Модель Кокса-Ингерсола-Росса

Модель Кокса-Ингерсола-Росса (CIR-модель, модель квадратного корня) - стохастическая модель динамики краткосрочной ставки с возвратом к среднему уровню (по аналогии с моделью Васичека), а также с зависимостью волатильности ставки от уровня ставки (точнее от ее квадратного корня).

Зависимость стохастической компоненты от квадратного корня уровня ставки приводит к том, что распределение процентной ставки не является нормальным (как для модели Васичека), а является процессом с нецентральным хи-квадрат распределением.

Модель квадратного корня нередко применяется при моделировании не только процентных ставок, но и других случайных процессов.

Математическая модель

Модель в форме стохастического дифференциального уравнения имеет вид:

$d{r}_t=k(\theta -r_t)dt+\sigma \sqrt{r_t}d{W}_t$, где $k\theta >={\sigma }^2$

Математическое ожидание и дисперсия процесса равны

$\mathrm{E}[r_t\mid r_0]=r_0{e}^{-kt}+\theta (1-e^{-kt})$, поэтому долгосрочная средняя величина ставки равна $\theta$

$\mathrm{Var}[r_t\mid r_0]=r_0\frac{{\sigma }^2}{k}(e^{-kt}-e^{-2kt})+\frac{\theta {\sigma }^2}{2k}(1-e^{-kt}{)}^2$, поэтому долгосрочная дисперсия ставки равна $\frac{\theta {\sigma }^2}{2k}$

Кривая доходности

Предполагая, что процесс CIR задан в риск-нейтральной мере можно показать, что стоимость дисконтной облигации при таком процессе должна быть равна

$P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_t}$

где $A(t,T)={\left(\frac{2h{e}^{(k+h)(T-t)/2}}{2h+(k+h)(e^{h(T-t)}-1)}\right)}^{2k\theta /{\sigma }^2}$

$B(t,T)=\frac{2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(k+h)(e^{h(T-t)}-1)}$

$h=\sqrt{k^2+2{\sigma }^2}$

Можно показать, что для достаточно больших срочностей (формально - на бесконечном сроке) кривая доходности не зависит от текущей спот-ставки и зафиксирована на уровне:

$r(t,\mathrm{\infty })=\theta \frac{2k}{k+h}=\theta \frac{2}{1+\sqrt{1+2(\sigma /k{)}^2}}$

То есть спот-ставки на достаточно длинные ставки немного ниже среднего уровня краткосрочной ставки. Они совпадают лишь в предельных случаях нулевой волатильности или бесконечно большой скорости возврата к среднему уровню.

Безарбитражная модель CIR

Модель без дополнительных ограничений на параметры не является безарбитражной. Ограничение на параметры модели, приводящее к ее безарбитражности (согласно HJM-подходу) носит сложный характер для данной модели.

Связанные понятия

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Васичека
• Модель Халла-Уайта