Модель LMM

Модель рынка либор (LMM, LIBOR Market Model) или Модель BGM (Brace-Gatarek-Musiela Model - модель Брейса-Гатарека-Мусиелы), а также иногда логнормальная модель форвардных ставок (LFM, LFRM) - в финансовой математике это модель динамики совокупности форвардных ставок в единой мере, используемая при оценке процентных производных инструментов, особенно экзотических производных инструментов.

Наличие в названии "рынка либор" связано с тем, что в на практике ее можно было применять к существовавшему длительное время рынку процентных ставок LIBOR. Альтернативное наименование LFM конкретизирует логнормальный характер моделирования каждой форвардной ставки в собственной форвардной мере по аналогии с моделью Блэка. Собственно, оценка стоимости таких инструментов как кэпы и флоры в рамках такой модели эквивалентно оценке по формуле Блэка. Кроме того такое наименование модели в некотором смысле противопоставляется аналогичной модели для своп-ставок - LSM или LSRM (lognormal swap-rates model), так как, строго говоря логнормальность форвардных ставок и своп-ставок математически несовместимы (поэтому, одновременное использование формулы Блэка и для кэпов/флоров и для свопционов вообще говоря теоретически не совсем корректно).

На практике требуется применение численных методов для использования модели, в том числе методов симуляции (Монте-Карло).

Математическое представление модели

В модели LMM динамика форвардных ставок в некоторой $T_p$-форвардной мере определяется следующими стохастическими дифференциальными уравнениями:

$$d{F}_j(t)=\{\begin{array}{cc}{F}_j(t){\sigma }_j(t)d{W}_j^{Q^{T_p}}(t)-F_j(t)\sum _{k=j+1}^p\frac{\tau F_k(t)}{1+\tau F_k(t)}{\sigma }_j(t){\sigma }_k(t){\rho }_{jk}dt& j<p\\ F_j(t){\sigma }_j(t)d{W}_j^{Q^{T_p}}(t)& j=p\\ F_j(t){\sigma }_j(t)d{W}_j^{Q^{T_p}}(t)+F_j(t)\sum _{k=p+1}^j\frac{\tau F_k(t)}{1+\tau F_k(t)}{\sigma }_j(t){\sigma }_k(t){\rho }_{jk}dt& j>p\end{array}$$

где:

$F_j(t)$ - форвардная ставка на j-й временной интервал, а ${\sigma }_j$ - ее локальная логнормальная волатильность

$W_j^{Q^{T_p}}$ - винеровский процесс в $T_p$-форвардной мере для j-й форвардной ставки

${\rho }_{jk}$ - локальная корреляция винеровских процессов $W_j^{Q^{T_p}}$ и $W_k^{Q^{T_p}}$ , то есть $d{W}_j^{Q^{T_p}}d{W}_k^{Q^{T_p}}={\rho }_{jk}dt$

В частности, если выбрана терминальная форвардная мера, то для всех форвардных ставок выполняется первое уравнение

Вывод формул

Форвардные ставки являются мартингалами в собственной форвардной мере, поэтому в этой мере описываются уравнением без дрифта

$d{F}_j(t)=F_j(t){\sigma }_j(t)d{W}_j^{Q^{T_j}}(t)$

Процесс плотности замены меры на $Q^{T_p}$ пропорционален $P(t,T_j)/P(t,T_p)$, поэтому для логарифма процесса плотности имеем:

$\ln z=\ln \frac{P(t,T_j)}{P(t,T_p)}=\sum _{k=j+1}^p\ln \frac{P(t,T_{k-1})}{P(t,T_k)}=\sum _{k=j+1}^p\ln (1+F_k{\tau }_k)$

Тогда для трендовой составляющей имеем

$d\ln F_{j}d\ln z=-d\ln F_j\sum _{k=j+1}^p\frac{{\tau }_{k}d{F}_k}{1+F_k{\tau }_k}=-{\sigma }_{j}d{W}_j^{Q^{T_j}}\sum _{k=j+1}^p\frac{{\tau }_k{F}_k{\sigma }_{k}d{W}_k^{Q^{T_k}}}{1+F_k{\tau }_k}=-\sum _{k=j+1}^p\frac{{\tau }_k{F}_k{\sigma }_k{\sigma }_j{\rho }_{kj}}{1+F_i{\tau }_i}dt$

поэтому процесс форвардной ставки в новой мере будет иметь вид

$d{F}_j(t)=F_j(t){\sigma }_j(t)d{W}_j^{Q^{T_p}}(t)-F_j(t)\sum _{k=j+1}^p\frac{{\tau }_k{F}_k(t)}{1+{\tau }_k{F}_k(t)}{\sigma }_j(t){\sigma }_k(t){\rho }_{jk}dt$

См. также

• Модель HJM
• Форвардная процентная ставка
• Форвардная мера
• Замена вероятностной меры