Просмотр кода страницы Критерий устойчивости Гурвица

{{не путать|Коэффициент Гурвица|коэффициентом Гурвица}}
{{другие значения термина|Гурвиц|Гурвиц}}
'''Критерий устойчивости Гурвица''' — один из способов анализа линейной стационарной [[динамическая система|динамической системы]] на [[Устойчивость (динамические системы)|устойчивость]], разработанный [[Германия|немецким]] [[математик]]ом [[Гурвиц, Адольф|Адольфом Гурвицом]]. Наряду с [[критерий устойчивости Рауса|критерием Рауса]] является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких, как [[критерий устойчивости Найквиста — Михайлова]]. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком — необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная вычислительная ошибка).

== Формулировка ==
Метод работает с [[коэффициент]]ами [[Характеристический многочлен#Связанные определения|характеристического уравнения]] системы. Пусть <math> W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)} </math> — [[передаточная функция]] системы, а <math> \ U(s) = 0</math> — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический [[полином]] <math> \ U(s) </math> в виде

: <math> \ U(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n</math>

где <math>s</math> — комплексный аргумент.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится [[определитель]] Гурвица <math> \Delta </math> по [[алгоритм]]у:

# по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от <math> \ a_1 </math> до <math> \ a_n </math>;
# от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы [[Нижний индекс|индексы]] убывали сверху вниз;
# на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше <math> \ n </math> ставятся нули.

Размерность матрицы Гурвица определяется максимальной степенью при '''s''' в характеристическом уравнении (то есть '''n''').

Или явно<ref>{{Книга|автор={{nobr|Гантмахер Ф. Р.}}|заглавие=Теория матриц|ответственный=|издание=5-е изд|место=М.|издательство=Физматлит|год=2010|страницы=463|страниц=560|isbn=978-5-9221-0524-8|isbn2=}}</ref>

<math>\Delta = \begin{vmatrix} 
a_1 & a_3 & a_5 & \ldots & 0\\
a_0 & a_2 & a_4 &  \ldots & 0\\
0  & a_1 & a_3 & \ldots & 0\\
0  & a_0 & a_2 & \ldots & 0\\
\vdots &\vdots  &\vdots  &\ddots &\vdots\\
\ldots &\ldots  &\ldots  &\ldots & a_n
\end{vmatrix}</math>

Тогда согласно '''критерию Гурвица''':
{{Начало цитаты}}
Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все <math> \ n </math> главных диагональных [[Минор (линейная алгебра)|миноров]] [[определитель|определителя]] Гурвица были положительны, при условии <math>a_0 > 0</math>. Эти миноры называются определителями Гурвица.
{{Конец цитаты}}

{{hidden
|(Пример определителя Гурвица для характеристического уравнения пятой степени.)
|2= 

Имеем характеристическое уравнение пятой степени: <math> \ U(s) = a_0 s^5 + a_1 s^4 + a_2 s^3 + a_3 s^2 + a_4 s + a_5</math>. Определители Гурвица будут иметь вид:

<math>\Delta_5 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & 0 & 0\\a_0 & a_2 & a_4 & 0 & 0\\0 & a_1 & a_3 & a_5 & 0\\0 & a_0 & a_2 & a_4 & 0\\0 & 0 & a_1 & a_3 & a_5 \end{vmatrix}</math>, <math>\Delta_4 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & 0\\a_0 & a_2 & a_4 & 0\\0 & a_1 & a_3 & a_5\\0 & a_0 & a_2 & a_4 \end{vmatrix}</math>, <math>\Delta_3 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5\\a_0 & a_2 & a_4\\0 & a_1 & a_3 \end{vmatrix}</math>, <math>\Delta_2 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3\\a_0 & a_2 \end{vmatrix}</math>, и <math>\Delta_1 = \begin{vmatrix} a_1 \end{vmatrix}</math>. Для устойчивости динамической системы необходимо и достаточно чтобы все пять определителей были положительны.}}

Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя [[Теорема Льенара — Шипара|теорему Льенара — Шипара]]. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.

== Достоинства и недостатки ==
Недостаток критерия Гурвица — малая наглядность. Достоинство — удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя <math>\Delta_n = \Delta_{n-1} = 0</math> говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо <math>\Delta_n = 0</math> — при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор <math>\Delta_{n-1} = 0</math> — при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра <math>K_i</math> влияет на значение определителя <math>\Delta_{n-1}</math>. Исследуя это влияние можно найти, при каком значении <math>K_i</math> определитель <math>\Delta_{n-1}</math> станет равен нулю, а потом — отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

== К вопросу об автоматизации метода ==
Метод Гурвица достаточно удобен для определения устойчивости звеньев при помощи ЭВМ. При этом, однако, следует учитывать, что применение критерия для систем с порядком выше 5 может привести к значительным ошибкам, поскольку вычисление определителей высоких порядков является достаточно сложной операцией и приводит к накоплению ошибок вычислений.

