Просмотр кода страницы Модель Кокса-Ингерсола-Росса

'''Модель Кокса-Ингерсола-Росса (CIR-модель, модель квадратного корня)'''  - стохастическая модель динамики краткосрочной ставки с возвратом к среднему уровню (по аналогии с [[Модель Васичека|моделью Васичека]]), а также с зависимостью волатильности ставки от уровня ставки (точнее от ее квадратного корня).

Зависимость стохастической компоненты от квадратного корня уровня ставки приводит к том, что распределение процентной ставки не является нормальным (как для модели Васичека), а является процессом с [[Хи-квадрат|нецентральным хи-квадрат распределением]].

Модель квадратного корня нередко применяется при моделировании не только процентных ставок, но и других случайных процессов.

== Математическая модель ==

Модель в форме стохастического дифференциального уравнения имеет вид:

<math>dr_t=k (\theta - r_t)dt+\sigma \sqrt {r_t} dW_t</math>,    где  <math> k \theta >= \sigma^2 </math>

Математическое ожидание и дисперсия процесса равны

<math>\operatorname E[r_t\mid r_0]=r_0 e^{-k t} + \theta (1-e^{-kt})</math>, поэтому долгосрочная средняя величина ставки равна <math>\theta</math>

<math>\operatorname{Var}[r_t\mid r_0]=r_0 \frac{\sigma^2}{k} (e^{- k t}-e^{-2k t}) + \frac{\theta \sigma^2}{2 k}(1-e^{- k t})^2</math>, поэтому долгосрочная дисперсия ставки равна <math> \frac{\theta \sigma^2}{2 k}</math>

== Кривая доходности ==

Предполагая, что процесс CIR задан в [[риск-нейтральная мера|риск-нейтральной мере]] можно показать, что стоимость дисконтной облигации при таком процессе должна быть равна

<math>P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_t}</math>

где <math> A(t,T)=\left( \frac{2h e^{(k+h)(T-t)/2}} {2h + (k+h)(e^{h(T-t)} -1)} \right)^{2k \theta / \sigma^2} </math>

:<math>B(t,T) = \frac{2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(k+h)(e^{h(T-t)}-1)}</math>

:<math>h = \sqrt{k^2+2\sigma^2}</math>

Можно показать, что для достаточно больших срочностей (формально - на бесконечном сроке) кривая доходности не зависит от текущей спот-ставки и зафиксирована на уровне:

:<math>r(t,{\infty}) = \theta {2k \over k+h}=\theta {2 \over 1+\sqrt {1+2 (\sigma / k)^2}}</math>

То есть спот-ставки на достаточно длинные ставки немного ниже среднего уровня краткосрочной ставки. Они совпадают лишь в предельных случаях нулевой волатильности или бесконечно большой скорости возврата к среднему уровню.

== Безарбитражная модель CIR ==

Модель без дополнительных ограничений на параметры не является безарбитражной. Ограничение на параметры модели, приводящее к ее безарбитражности (согласно HJM-подходу) носит сложный характер для данной модели.

== Связанные понятия ==
*[[Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки]]
*[[Модель Васичека]]
*[[Модель Халла-Уайта]]

[[Категория:Финансовая математика]]
[[Категория:Процентные ставки]]