Модель Васичека

Модель Васичека (Vasicek) — однофакторная равновесная математическая модель, описывающая эволюцию так называемой мгновенной процентной ставки.

Является простейшей моделью, описывающей процесс с возвратом к среднему уровню.

Описание

Модель предложена Олдржихом Вашичеком в 1977 году. Однофакторность связана с тем, что в модели участвует лишь один источник неопределённости динамики ставки. В рамках данной модели предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня.

Эта модель стала первой, учитывающей тенденцию процентных ставок к возврату к среднему (Шаблон:Lang-en): процентные ставки не могут расти до бесконечности, так как их высокий уровень ограничит экономическую деятельность и после определённого предела сведет её на нет; с другой стороны, ставки естественным образом ограничены снизу. Таким образом, ставки должны двигаться в ограниченном диапазоне.

Недостаток модели Васичека заключается в нормальном распределении, что кроме всего прочего теоретически допускает отрицательные значения ставки (как показала практика ставок в евро, отрицательные ставки хоть и маловероятны, но все-таки возможны).

Математическая модель

Математически модель записывается в виде следующего стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа (уравнение Орнштейна — Уленбека):

$d{r}_t=\kappa (\theta -r_t)dt+\sigma d{W}_t$,

где:

• $W_t$ — винеровский процесс
• $\theta$ — средний (долгосрочный) уровень процентной ставки,
• $\kappa$ — параметр, характеризующий скорость возврата к среднему значению
• $\sigma$ — параметр волатильности. В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки.

В 1990 и 1991 годах были представлены модели, соответственно, Блэка — Дермана — Тоя и Блэка — Карасинского, вводящие нестационарную волатильность.

Решение уравнения приводит к следующей модели в интегральной форме:

$r_t=r_0{e}^{-\kappa t}+\theta (1-e^{-\kappa t})+\sigma e^{-\kappa t}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\kappa s}d{W}_s$

Отсюда математическое ожидание и волатильность ставки равны:

$E(r_t)=r_0{e}^{-\kappa t}+\theta (1-e^{-\kappa t})=\theta +(r_0-\theta )e^{-\kappa t},V_t(r_t)=\frac{{\sigma }^2}{2\kappa }(1-e^{-2\kappa t})$

Следовательно при $t\to \mathrm{\infty }$ имеем долгосрочный средний уровень ставки и волатильность $E(r)=\theta ,V(r)=\frac{{\sigma }^2}{2\kappa }$

Кривая доходности

Если процесс, описывамый моделью Васичека, задан в риск-нейтральной мере, то стоимость дисконтной облигации с единичным номиналом равна:

$P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r_t}$,

где $B(t,T)=\frac{1-e^{-\kappa (T-t)}}{\kappa }$, $A(t,T)=(\theta -\frac{{\sigma }^2}{2{\kappa }^2})[B(t,T)-(T-t)]-\frac{{\sigma }^2}{4\kappa }B(t,T{)}^2$

Соответственно кривая доходности (срочная структура процентных ставок), соответствующая модели Васичека, в терминах непрерывных ставок $r(t,T)=-\frac{\ln P(t,T)}{T-t}$ имеет вид:

$r(t,T)=r_{\mathrm{\infty }}+(r_t-r_{\mathrm{\infty }})\frac{1-e^{-\kappa (T-t)}}{\kappa (T-t)}+\frac{{\sigma }^2(1-e^{-\kappa (T-t)}{)}^2}{4{\kappa }^3(T-t)}$, $r_{\mathrm{\infty }}=\theta -\frac{{\sigma }^2}{2{\kappa }^2}$

В случае если изначально модель Васичека задана в физической вероятностной мере, то формула для кривой аналогична, но величина $r_{\mathrm{\infty }}$ увеличивается на слагаемое $\lambda \sigma /\kappa$, где $\lambda$ - так называемая рыночная цена риска, определяемая из условия отсутствия арбитража при формировании облигаций с разными сроками до погашения.

См. также

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Халла-Уайта
• Модель Кокса-Ингерсола-Росса