Критерий Дарбина — Уотсона

Критерий Дарбина—Уотсона (или DW-критерий) — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей.

Статистика Дарбина—Уотсона

Критерий назван в честь Шаблон:Нп4 и Шаблон:Нп4. Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле:

$\begin{array}{cc}& DW=\frac{\sum _{t=2}^T(e_t-e_{t-1}{)}^2}{\sum _{t=1}^T{e}_t^2}=\frac{\sum _{t=2}^T{e}_t^2+\sum _{t=2}^T{e}_{t-1}^2-2\sum _{t=2}^T{e}_t{e}_{t-1}}{\sum _{t=1}^T{e}_t^2}=\\ & =\frac{\sum _{t=2}^T{e}_t^2+\sum _{t=1}^{T-1}{e}_t^2-2\sum _{t=2}^T{e}_t{e}_{t-1}}{\sum _{t=1}^T{e}_t^2}=\frac{e_1^2+e_T^2+2\sum _{t=2}^{T-1}{e}_t^2-2\sum _{t=2}^T{e}_t{e}_{t-1}}{\sum _{t=1}^T{e}_t^2}\approx \\ & \approx 2-2\frac{\sum _{t=2}^T{e}_t{e}_{t-1}}{\sum _{t=1}^T{e}_t^2}=2(1-{\rho }_1),\end{array}$

где ${\rho }_1$ — коэффициент автокорреляции первого порядка.

Подразумевается, что в модели регрессии $\overrightarrow{Y}=𝑿\overrightarrow{\beta }+\overrightarrow{\epsilon }$ ошибки специфицированы как ${\epsilon }_t=\rho {\epsilon }_{t-1}+v_t$, где $v_t$ распределено, как белый шум. $𝔼({\epsilon }_t)=0$, $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\epsilon }_t)=\frac{{\sigma }_v^2}{1-{\rho }^2}$, а $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}({\epsilon }_t,{\epsilon }_{t-1})=\rho$, где $|\rho |<1$.

В случае отсутствия автокорреляции $DW=2$; при положительной автокорреляции $DW$ стремится к нулю а при отрицательной — к 4:

$\{\begin{array}{c}{\rho }_1=0\Rightarrow DW=2;\\ {\rho }_1=1\Rightarrow DW=0;\\ {\rho }_1=-1\Rightarrow DW=4.\end{array}$

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины $DW$ с теоретическими значениями $d_L$ и $d_U$ для заданного числа наблюдений $n$, числа независимых переменных модели $k$ и уровня значимости $\alpha$.

1. Если $DW<d_L$, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
2. Если $DW>d_U$, то гипотеза не отвергается;
3. Если $d_L<DW<d_U$, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчётное значение $DW$ превышает 2, то с $d_L$ и $d_U$ сравнивается не сам коэффициент $DW$, а выражение $(4-DW)$.

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Недостатки

1. Неприменим к моделям авторегрессии, а также к моделям с гетероскедастичностью условной дисперсии и GARCH-моделям.
2. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
3. Даёт достоверные результаты только для больших выборок.
4. Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная $DW$, была рассчитана Farebrother).
5. Дисперсия коэффициентов будет расти, если $v$ имеет распределение, отличающееся от нормального.

h-критерий Дарбина

Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется $h$-критерий Дарбина.

$h$-статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть $Y_{t-1}$. На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий $h$ Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

$h=(1-\frac{1}{2}DW)\sqrt{\frac{n}{1-n\cdot \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(\hat{\gamma })}},$

где

• $n$ — число наблюдений в модели;
• $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(\hat{\gamma })$ — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной $Y_{t-1}$.

При увеличении объёма выборки распределение $h$-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение $h$-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень, следовательно, если дисперсия коэффициента при $Y_{t-1}$ велика, то процедура невыполнима.

Критерий Дарбина — Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:

$d{w}_p=\frac{\sum _{i=1}^N\sum _{t=2}^T(e_{i,t}-e_{i,t-1}{)}^2}{\sum _{i=1}^N\sum _{t=1}^T{e}_{i,t}^2}.$

В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов.

См. также

• Тест Бройша—Годфри
• Q-тест Льюнга — Бокса
• Метод Кохрейна — Оркатта
• Метод рядов

Литература

• Шаблон:Статья

Ссылки

Значения критерия Дарбина — Уотсона