Теорема Эрмита — Билера

Теорема Эрмита — Билера — утверждение комплексного анализа, определяющие необходимые и достаточные условия устойчивости многочлена. Является частным случаем теоремы Чеботарёва.

Формулировка

Многочлен $f$ тогда и только тогда устойчив, когда корни многочленов $g$ и $h$ перемежаются и хотя бы для одного ${\omega }_0$ $g({\omega }_0)h^{\text{'}}({\omega }_0)-g^{\text{'}}({\omega }_0)h({\omega }_0)>0$. Для многочлена $f$ с вещественными коэффициентами это неравенство равносильно неравенству $a_{n-1}{a}_n>0$.

Пояснения

Здесь многочлен $f=a_0{z}^n+a_1{z}^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_n$ при $a_0>0$, числа $a_0,a_1,...a_n$ — произвольные комплексные числа. Многочлен $f$ называется устойчивым, если вещественные части всех его корней отрицательны. Функции $g$ и $h$ определяются следующим образом. Подставив в многочлен $f$ вместо $z$ чисто мнимое число $i\omega$ получаем комплексное число $f(i\omega )=g(\omega )+ih(\omega )$. Корни многочленов $g$ и $h$ с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.

Литература

• Постников М. М. Устойчивые многочлены, М., Наука, 1981, 176 стр.