Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки

Диффузионная модель динамики краткосрочной ставки в финансовой математике — математическая модель описания динамики так называемой краткосрочной ставки (спот-ставки, мгновенной ставки) в форме стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа. Семейство моделей процентных ставок очень разнообразно, в него входят однофакторные (модели спот-ставки) и многофакторные модели.

Однофакторная модель краткосрочной ставки имеет следующий общий вид:

$d{r}_t=a(t,r_t)dt+b(t,r_t)d{W}_t$

где $W_t$ — винеровский процесс

Предполагая, что модель задана в так называемой риск-нейтральной мере из соображений безарбитражности можно показать, что модель спот-ставки однозначно определяет всю кривую доходности (при заданном значении спот-ставки) исходя из формулы определения стоимости дисконтной облигации в риск-нейтральной мере:

$P(t,T)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}(e^{-\underset{t}{\overset{T}{\int }}{r}_{u}du})$

В случае однофакторных моделей эволюция кривой доходности ограничивается чаще всего в первую очередь существенными изменениями короткого участка кривой при относительной стабильности на длинных сроках. При этом кривая может быть как нормальной формы, так и инвертированной. Двухфакторные модели, описывающие короткую и длинную ставки, позволяют более гибко моделировать изменения кривой. Дальнейшее увеличение количества факторов увеличивает число степеней свободы кривой доходности.

Количество факторов, которые можно включать в модель, не ограничено, но из практических соображений обычно используют не более десяти факторов.

Модели форвардной кривой доходности обобщают многофакторные модели, поскольку в рамках одного уравнения описывают эволюцию всей кривой доходности. К форвардным относятся HJM и Libor Market Model.

Базовые модели без ограничений на безарбитражность

Нестационарные модели (без возврата к среднему)

Модель Мертона

Это простейшая модель, предложенная Мертоном в 1973 г., в котором a и b являются постоянными величинами:

$d{r}_t=\alpha dt+\sigma d{W}_t$

Модель допускает возможность отрицательных ставок.

Модель Дотана (Рэндлмана-Бартера)

В данной модели a и b пропорциональны значению процентной ставки, то есть используется геометрическое броуновское движение, а значит исключаются отрицательные процентные ставки:

$d{r}_t=\alpha r_{t}dt+\sigma r_{t}d{W}_t$

Стационарные модели (с возвратом к среднему)

Модель Васичека

Модель предложена Васичеком в 1977 году. В рамках данной модели, предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня:

$d{r}_t=\kappa (\theta -r_t)dt+\sigma d{W}_t$

Средний уровень процентной ставки здесь равен $\theta$. Коэффициент $\kappa$ характеризует темп возврата к среднему уровню.

В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки. Кроме того, теоретически модель Васичека допускает отрицательные ставки.

Модель Кокса-Ингерсола-Росса

Данная модель является развитием модели Васичека в направлении учета зависимости волатильности от ставки. В данном случае волатильность пропорциональна квадратному корню из ставки:

$d{r}_t=\kappa (\theta -r_t)dt+\sigma \sqrt{r_t}d{W}_t$

Безарбитражные модели

Приведенные выше модели в общем случае (без дополнительных ограничений на параметры, на их взаимосвязь) не являются безарбитражными. Безарбитражные модели спот-ставки основаны на HJM-подходе к моделированию форвардных ставок, из которого следует определенная форма зависимости между трендовой составляющей и стохастической, а также необходимость калибровки некоторых параметров под текущую кривую доходности.

Гауссовские (нормальные) модели

Модель Хо-Ли

Данную модель можно получить из HJM-модели динамики форвардных ставок, если предположить постоянную во времени дисперсию форвардной ставки. В этом случае динамика спот-ставки будет удовлетворять следующему стохастическому дифференциальному уравнению

$d{r}_t={\theta }_{t}dt+\sigma d{W}_t$

где ${\theta }_t={\partial }_{t}f(0,t)+{\sigma }^{2}t$, где $f(0,t)$ функция мгновенной форвардной ставки от срочности в нулевой момент времени (характеристика начальной кривой доходности)

Модель Халла-Уайта

Моделью Халла-Уайта называют несколько разных моделей. Одна из версий модели представляет собой безарбитражнжую расширенную модель Васичека, где параметр среднего уровня ставок меняется во времени в соответствии с начальной кривой доходности.

$d{r}_t=\kappa ({\theta }_t-r_t)dt+\sigma d{W}_t$

где ${\theta }_t=f(0,t)+\frac{{\partial }_{t}f(0,t)}{\kappa }+\frac{{\sigma }^2}{2{\kappa }^2}(1-e^{-2\kappa t})$

Негауссовские (логнормальные и др.) модели

Модель Блэка-Дэрмана-Тоя

$d\ln (r)=[{\theta }_t+\frac{\sigma {\text{'}}_t}{{\sigma }_t}\ln (r)]dt+{\sigma }_{t}d{W}_t$

Модель Блэка-Карасинского

Модель предложена в 1991 году

$dr=r_t({\alpha }_t-{\beta }_t\ln r_t)dt+{\sigma }_t{r}_{t}d{W}_t$

Модель Зандмана-Зондермана

Модель предложена в 1993 году:

$di=i_t({\alpha }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{W}_t),r=\ln (1+i)$

Многофакторные модели

Модель Лонгстаффа-Шварца

Модель предполагает, что краткосрочная ставка представляет собой сумму двух независимых случайных процесса, удовлетворяющих CIR-модели

Модель Чена

В данной модели, предложенной в 1995 году, предполагается что коэффициенты базовой диффузионной модели являются также случайными процессами диффузионного типа:

$d{r}_t=({\alpha }_t-r_t)dt+\sqrt{{\sigma }_t{r}_t}d{W}_t^r$

$d{\alpha }_t=(\alpha -{\alpha }_t)dt+\sqrt{{\alpha }_t}d{W}_t^{\alpha }$

$d{\sigma }_t=(\sigma -{\sigma }_t)dt+\sqrt{{\sigma }_t}d{W}_t^{\sigma }$

где $W_t^r,W_t^{\alpha },W_t^{\sigma }$ — независимые винеровские процессы. Таким образом, модель является трехфакторной.

Модель Шмидта

Модель предложена в 1997 году и является обобщением многих других моделей и представляется в «явном» виде:

$r_t=F(f_t+g_t{W}_{T_t})$

$T_t,F(x),f_t,g_t$ — непрерывные функции, причем за исключением $f_t$ — неотрицательные.

См. также

• Кривая доходности
• Модель HJM