Форвардная мера

Форвардная мера, а точнее $T$-форвардная мера - применяемая в стохастической финансовой теории (математике) искусственная вероятностная мера, эквивалентная риск-нейтральной мере. Если риск-нейтральная мера основана на стоимостной базе (numeraire) банковского счета, то $T$-форвардная мера основана на дисконтной облигации с погашением в будущий момент $T$.

Преимущество форвардной меры перед базовой риск-нейтральной мерой заключается в том, что в формуле оценки стоимости будущего условного платежа дисконт фактор является множителем вне условного математического ожидания (в риск-нейтральной мере дисконтирующий процесс под знаком математического ожидания). Недостаток - форвардная мера привязана к конкретному сроку платежа в отличие от риск-нейтральной меры.

Форвардную меру обычно обозначают по аналогии с риск-нейтральной мерой, но с индексом срока (верхним или нижним) ${\mathbb{Q}}^T$. Форвардные цены являются мартингалами в собственной форвардной мере (срок меры равен сроку на который оценена форвардная цена).

Построение форвардной меры

Формула замены риск-нейтральной меры на форвардную меру для условных математических ожиданий имеет вид:

${𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^T}[V_T]=\frac{{𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)V_T]}{{𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)]}$

где $D(t,T)$ - дисконтирующий процесс, а $P(t,T)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)]$ - стоимость дисконтной облигации (с единичным номиналом) с датой погашения $T$.

Отсюда, учитывая формулу оценки стоимости будущего условного платежа в риск-нейтральной мере (числитель дроби в предыдущей формуле) можно записать следующую формулу оценки стоимости в форвардной мере:

$V_t={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)V_T]={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)]{𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^T}[V_T]=P(t,T){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^T}[V_T]$

Как видно в последней формуле (в форвардной мере) в отличие от первой (риск-нейтральная мера) дисконт-фактор уже вне знака условного математического ожидания. Таким образом, дисконт-факторы здесь это уже рыночные оценки кривой доходности на текущий момент.

Выражение ${𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^T}[V_T]$ как можно показать - это форвардная цена данного актива. Соответственно, эта формула оценки также устанавливает взаимосвязь между спот-ценой и форвардной ценой:

$S_t=P(t,T)F_t^T$

Связанные понятия

• Терминальная мера - форвардная мера, соответствующая сроку последнего платежа для данной совокупности платежей (сроку окончания финансового инструмента).

Пусть по инструменту предполагаются платежи $C{F}_i$ (в общем случае случайные, например, плавающие) в моменты времени $T_i,i=1..n$. Стоимость такого инструмента можно записать в собственных форвардных мерах этих платежей следующим образом:

$V_t=\sum _{i=1}^{n}P(t,T_i){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^{T_i}}(C{F}_i)$

Однако, с помощью процедуры замены мер можно записать стоимость в одной и той же форвардной мере, например в мере ${\mathbb{Q}}^{T_n}$ - терминальной (для данного инструмента, для данного потока платежей) мере:

$V_t=P(t,T_n)\sum _{i=1}^n{𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^{T_n}}\left[\frac{C{F}_i}{P(T_i,T_n)}\right]$

См.также

Риск-нейтральная мера

Замена вероятностной меры