Риск-нейтральная мера

Шаблон:Нет источников Риск-нейтральная мера (скорректированная на риск мера, эквивалентная мартингальная мера) — применяемая в стохастической финансовой теории (математике) искусственная вероятностная мера (эквивалентная физической вероятностной мере) относительно которой будущая стоимость актива в единицах банковского счета — отношение стоимости рисковых активов к стоимости банковского счета (счета денежного рынка) — является мартингалом (или хотя бы локальным мартингалом) на безарбитражном рынке .

Существование такой меры на безарбитражном рынке гарантируется первой фундаментальной теоремой теории арбитражного ценообразования (APT), а её единственность в случае полных рынков — второй теоремой APT.

Свойство мартингальности позволяет выразить текущую стоимость будущих денежных потоков через условное математическое ожидание (в риск-нейтральной мере) их дисконтированной величины.

Риск-нейтральную меру чаще всего обозначают $\mathbb{Q}$ в отличие от физической вероятностной меры $\mathbb{P}$

Формула оценки в риск-нейтральной мере

Пусть в момент T величина платежа равна $V_T$. Мартингальное свойство риск-нейтральной меры означает по определению что

$\frac{V_t}{B_t}={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}\left(\frac{V_T}{B_T}\right)$

где $B_t=B_0{e}^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}{r}_{u}du}$ - так процесс так называемого банковского счета, являющегося локально предсказуемым процессом роста по безрисковой ставке $r_t$ (процентная ставка случайна в общем случае).

Отсюда стоимость актива в данный момент времени

$V_t=B_t{𝔼}_t^{\mathbb{Q}}\left(\frac{V_T}{B_T}\right)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}\left(\frac{B_t}{B_T}{V}_T\right)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}(D(t,T)V_T)$

где $D(t,T)=B_t/B_T=e^{-\underset{t}{\overset{T}{\int }}{r}_{u}du}$ - дисконтирующий процесс.

Связанные понятия

• Бескупонная (дисконтная) облигация - безрисковая облигация с единичным номиналом и сроком погашения T. Стоимость такой облигации согласно общей формуле оценки в риск-нейтральной мере равна

$P(t,T)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)]={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[e^{-\underset{t}{\overset{T}{\int }}{r}_{u}du}]$

Стоимость такой облигации представляет собой так называемый дисконт-фактор (множитель дисконтирования), если перейти от риск-нейтральной меры к так называемой T-форвардной мере:

$V_t=P(t,T){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^T}[V_T]$

• Фьючерсные цены и фьючерсные ставки являются мартингалами в риск-нейтральной мере.
• Спот-мера - дискретный аналог "непрерывной" риск-нейтральной меры