Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивости

Передаточная функция динамической системы $T(s)$ может быть представлена в виде дроби

$T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$.

Устойчивость $T(s)$ достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости $s$. В правой полуплоскости их быть не должно. Если $T(s)$ получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией $F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}$, тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции $1+F(s)$. Выражение $1+F(s)=0$ называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур ${\mathrm{\Gamma }}_s$, охватывающий на $s$-плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость $F(s)$) при помощи функции $F(s)$ таким образом, что получившийся контур ${\mathrm{\Gamma }}_{F(s)}$ будет охватывать центр $F(S)$-плоскости $n$ раз, причём $n=z-p$, где $z$ — число нулей, а $p$ — число полюсов функции $F(s)$. Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура ${\mathrm{\Gamma }}_s$, а отрицательным — противоположное ему.

Формулировка критерия

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

• участок, идущий вверх по оси $j\omega$, от $0-j\mathrm{\infty }$ до $0+j\mathrm{\infty }$.
• полуокружность радиусом $r\to \mathrm{\infty }$, начинающаяся в точке $0+j\mathrm{\infty }$ и достигающая конца в точке $0-j\mathrm{\infty }$ по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы $F(s)$, в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции $F(s)$ минус количество полюсов $F(s)$ в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку $-1+j0$, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции $1+F(s)$. Заметив, что функция $1+F(s)$ имеет такие же полюса, что и функция $F(s)$, а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова: Шаблон:Начало цитаты Пусть ${\mathrm{\Gamma }}_s$ — замкнутый контур в комплексной плоскости, $p$ — число полюсов $F(s)$, охваченных контуром ${\mathrm{\Gamma }}_s$, а $z$ — число нулей $F(s)$, охваченных ${\mathrm{\Gamma }}_s$ — то есть число полюсов $T(s)$, охваченных ${\mathrm{\Gamma }}_s$. Получившийся контур в $F(s)$-плоскости, ${\mathrm{\Gamma }}_{F(s)}$ должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку $-1+j0$ $n$ раз, где $n=z-p$. Шаблон:Конец цитаты

В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае критерием Михайлова (критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым в 1936 году): Шаблон:Начало цитаты Система порядка $n$ устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости и вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходит $n$ координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0. Шаблон:Конец цитаты Однако в приведенной выше формулировке критерия Михайлова под частотным годографом понимается знаменатель частотной характеристики замкнутой системы, представленной в виде отношения двух полиномов. При этом в знаменатель вместо s подставлено выражение jω, а в критерии Найквиста используется понятие о частотной характеристике разомкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью.

Следствия критерия Найквиста — Михайлова:

• Если разомкнутая система с передаточной функцией $F(s)$ устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
• Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов $F(s)$ вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов $F(s)$ в правой полуплоскости.
• Количество дополнительных охватов (больше, чем $n+p$) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. также

• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• ЛАФЧХ

Литература

• Шаблон:Статья
• Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126—147.
• Шаблон:Книга