Просмотр кода страницы Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

{{Значения|Метод Лагранжа}}
'''Метод Лагранжа''' — метод приведения [[квадратичная форма|квадратичной формы]] к [[Квадратичная форма#Канонический вид|каноническому виду]], указанный в [[1759 год]]у [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжем]].

== Описание ==
Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть задана квадратичная форма:

: <math>\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j</math>

В силу симметричности матрицы <math>a_{ij} (a_{ij}=a_{ji})</math> квадратичную форму можно переписать следующим образом:

: <math>{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j}={\sum_{i=1}^n ({a_{ii}{x_i}^2+\sum_{j=i+1}^n {2 a_{ij} x_i x_j}})}</math>

Возможны два случая:

# хотя бы один из коэффициентов <math>a_{ii}</math> при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать <math>a_{11} \neq 0</math> (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
# все коэффициенты <math>a_{ii} = 0, i = 1, 2, ..., n</math>, но есть коэффициент <math>a_{ij}, i \neq j</math>, отличный от нуля (для определённости пусть будет <math>a_{12} \neq 0</math>).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:
: <math>f(x_1, x_2, ..., x_n) = (a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + ... + 2a_{1n}x_1x_n) + f_1(x_2, x_3, ..., x_n) =</math>
: <math>= \frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 - \frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 + f_1(x_2, x_3, ..., x_n) =</math>
: <math>= \frac{1}{a_{11}}y_1^2 + f_2(x_2, x_3, ..., x_n)</math>, где
<math>y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +...+ a_{1n}x_n</math>, а через <math>f_2(x_2, x_3, ..., x_n)</math> обозначены все остальные слагаемые.

<math>f_2(x_2, ..., x_n)</math> представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных <math>x_2, x_3, ..., x_n</math>.

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что <math>y_1 = \frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_1}</math>

Второй случай заменой переменных <math>x_1 = y_1 + y_2, x_2 = y_1 - y_2, x_3 = y_3, ..., x_n = y_n</math> сводится к первому.

{{Нет источников |дата=2024-10-20}}

[[Категория:Линейная алгебра]]