Модель HJM

Модель или подход Хита-Джарроу-Мортона (HJM , Heath-Jarrow-Morton framework ) - в стохастической финансовой математике представляет собой общую структуру для моделирования эволюции мгновенных форвардных процентных ставок в риск-нейтральной мере в целях обеспечения безарбитражности совместной динамики для различных сроков. Концепция HJM берёт своё начало в работах Дэвида Хита , Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона в конце 1980-х годов.

HJM не является конкретной моделью ставок, а лишь определяет необходимую структуру этих моделей в зависимости от моделирования волатильности форвардных ставок, соответственно, в рамках HJM могут быть получены различные модели. Принципиальный вывод и характерное требование HJM-подхода к моделированию динамики ставок - трендовая составляющая (дрифт) диффузионных моделей форвардных ставок полностью определяется функциями волатильности и не может быть независимым параметром. Поскольку из динамики форвардных ставок можно определить динамику краткосрочной ставки, то из подхода HJM следуют также необходимые условия безарбитражности соответствующих диффузионных моделей краткосрочной ставки. В частности, классическая модель Васичека с постоянными параметрами не удовлетворяет требованиям HJM, однако аналогичная модель с изменяющимся (специальным образом) долгосрочным уровнем уже соответствует HJM (см. Модель Халла-Уайта).

HJM моделирует динамику форвардных ставок и конкретизирует трендовую составляющую именно в риск-нейтральной мере, так как форвардная ставка $f(t,T)$ в собственной форвардной мере (то есть в $T$-форвардной мере) является мартингалом и в этой мере её трендовая компонента просто нулевая. Рассмотрение форвардных ставок в собственных мерах удобно не всегда - при рассмотрении одновременной динамики различных форвардных ставок желательно их оценивать в единой мере, в качестве которой в HJM выступает риск-нейтральная мера (тем не менее можно записать формулу и для единой форвардной меры). Моделирование совместной динамики дискретных (по т.н. тенорам) форвардных ставок в единой форвардной мере реализовано в модели LMM

Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто являются немарковскими. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных ставок удовлетворяет определённым условиям, то модель HJM может быть полностью выражена марковской системой с конечным состоянием, что делает её вычислительно осуществимой.

Математическая модель

Общий вид модели в виде стохастического дифференциального уравнения динамики форвардных ставок в риск-нейтральной мере имеет вид:

$df(t,T)=({\mathit{\sigma }}^T(t,T)\underset{t}{\overset{T}{\int }}\mathit{\sigma }(t,s)ds)dt+{\mathit{\sigma }}^T(t,T)d{𝑾}_t={\mathit{\sigma }}^T(t,T)[(\underset{t}{\overset{T}{\int }}\mathit{\sigma }(t,s)ds)dt+d{𝑾}_t]$

где $f(t,T)$ - процесс мгновенной форвардной ставки для срочности $T-t$

${𝑾}_t$ - многомерный (в общем случае) винеровский процесс (вектор независимых процессов Винера)

$\mathit{\sigma }(t,T)$ - векторный процесс волатильности для соответствующей форвардной ставки.

Как видно, трендовая составляющая (дрифт) процесса $\mu (t,T)={\mathit{\sigma }}^T(t,T)\underset{t}{\overset{T}{\int }}\mathit{\sigma }(t,s)ds$ полностью определяется процессом волатильности вполне конкретным способом. Это и есть принципиальная особенностm HJM (по существу - требование безаритражности модели). Поскольку краткосрочная ставка равна $r_t=f(t,t)$, то это одновременно налагает ограничение и на параметры моделей краткосрочной ставки. Модель краткосрочной ставки в риск-нейтральной мере имеет следующий вид:

$r_t=f(t,t)=f(0,t)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathit{\sigma }}^T(u,t)\underset{u}{\overset{t}{\int }}\mathit{\sigma }(u,s)dsdu+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathit{\sigma }}^T(u,t)d{W}_u$

Такой процесс в общем случае не является марковским.

Вывод формулы

В риск-нейтральной мере безарбитражная динамика стоимости бескупонной облигации с единичным номиналом (дисконт-фактор) должна иметь вид:

$dP(t,T)/P(t,T)=r_{t}dt+{\mathit{\sigma }}_P^T(t,T)d{W}_t$

где ${\mathit{\sigma }}_P(t,T)$ - вектор волатильности для процесса стоимости дисконтных облигаций,

$r_t=f(t,t)$ - краткосрочная (мгновенная спот-) ставка.

Тогда из формулы Ито следует, что процесс логарифма от цены дисконтной облигации удовлетворяет следующему уравнению:

$d\ln P(t,T)=[r_t-\frac{1}{2}{\mathit{\sigma }}_P^T(t,T){\mathit{\sigma }}_P(t,T)]dt+{\mathit{\sigma }}_P^T(t,T)d{W}_t$

Тогда, учитывая, что мгновенная форвардная ставка связана с ценой дисконтной облигации как $f(t,T)=-{\partial }_T\ln P(t,T)$ получим:

$df(t,T)={\partial }_T{\mathit{\sigma }}_P^T(t,T){\mathit{\sigma }}_P(t,T)dt-{\partial }_T{\mathit{\sigma }}_P^T(t,T)d{W}_t$

Обозначив $\sigma (t,T)=-{\partial }_T{\mathit{\sigma }}_P(t,T)$ и соответственно ${\sigma }_P(t,T)=-\underset{t}{\overset{T}{\int }}\mathit{\sigma }(t,s)ds$, получим

$df(t,T)=\mu (t,T)dt+{\mathit{\sigma }}^T(t,T)d{W}_t$,

где $\mu (t,T)={\mathit{\sigma }}^T(t,T)\underset{t}{\overset{T}{\int }}\mathit{\sigma }(t,s)ds$

Это и есть основной результат и требование к моделям в рамках безарбитражного HJM-моделирования динамики ставок.

Пример HJM-модели

Наиболее простая HJM-модель может быть получена как однофакторная (один винеровский процесс) модель с постоянной и одинаковой для всех сроков волатильностью $\sigma (t,T)=\sigma$. Очевидно, в этом случае

$\underset{t}{\overset{T}{\int }}\sigma ds=\sigma \underset{t}{\overset{T}{\int }}ds=\sigma (T-t)$

Тогда для риск-нейтральной динамики мгновенной форвардной ставки имеем:

$df(t,T)={\sigma }^2(T-t)dt+\sigma d{W}_t$

Тогда,

$f(t,T)-f(0,T)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}df(s,T)={\sigma }^2\underset{0}{\overset{t}{\int }}(T-s)ds+\sigma \underset{0}{\overset{t}{\int }}d{W}_s=-0.5{\sigma }^2[(T-t{)}^2-T^2]+\sigma W_t$

Следовательно

$r_t=f(t,t)=f(0,t)+0.5{\sigma }^2{t}^2+\sigma W_t$

Дифференцируя по t получим оконачательно следующую модель для краткосрочной ставки ввиде стохастического дифференциального уравнения:

$d{r}_t=({\partial }_{t}f(0,t)+{\sigma }^{2}t)dt+\sigma d{W}_t$

Полученное уравнение соответствует модели Хо-Ли. Таким образом, эта модель краткосрочной ставки соответствует исходной модели форвардных ставок с постоянной волатильностью.

Аналогично можно показать, что экспоненциально убывающая волатильность форвардной ставки $\sigma (t,T)=\sigma e^{-k(T-t)}$ соответствует модели Халла-Уайта для краткосрочной ставки.

См. также

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Халла-Уайта