Мечта второкурсника (математическое тождество)

В математике мечта второкурсника или мечта софомора (Шаблон:Lang-en — студент-второкурсник в США) — пара тождеств:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}$

История

Тождества открыты в 1697 году Иоганном Бернулли. Числовые значения этих констант составляют приблизительно 1.291285997 и 0.7834305107, соответственно.

Название «мечта второкурсника» появилось позже. Оно является отсылкой к «мечте первокурсника», что в свою очередь означает шуточное неверное тождество (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ. Однако, в отличие от него, мечта второкурсника — пара верных тождеств.

Доказательство

Доказательства этих тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только одно из них.

Вначале, представим $x^x$ как:

$x^x=\exp (x\log x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}$.

Тогда

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx$.

По свойству равномерной сходимости степенных рядов можно поменять местами суммирование и интеграл. Получим:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx$.

Чтобы получить представленные выше интегралы, заменим переменную $x=\exp (-\frac{u}{n+1})$. После этой замены границы интеграла преобразуются в $0<u<\mathrm{\infty }$, что даёт нам:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du$.

По интегральному тождеству Эйлера для Гамма-функции:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du=n!$,

таким образом:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}$.

Просуммировав и изменив индексацию (она начинается с n=1, а не с n=0), получим искомое тождество.

Версии доказательств

Исходное доказательство, данное Бернулли и представленное в современном виде, отличается от приведённого выше в части расчёта интеграла $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx$, но в остальном идентично за исключением технических деталей. Вместо интегрирования путем подстановки, используя Гамма-функцию (которая на момент доказательства ещё не была известна), Бернулли использовал интегрирование по частям.