrm{Var}}(\hat\gamma)</math> — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной <math>Y_{t-1}</math>.

При увеличении объёма выборки распределение <math>h</math>-статистики стремится к [[нормальное распределение|нормальному]] с нулевым [[математическое ожидание|математическим ожиданием]] и [[Дисперсия случайной величины|дисперсией]], равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение <math>h</math>-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения<ref>{{книга
|автор        = Кремер Н. Ш., Путко Б. А.
|заглавие     = Эконометрика
|место        = М.
|издательство = Юнити-Дана
|год          = 2003—2004
|страниц      = 311
|isbn         = 8-86225-458-7
}}.</ref>.

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует [[квадратный корень]], следовательно, если дисперсия коэффициента при <math>Y_{t-1}</math> велика, то процедура невыполнима.

== Критерий Дарбина — Уотсона для панельных данных ==
Для [[панельные данные|панельных данных]] используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:
: <math>dw_p=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{t=2}^T(e_{i,\;t}-e_{i,\;t-1})^2}{\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{t=1}^T e_{i,\;t}^2}.</math>
В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов<ref name="Панель">{{статья
 |автор       = Ратникова Т. А.
 |заглавие = Введение в эконометрический анализ панельных данных
 |ссылка     = http://library.hse.ru/e-resources/HSE_economic_journal/articles/10_03_07.pdf
 |язык         = рус.
 |издание   = Экономический журнал ВШЭ
 |год           = 2006
 |номер       = 3
 |страницы = 492—519
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20150105003915/http://library.hse.ru/e-resources/HSE_economic_journal/articles/10_03_07.pdf
 |archivedate      = 2015-01-05
}}.</ref>.

== См. также ==
* [[Тест Бройша-Годфри|Тест Бройша—Годфри]]
* [[Q-тест Льюнга — Бокса]]
* [[Метод Кохрейна — Оркатта]]
* [[Метод рядов]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья
|автор        = Anatolyev S.
|заглавие     = Durbin–Watson statistic and random individual effects
|ссылка       = http://www.nes.ru/~sanatoly/Papers/DW.htm
|издание      = Econometric Theory (Problems and Solutions)
|год          = 2002-2003
}}

== Ссылки ==
[http://www.stanford.edu/~clint/bench/dwcrit.htm Значения критерия Дарбина — Уотсона]

[[Категория:Статистические критерии]]