Просмотр кода страницы Мечта второкурсника (математическое тождество)

В математике '''мечта второкурсника''' или '''мечта софомора''' ({{lang-en|sophomore}} — студент-второкурсник в [[США]]) — пара [[Тождество (математика)|тождеств]]:

<math>\int\limits_{0}^{1} x^{-x} dx = \sum_{n=1}^\infin n^{-n}</math>

<math>\int\limits_{0}^{1} x^x dx = \sum_{n=1}^\infin (-1)^{n+1} n^{-n} = - \sum_{n=1}^\infin (-n)^{-n}</math>

== История ==
Тождества открыты в 1697 году [[Бернулли, Иоганн|Иоганном Бернулли]]. Числовые значения этих констант составляют приблизительно 1.291285997 и 0.7834305107, соответственно.

Название «мечта второкурсника» появилось позже. Оно является отсылкой к «мечте первокурсника», что в свою очередь означает шуточное неверное тождество (x + y)<sup>n</sup> = x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup>. Однако, в отличие от него, мечта второкурсника — пара ''верных'' тождеств<ref>{{citation|first1=Jonathan |last1=Borwein |first2=David H. |last2=Bailey |first3=Roland |last3=Girgensohn |title=Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery |isbn= 978-1-56881-136-9 |year=2004 |pages= 4, 44}}</ref>.

== Доказательство ==
Доказательства этих тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только одно из них.

Вначале, представим <math>x^x</math> как:

<math>x^x = \exp (x \log x) = \sum_{n=0}^\infin \frac {x^n (\log x)^n} {n!}</math>.

Тогда

<math>\int\limits_0^1 x^x dx = \int\limits_0^1 \sum_{n=0}^\infin \frac {x^n (\log x)^n} {n!} dx</math>.

По свойству [[Равномерная сходимость|равномерной сходимости]] [[Степенной ряд|степенных рядов]] можно поменять местами суммирование и интеграл. Получим:

<math>\int\limits_0^1 x^x dx = \sum_{n=0}^\infin \int\limits_0^1 \frac {x^n (\log x)^n} {n!} dx</math>.

Чтобы получить представленные выше интегралы, заменим переменную <math>x = \exp \left (- \frac {u} {n+1} \right )</math>. После этой замены границы интеграла преобразуются в <math>0 < u < \infin</math>, что даёт нам:

<math>\int\limits_0^1 x^n (\log x)^n dx = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)} \int\limits_0^\infin u^n e^{-u} du</math>.

По интегральному тождеству Эйлера для [[Гамма-функция|Гамма-функции]]:

<math>\int\limits_0^\infin u^n e^{-u} du = n!</math>,

таким образом:

<math>\int\limits_0^1 \frac {x^n (\log x)^n} {n!} dx = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}</math>.

Просуммировав и изменив индексацию (она начинается с n=1, а не с n=0), получим искомое тождество.

=== Версии доказательств ===
Исходное доказательство, данное Бернулли<ref>Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, ''Opera omnia,'' vol. 3, pp.&nbsp;376–381</ref> и представленное в современном виде<ref>{{citation|first=William |last=Dunham |title=The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue |publisher=Princeton University Press |location= Princeton, NJ |year=2005 |isbn= 978-0-691-09565-3 |chapter= 3: The Bernoullis (Johann and <math>x^x</math>) |pages = 46–51}}</ref>, отличается от приведённого выше в части расчёта интеграла <math>\int_0^1 x^n(\log\, x)^n\,dx</math>, но в остальном идентично за исключением технических деталей. Вместо интегрирования [[Методы_интегрирования#Метод_замены_переменной_(метод_подстановки)|путем подстановки]], используя Гамма-функцию (которая на момент доказательства ещё не была известна), Бернулли использовал [[интегрирование по частям]].

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Тождества]]
[[Категория:Математические константы]]
[[Категория:Интегралы]]