Критерий устойчивости Гурвица

Шаблон:Не путать Шаблон:Другие значения термина Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком — необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная вычислительная ошибка).

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть $W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$ — передаточная функция системы, а $U(s)=0$ — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином $U(s)$ в виде

$U(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+...+a_n$

где $s$ — комплексный аргумент.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица $\mathrm{\Delta }$ по алгоритму:

1. по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от $a_1$ до $a_n$;
2. от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3. на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше $n$ ставятся нули.

Размерность матрицы Гурвица определяется максимальной степенью при s в характеристическом уравнении (то есть n).

Или явно

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_3& a_5& \dots & 0\\ a_0& a_2& a_4& \dots & 0\\ 0& a_1& a_3& \dots & 0\\ 0& a_0& a_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \dots & \dots & \dots & \dots & a_n\end{array}\right|$

Тогда согласно критерию Гурвица: Шаблон:Начало цитаты Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все $n$ главных диагональных миноров определителя Гурвица были положительны, при условии $a_0>0$. Эти миноры называются определителями Гурвица. Шаблон:Конец цитаты

Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара — Шипара. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.

Достоинства и недостатки

Недостаток критерия Гурвица — малая наглядность. Достоинство — удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя ${\mathrm{\Delta }}_n={\mathrm{\Delta }}_{n-1}=0$ говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо ${\mathrm{\Delta }}_n=0$ — при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}=0$ — при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра $K_i$ влияет на значение определителя ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$. Исследуя это влияние можно найти, при каком значении $K_i$ определитель ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ станет равен нулю, а потом — отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

К вопросу об автоматизации метода

Метод Гурвица достаточно удобен для определения устойчивости звеньев при помощи ЭВМ. При этом, однако, следует учитывать, что применение критерия для систем с порядком выше 5 может привести к значительным ошибкам, поскольку вычисление определителей высоких порядков является достаточно сложной операцией и приводит к накоплению ошибок вычислений.

Ниже приведён пример автоматизации работы метода с использованием одного из самых распространённых языков для технических вычислений MATLAB версии 5.3 с его синтаксисом.

Представленная ниже функция выполняет все необходимые вычисления. Для работы её необходимо поместить в текстовый файл с расширением .m и именем, совпадающим с именем самой функции, в данном случае имя файла должно быть raus_gur.m.

function [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D)
% Определение устойчивости системы методом Рауса-Гурвица, заданной при
% помощи следующей передаточной функции.
% 
%          B(s)   
%   W(s) = ----,
%          D(s)     
% 
% Здесь D(s) - характеристический полином.
% 
% D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an 
%  
%   a0, a1, a2, ..., an - коэффициенты полинома D.
% 
% 
% Обращение к функции RAUS_GUR может быть выполнено двумя способами:
% 
%   Способ 1.
% 
%   [Ust, Mnrs, Mtrx]  = raus_gur(D);
% 
%   Входные параметры:
% D - вектор коэффициентов знаменателя (характеристический полином)
% 
%   Выходные параметры:
% Ust - строковое значение, сообщающее устойчива система или неустойчива
%  
% Mnrs - вектор значений миноров от меньшего размера к большему,
% которые необходимо вычислить для оценки устойчивости по методу Рауса-Гурвица.
% Согласно методу Рауса-Гурвица, система устойчива, если все миноры положительны.
% Вычисления значения внешнего минора не имеют смысла, так как его знак
% всегда будет совпадать со знаком предыдущего минора.
% 
% Mtrx - полная матрица Рауса-Гурвица для данного полинома.
% 
%   Способ 2.
% 
%   [Ust, Mnrs, Mtrx]  = raus_gur(W);
% 
%   Входные параметры:
% W - объект класса LTI (см. описание Control System Toolbox)  
% 
% Выходные параметры аналогичны вышеописанным.
% 
% 
% Ориентирована на работу в версии MATLAB 2022a

if isa(D,'tf')
   [~,D]=tfdata(D,'v');
end
n=length(D)-2;
Dr=[D zeros(1,n)];
A=flipud(reshape(Dr,2,[]));
Mtrx=cell2mat(arrayfun(@(x)(circshift(A',x))',(0:n/2)',"UniformOutput",false));
Mnrs=cell2mat(arrayfun(@(x)det(Mtrx(1:x,1:x)),(2:n)',"UniformOutput",false));
Z='';
if any(Mnrs<0)
    Z='не ';
end
Ust=['система ',Z,'устойчива'];
end

Пример

Пусть дана передаточная функция:

$\mathrm{W}(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{5\cdot s+4}{s^5+16\cdot s^4+95\cdot s^3+260\cdot s^2+324\cdot s+144}$

Тогда вызов приведенной выше функции будет выглядеть следующим образом:

format shortG

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
А результат вычислений:
A =

    'система устойчива'

B =

   1260

   2.4696e+05

   6.3504e+07

C =

    16   260   144     0     0

     1    95   324     0     0

     0    16   260   144     0

     0     1    95   324     0

     0     0    16   260   144

     0     0     1    95   324

A сообщает, что система устойчива.

Вектор В содержит значения диагональных определителей от 2×2 до 4×4, первый элемент не имеет значения, а значение внешнего определителя всегда будет иметь тот же знак, что и предыдущий. Согласно методу Гурвица, чтобы система была устойчива, все эти определители должны оказаться положительными.

Матрица С — сам определитель Гурвица.

Эту функцию вполне можно использовать в математических пакетах, имеющих схожий с MATLAB синтаксис или после небольшой переделки.

Система находится на границе апериодической устойчивости, если $a_n=0$. Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.

См. также

• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
• Теорема Рауса — Гурвица
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Литература

Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М: Наука, 1965. — 234 с.