Критерий устойчивости Рауса

Крите́рий усто́йчивости Ра́уса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса — Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости (в отличие от частотных критериев — таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова). Предложен Э. Дж. Раусом в 1875 г.Шаблон:Sfn

Несмотря на то, что критерий Рауса исторически предложен ранее критерия Гурвица, его можно использовать как более удобную схему расчёта определителей Гурвица, особенно при больши́х степенях характеристического полиномаШаблон:Sfn.

К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ с помощью рекурсивного алгоритма, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности метода: при его применении сложно получить информацию о степени устойчивости, о её запасах.

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть $W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$ — передаточная функция системы, а $U(s)=0$ — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином $U(s)$ в виде

$U(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+...+a_n$

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которую коэффициенты характеристического полинома записывают таким образом, что:

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;
2. во второй строке — с нечётными;
3. остальные элементы таблицы определяются по формуле: $c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_i\cdot c_{k+1,i-1}$, где $r_i=\frac{c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}},i\ge 3$ — номер строки, $k$ — номер столбца;
4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Таблица Рауса:

$ri$	$\Downarrow i⟹k$	1	2	3	4
-	1	$c_{1,1}=a_0$	$c_{2,1}=a_2$	$c_{3,1}=a_4$	...
-	2	$c_{1,2}=a_1$	$c_{2,2}=a_3$	$c_{3,2}=a_5$	...
$r_3=\frac{c_{1,1}}{c_{1,2}}$	3	$c_{1,3}=c_{2,1}-r_3\cdot c_{2,2}$	$c_{2,3}=c_{3,1}-r_3\cdot c_{3,2}$	$c_{3,3}=c_{4,1}-r_3\cdot c_{4,2}$	...
$r_4=\frac{c_{1,2}}{c_{1,3}}$	4	$c_{1,4}=c_{2,2}-r_4\cdot c_{2,3}$	$c_{2,4}=c_{3,2}-r_4\cdot c_{3,3}$	$c_{3,4}=c_{4,2}-r_4\cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...	...

Формулировка критерия Рауса: Шаблон:Начало цитаты Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса $c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...$ были положительны. Если это не выполняется, то система неустойчива. Шаблон:Конец цитаты

См. также

• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
• Теорема Рауса — Гурвица
• Теорема Эрмита — Билера
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.