Ниже приведён пример автоматизации работы метода с использованием одного из самых распространённых языков для технических вычислений [[MATLAB]] версии 5.3 с его синтаксисом.

Представленная ниже функция выполняет все необходимые вычисления. Для работы её необходимо поместить в текстовый файл с расширением '''.m''' и именем, совпадающим с именем самой функции, в данном случае имя файла должно быть '''raus_gur.m'''.

<source lang="matlab">
function [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D)
% Определение устойчивости системы методом Рауса-Гурвица, заданной при
% помощи следующей передаточной функции.
% 
%          B(s)   
%   W(s) = ----,
%          D(s)     
% 
% Здесь D(s) - характеристический полином.
% 
% D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an 
%  
%   a0, a1, a2, ..., an - коэффициенты полинома D.
% 
% 
% Обращение к функции RAUS_GUR может быть выполнено двумя способами:
% 
%   Способ 1.
% 
%   [Ust, Mnrs, Mtrx]  = raus_gur(D);
% 
%   Входные параметры:
% D - вектор коэффициентов знаменателя (характеристический полином)
% 
%   Выходные параметры:
% Ust - строковое значение, сообщающее устойчива система или неустойчива
%  
% Mnrs - вектор значений миноров от меньшего размера к большему,
% которые необходимо вычислить для оценки устойчивости по методу Рауса-Гурвица.
% Согласно методу Рауса-Гурвица, система устойчива, если все миноры положительны.
% Вычисления значения внешнего минора не имеют смысла, так как его знак
% всегда будет совпадать со знаком предыдущего минора.
% 
% Mtrx - полная матрица Рауса-Гурвица для данного полинома.
% 
%   Способ 2.
% 
%   [Ust, Mnrs, Mtrx]  = raus_gur(W);
% 
%   Входные параметры:
% W - объект класса LTI (см. описание Control System Toolbox)  
% 
% Выходные параметры аналогичны вышеописанным.
% 
% 
% Ориентирована на работу в версии MATLAB 2022a

if isa(D,'tf')
   [~,D]=tfdata(D,'v');
end
n=length(D)-2;
Dr=[D zeros(1,n)];
A=flipud(reshape(Dr,2,[]));
Mtrx=cell2mat(arrayfun(@(x)(circshift(A',x))',(0:n/2)',"UniformOutput",false));
Mnrs=cell2mat(arrayfun(@(x)det(Mtrx(1:x,1:x)),(2:n)',"UniformOutput",false));
Z='';
if any(Mnrs<0)
    Z='не ';
end
Ust=['система ',Z,'устойчива'];
end
</source>

=== Пример ===
Пусть дана передаточная функция:

<math>\operatorname{W}( s )=\frac{Y( s )}{U( s )}=\frac{5\cdot s+4}{{{s}^{5}}+16\cdot {{s}^{4}}+95\cdot {{s}^{3}}+260\cdot {{s}^{2}}+324\cdot s+144}</math>

Тогда вызов приведенной выше функции будет выглядеть следующим образом:

'''format shortG'''

'''[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])'''<br>
А результат вычислений:<br>
A =

    'система устойчива'

B =

   1260

   2.4696e+05

   6.3504e+07

C =

    16   260   144     0     0

     1    95   324     0     0

     0    16   260   144     0

     0     1    95   324     0

     0     0    16   260   144

     0     0     1    95   324
 


'''A''' сообщает, что система устойчива.

Вектор '''В''' содержит значения диагональных определителей от 2×2 до 4×4, первый элемент не имеет значения, а значение внешнего определителя всегда будет иметь тот же знак, что и предыдущий. Согласно методу Гурвица, чтобы система была устойчива, все эти определители должны оказаться положительными.

Матрица '''С''' — сам определитель Гурвица.

Эту функцию вполне можно использовать в математических пакетах, имеющих схожий с [[MATLAB]] синтаксис или после небольшой переделки.

Система находится на границе апериодической устойчивости, если <math>a_n = 0</math>.
Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.

== См. также ==
* [[Критерий устойчивости Рауса]]
* [[Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова]]
* [[Теорема Рауса — Гурвица]]
* [https://www.dropbox.com/s/pjdm5q8e3gx776w Маркеры устойчивости линейных динамических систем]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
''[[Четаев, Николай Гурьевич|Четаев Н. Г.]]'' Устойчивость движения. — М: Наука, 1965. — 234 с.

== Ссылки ==
[[Категория:Теория устойчивости]]