Теорема Рауса — Гурвица

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Другие значения термина Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. ГурвицаШаблон:Sfn.

Условные обозначения

Пусть $f(z)$ — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени $n$. При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии $z=ic$ где $i$ — мнимая единица и $c$ — вещественное число). Давайте обозначим $P_0(y)$ (многочлен степени $n$) и $P_1(y)$ (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем $n$) через $f(iy)=P_0(y)+i{P}_1(y)$, относительно вещественной и мнимой части $f$ мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

• $p$ — число корней $f$ в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• $q$ — число корней $f$ в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• $\mathrm{\Delta }\arg f(iy)$ — изменение аргумента $f(iy)$, когда $y$ пробегает от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$;
• $w(x)$ — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из $P_0(y)$ и $P_1(y)$ с помощью алгоритма Евклида;

• $I_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r(x)$ — индекс Коши рациональной функции $r(x)$ на вещественной прямой.

Пусть $f(z)$ — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. $f$ он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим $f$ в сумму:

$f(z)=g(z^2)+zh(z)$.

Обозначим коэффициенты $g$ как $a_j^0$, а $h$ — как $a_j^1$. Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена $g$ является $a_0^0$.

Формулировка

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

$p-q=\frac{1}{\pi }\mathrm{\Delta }\arg f(iy)=-I_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{P_1(y)}{P_0(y)}=w(+\mathrm{\infty })-w(-\mathrm{\infty }).$

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента $f(iy)$ положительно, тогда $f(z)$ имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство $p-q=w(+\mathrm{\infty })-w(-\mathrm{\infty })$ может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть $p+q$, а $w$ из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае $w$ относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица

Шаблон:Main Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

$H_f=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_1& a_3& \dots & a_{1+2\cdot [\frac{n-1}{2}]}& & \\ a_0& a_2& \dots & a_{2\cdot [\frac{n}{2}]}& & \\ & a_1& a_3& \dots & a_{1+2\cdot [\frac{n-1}{2}]}& \\ & a_0& a_2& \dots & a_{2\cdot [\frac{n}{2}]}& \\ & ⋮& & & ⋮& \\ & & & & \dots & a_n\end{array}\right),$

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если $f$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса

Шаблон:Main Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами $g$ и $h$, определяет последовательность $a_0^1,a_0^2,\dots ,a_0^n$ ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если $f$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

• Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
• Обратите также внимание, что в записи $a_0^i$ число $i$ — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство

Шаблон:Дополнить раздел Применив метод Гаусса к матрице $H_f$, мы получим диагональную матрицу $H_f^{*}$. Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы $h_{j,j}^{*}$ трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу $H_f$, мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты $h_{j,j}^{*}$ соответствуют коэффициентам $a_0^j$, мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как $f(z)$ — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда $p-q=n$. Таким образом получаем условия на коэффициенты $f(z)$, накладывая дополнительные условия $w(+\mathrm{\infty })=n$ и $w(-\mathrm{\infty })=0$.

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также

• Теорема Стилтьеса
• Устойчивый многочлен
• Дробно-линейное преобразование
• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld