Просмотр кода страницы Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости

[[Файл:Parallel rays in Poincare model of hyperbolic geometry.svg|350px|right|thumb|Параллельные лучи в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости]]

'''Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости''' — это [[верхняя половина плоскости]] <math> \{ (x ,y) \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}</math>, обозначаемая ниже как '''H''', вместе с [[Метрика (дифференциальная геометрия)|метрикой]] ([[Метрика Пуанкаре|метрикой Пуанкаре]]), которая делает её [[Математическая модель|моделью]] двумерной [[Геометрия Лобачевского|гиперболической геометрии]] (геометрии Лобачевского).

Эквивалентно, модель Пуанкаре в верхней полуплоскости иногда описывается как [[комплексная плоскость]], в которой [[Комплексное число|мнимая компонента]] (координата ''y'', упомянутая выше) положительна.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости носит имя [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]], но её создал [[Бельтрами, Эудженио|Эудженио Бельтрами]], который использовал её вместе с [[Проективная модель|моделью Кляйна]] и [[Конформно-евклидова модель|моделью Пуанкаре́ в круге]], чтобы показать, что гиперболическая геометрия {{не переведено 5|Равнонепротиворечивость|настолько же непротиворечива||equiconsistency}}, насколько [[Евклидова геометрия|непротиворечива евклидова геометрия]].

Эта модель [[Конформное отображение|конформна]], что означает, что углы, измеренные в точке модели, равны углам на гиперболической плоскости.

[[Преобразование Кэли]] даёт [[Движение (математика)|изометрию]] между моделью в полуплоскости и [[Конформно-евклидова модель|моделью Пуанкаре́ в круге]].

Эту модель можно обобщить до модели (''n''+1)-мерного [[Геометрия Лобачевского|гиперболического пространства]] путём замены вещественного числа ''x'' вектором в ''n''-мерном евклидовом векторном пространстве.

== Метрика ==
[[Метрический тензор|Метрика]] модели в полуплоскости <math>\{ \langle x, y \rangle | y > 0 \}</math> имеет вид
:<math>(d s)^2 = \frac{(d x)^2 + (d y)^2}{y^2} \,</math>,

где ''s'' измеряет длину вдоль (возможно кривой) линии.
''Прямые'' на гиперболической плоскости ([[Геодезическая|геодезические]] для этого метрического тензора, т.е. кривые, минимизирующие расстояние), представляются на этой модели дугами окружностей, [[Перпендикулярность|перпендикулярными]] оси ''x'' (полуокружности с центром на оси ''x'') и вертикальными лучами, перпендикулярными оси ''x''.

=== Вычисление расстояния ===
В общем случае ''расстояние'' между двумя точками измеряется в этой метрике вдоль геодезических и равно:

:<math display="block">\begin{align}
\operatorname{dist} (\langle x_1, y_1 \rangle, \langle x_2, y_2 \rangle) 
&= \operatorname{arch}(1 + \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 }{ 2 y_1 y_2 })\\
&=2 \operatorname{arsh} \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} { y_1 y_2 }}\\
&= 2 \ln \frac{\sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} + \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 + y_1)}^2}} { 2 \sqrt{y_1 y_2}},
\end{align}</math>

где ''arch'' и ''arsh'' — это [[обратные гиперболические функции]]
::<math>\operatorname{arsh} {x} =\ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)
\ , \ 
\operatorname{arch} {x} =\ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right); x \ge 1
\,.</math>
Некоторые специальные случаи могут быть упрощены:

:<math>\operatorname{dist} (\langle x, y_1 \rangle, \langle x, y_2 \rangle) =\left| \ln\frac{y_2}{y_1} \right| = | \ln(y_2) - \ln(y_1) | </math><ref>{{cite web|title=mathematics stackexchange|url=http://math.stackexchange.com/q/1386297/88985|accessdate=2015-09-19}}</ref>.

:<math>\operatorname{dist} (\langle x_1, y \rangle, \langle x_2, y \rangle) 
= \operatorname  {arch} ( 1 + \frac{ (x_2 - x_1)^2}{ 2 y^2})
= 2 \operatorname {arsh} (\frac{|x_2 -x_1|}{2 y}) </math>

:<math>\operatorname{dist} ( \langle x, r \rangle, \langle x \pm r\sin\phi , r\cos\phi  \rangle )
= \operatorname {arsh}( \tan \phi) 
= \operatorname {arch}(\frac{1}{\cos \phi })
= \ln(\frac{1 + \sin \phi} {\cos \phi}) </math>

Другим способом вычисления расстояния между двумя точками является длина дуги вдоль (евклидовой) полуокружности:
:<math>\operatorname{dist} (AB) = \left| \ln \left(  \frac{ |BA_{\infty}|\  |AB_{\infty}|}{ |AA_{\infty}| \  |BB_{\infty}| } \right) \right|.</math>
 
где <math>A_{\infty} , B_{\infty}</math> — точки полуокружности (концы), лежащие на граничной прямой, а <math> |PQ| </math> — это евклидова длина сегмента окружности, соединяющей точки P и Q в этой модели.

== Специальные точки и кривые ==
* '''[[Идеальная точка|Бесконечно удалённые точки]]''' в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости бывают двух типов:
** точки на оси ''x''
** одна воображаемая точка на <math> y = \infty </math>, которая является [[Идеальная точка|бесконечно удалённой точкой]], через которую проходят все [[Ортогональность|ортогональные]] оси ''x'' прямые.
* '''Прямые''', геодезические (кратчайшие пути между точками, находящимися на ней) моделируются
** полуокружностями, концы которых находятся на оси x
** Вертикальными лучами, ортогональными оси x
* '''Окружности''' (кривые, равноудалённые от центральной точки) с центром в точке <math>( x, y ) </math> и радиусом <math>r </math> моделируются:
:: окружностями с центром <math>( x, y \cosh (r) ) </math> и радиусом <math>y \sinh (r) </math>
* '''[[Гиперцикл (геометрия)|Гиперцикл]]''' (или эквидистанта, кривая, удалённая от гиперболической прямой, её оси или базы) моделируется 
** либо дугой окружности, которая пересекает ось ''x'' в тех же двух [[Идеальная точка|бесконечно удалённых точках]], что и полуокружность, которая является базой, но имеет с осью ''x'' острый или тупой (не прямой) [[угол]].
** либо прямой, которая пересекает ось ''x'' в той же точке, что и вертикальный луч, который моделирует базу, но не перпендикулярной оси ''x''.
* '''[[Орицикл]]''' (предел семейства окружностей с общей касательной, проходящих через фиксированную точку и лежащих по одну сторону от этой касательной, образующийся при стремлении радиуса этих окружностей к бесконечности) моделируется
** либо окружностью, касательной оси ''x'' (без [[Идеальная точка|бесконечно удалённой точки]] пересечения, которая является центром)
** либо окружностью, параллельной ''x'', в случае, если центром является [[Идеальная точка|бесконечно удалённой точкой]] с <math> y = \infty </math>.

=== Краткий обзор евклидовых окружностей ===
Пусть дана евклидова окружность с центром <math>( x_e, y_e ) </math> и радиусом <math>r_e </math>.
* Если евклидова окружность полностью находится в верхней полуплоскости, она представляет гиперболическую окружность с центром <math>( x_e, \sqrt{y_e^2 - r_e^2 } ) </math> и радиусом <math>\frac{1}{2} \ln \left( \frac{y_e + r_e} {y_e - r_e} \right)  </math>.
* Если евклидова окружность полностью находится в верхней полуплоскости и касается границы, она представляет орицикл с центром в бесконечно удалённой точке c <math>( x_e, 0 )</math>.
* Если окружность пересекает границу [[Ортогональность|ортогонально]] (<math> y_e = 0</math>), она представляет гиперболическую прямую.
* Если окружность пересекает границу не ортогонально, она представляет гиперцикл.

== Построения с помощью циркуля и линейки ==
{{См. также|Построение с помощью циркуля и линейки}}
Здесь показывается, как производить [[построения с помощью циркуля и линейки]] в модели Пуанкаре<ref>{{cite web|last1=Bochaca|first1=Judit Abardia|title=Tools to work with the Half-Plane model|url=http://mat.uab.cat/~juditab/enllac3.htm|website=Tools to work with the Half-Plane mode|accessdate=2015-06-25|archive-date=2018-02-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20180222225551/http://mat.uab.cat/~juditab/enllac3.htm|deadlink=no}}</ref>.
Например, как построить полуокружность в евклидовой полуплоскости, которая моделирует гиперболическую прямую, проходящую через две точки.

=== Построение гиперболической прямой, проходящей через две точки ===
[[Файл:Puancare Model - Line through 2 points.svg|300px|right|thumb|Построение прямой (красная), проходящей через две точки ''A'' и ''B''. <BR/>''M'' – середина отрезка.<BR/>''O'' – центр полученной окружности (гиперболической прямой).]]

Строим отрезок, соединяющий две точки. Строим перпендикуляр, проходящий через середину отрезка. Находим пересечение этого перпендикуляра с осью ''x''. Строим окружность с центром в точке пересечения, проходящую через данные точки (только верхнюю часть выше ''x'').

Если эти две точки лежат на вертикальном луче, строим его (от оси ''x'') , этот луч и будет искомой прямой.

=== Построение окружности с заданным центром, проходящей через точку ===
[[Файл:Puancare Model - Circle through point C1.svg|300px|right|thumb|Построение окружности с центром в ''A'', проходящей через точку ''B'' (случай, в котором точки ''A'' и ''B'' не лежат на одной вертикальной прямой). <BR/>Построение прямой, проходящей через ''A'' и ''B'' осуществляется как выше.<BR/>''D'' – (евклидов) центр искомой окружности, гиперболическим центром той же окружности служит точка ''A''.]]

Будем строить гиперболическую окружность с центром ''A'', проходящую через точку ''B''.
* Если точки ''A'' и ''B'' не лежат на вертикальной прямой:

Строим ''гиперболическую прямую'' (полуокружность), проходящую через две заданные точки, как в предыдущем случае. Строим касательную к этой полуокружности в точке ''B''. Проводим перпендикуляр к оси ''x через точку A''. Находим пересечение этих двух прямых, чтобы получить центр ''D'' моделирующей окружности. Строим моделирующую окружность с центром в ''D'', проходящую через заданную точку ''B''.

* Если точки ''A'' и ''B'' лежат на вертикальной прямой, и точка ''A'' лежит выше точки ''B'':

Строим окружность вокруг пересечения вертикальной прямой и оси ''x'', которая проходит через точку ''A''.
Строим горизонтальную прямую через точку ''B''.
Строим касательную к окружности в точке пересечения с этой горизонтальной прямой.

Середина отрезка между пересечением касательной с вертикальной прямой и ''B'' является центром моделирующей окружности.
Строим моделирующую окружность вокруг центра, проходящую через точку ''B''.

* Если точки ''A'' и ''B'' лежат на вертикальной оси, и центр ''A'' лежит ниже точки ''B'':

Строим окружность вокруг пересечения вертикальной прямой и осью ''x'', которая проходит через заданный центр ''A''.
Строим касательную к окружности, проходящую через точку ''B''.
Строим горизонтальную прямую, проходящую через точку касания, и находим её пересечение с вертикальной прямой.

Средняя точка между полученной точкой пересечения и точкой является центром моделирующей окружности.
Строим моделирующую окружность с новым центром и проходящую через точку ''B''.

=== Найти центр заданной (гиперболической) окружности ===
Опускаем перпендикуляр ''p'' из евклидова центра окружности на ось ''x''.

Пусть точка ''q'' является основанием этого перпендикуляра на ось ''x''.

Строим прямую, касательную к окружности, проходящую через точку ''q''.

Строим полуокружность ''h'' с центром в точке ''q'', проходящую через точку касания.

Гиперболическим центром служит точка, в которой ''h'' и ''p'' пересекаются{{sfn| Cannon, Floyd, Kenyon, Parry|1997|с=87}}.

== Группы симметрии ==
[[Файл:Poincare halfplane heptagonal hb.svg|300px|right|thumb|Звёздчатая правильная [[семиугольная мозаика]] модели]]

[[Проективная группа|Проективная линейная группа]] PGL(2,'''C''') действует на римановой сфере [[Преобразование Мёбиуса|преобразованиями Мёбиуса]]. Подгруппа, которая отображает верхнюю половину плоскости '''H''' в себя — это PSL(2,'''R'''), состоящая из преобразований с вещественными коэффициентами, которая действует [[Действие группы|транзитивно]] и изометрично на верхней половине плоскости, что делает её [[Однородное пространство|однородным пространством]].

Есть четыре тесно связанные [[Группа Ли|группы Ли]], которые действуют на верхнюю половину плоскости дробно-линейными преобразованиями, сохраняющими гиперболическое расстояние.

* [[Специальная линейная группа]] [[SL2(R)|SL(2,'''R''')]], которая состоит из 2×2 матриц с вещественными элементами и определителем +1. Заметьте, что многие тексты (включая Википедию) часто упоминают SL(2,'''R'''), подразумевая под этим PSL(2,'''R''').
* Группа S*L(2,'''R'''), состоящая из 2×2 матриц с вещественными элементами с определителем +1 или −1. Заметим, что SL(2,'''R''') является подгруппой этой группы.
* [[Проективная группа|Проективная специальная линейная группа]] {{не переведено 5|PSL2(R)|PSL(2,'''R''')||PSL2(R)}} = SL(2,'''R''')/{±''E''}, состоящая из матриц из SL(2,'''R''') по модулю ± единичной матрицы (то есть это факторгруппа по группе, состоящей из +''E'' и -''E'').
* Группа PS<sup>*</sup>L(2,'''R''') = S<sup>*</sup>L(2,'''R''')/{±''E''}=PGL(2,'''R''') является снова проективной группой и, снова, по модулю ±''E''. PSL(2,'''R''') содержится в ней в качестве нормальной подгруппы с индексом два; другой класс смежности состоит из матриц 2×2 с вещественными элементами и определителем −1, опять же по модулю ±''E''.

Связь этих групп с моделью Пуанкаре следующая:
* Группа всех [[Движение (математика)|движений]] '''H''', иногда обозначаемая как Isom('''H'''), изоморфна PS<sup>*</sup>L(2,'''R'''). Она включает как сохраняющие ориентацию движения, так и меняющие ориентацию. Меняющее ориентацию отображение (зеркальное отражение) — это <math>z\rightarrow -\overline{z}</math>.
* Группа сохраняющих ориентацию движений '''H''', иногда обозначаемая как Isom<sup>+</sup>('''H'''), изоморфна PSL(2,'''R''').

Важными подгруппами группы изометрии являются [[Фуксова группа|фуксовы группы]].

Часто рассматривается [[модулярная группа]] SL(2,'''Z'''), которая важна в двух аспектах. Во-первых, это группа линейных преобразований плоскости, сохраняющих [[Решётка (теория групп)|решётку]] точек. Таким образом, функции, периодичные на квадратной решётке, такие как [[Модулярная функция|модулярные формы]] и [[Эллиптическая функция|эллиптические функции]], наследуют симметрию решётки SL(2,'''Z'''). Во-вторых, SL(2,'''Z''') является, конечно, подгруппой SL(2,'''R'''), а следовательно, имеет гиперболическое поведение, заложенное в ней. В частности, SL(2,'''Z''') можно использовать для замощения гиперболической плоскости ячейками равной площади.

== Изометрическая симметрия ==
[[Действие группы|Действие]] [[Проективная группа|проективной специальной линейной группы]] PSL(2,'''R''') на '''H''' определяется как

:<math>\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \cdot z = \frac{az+b}{cz+d} = {(ac|z|^2+bd+(ad+bc)\Re(z))  + i(ad-bc)\Im(z)\over|cz+d|^2}.</math>

Заметим, что действие [[Действие группы|транзитивно]], поскольку для любых <math>z_1,z_2\in\mathbb{H}</math> существует элемент <math>g\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>, такой, что <math>gz_1=z_2</math>. Также верно, что если для всех ''z'' из '''H''' <math>gz=z</math>, то ''g'' = ''e''.

[[Действие группы|Стабилизатор]] или ''стационарная подгруппа'' элемента ''z'' из '''H''' — это множество <math>g\in{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math>, которые оставляют ''z'' неизменным — ''gz''=''z''. Стабилизатор ''i'' — [[Ортогональная группа|группа вращения]]

:<math>{\rm SO}(2) = \left\{ \left(\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{matrix}\right)\,:\,\theta\in{\mathbf R}\right\}.</math>

Поскольку любой элемент ''z'' из '''H''' отображается в ''i'' некоторым элементом PSL(2,'''R'''), это означает, что стационарная группа любого элемента ''z'' [[Изоморфизм|изоморфна]] SO(2). Таким образом, '''H''' = PSL(2,'''R''')/SO(2). Также [[Локально тривиальное расслоение|расслоение]] касательных векторов единичной длины на верхней половине плоскости, называемое {{не переведено 5|Единичное касательное расслоение|единичным касательным расслоением||unit tangent bundle}}, изоморфно PSL(2,'''R''').

Верхняя половина плоскости замощается {{не переведено 5|Свободное регулярное множество|свободными регулярными множествами||Free regular set}} [[Модулярная группа|модулярной группой]] SL(2,'''Z''').

== Геодезические ==
Геодезические для метрического тензора являются полуокружностями с центрами на оси ''x'' и вертикальными лучами с началом на оси ''x''.

Геодезические со скоростью единица, идущие вертикально через точку ''i'', задаются выражением
:<math>\gamma(t) = \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\
                   0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i
   = ie^t.</math>

Поскольку PSL(2,'''R''') действует транзитивно на верхней половине плоскости путём [[Изометрия (математика)|изометрий]], эта геодезическая отображается в другие геодезические при помощи действия PSL(2,'''R'''). Таким образом, геодезическая общего вида с единичной скоростью задаётся как 
:<math>\gamma(t) =
\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\
                   0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i
  = \frac {aie^t +b} {cie^t +d}. </math>

Это даёт полное описание [[Геодезическая|геодезического потока]] расслоения касательных единичной длины (комплексное {{не переведено 5|линейное расслоение|||line bundle}}) на верхней половине плоскости.

== Модель в трёхмерных пространствах ==

[[Метрический тензор|Метрика]] модели в полупространстве 
:<math>\{ \langle x, y, z \rangle | z > 0 \} \,</math>

задаётся выражением
:<math>(d s)^2 = \frac{(d x)^2 + (d y)^2 + (d z)^2}{z^2} \,</math>,

где ''s'' измеряет расстояние вдоль (возможно) кривой линии.
''Прямые'' в гиперболическом пространстве ([[Геодезическая|геодезические]] для этого метрического тензора, т.е. кривые, которые минимизируют расстояние), представляются в этой модели дугами окружностей, исходящих перпендикулярно от плоскости ''z = 0'' (полуокружности, центры которых находятся на плоскости ''z = 0'') и лучами, исходящими перпендикулярно от плоскости ''z = 0''.

''Расстояние'' между двумя точками измеряется в этой метрике вдоль геодезической и равно

:<math>\operatorname{dist} (\langle x_1, y_1,z_1 \rangle, \langle x_2, y_2,z_2\rangle) = \operatorname{arch} \left( 1 + \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 + {(z_2 - z_1)}^2 }{ 2 z_1 z_2 } \right)= </math>
:<math>=2\operatorname{arsh} \left(\frac{ \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 + {(z_2 - z_1)}^2} }{ 2 \sqrt{z_1 z_2} } \right)\,.</math>

== Модель в ''n''-мерном пространстве ==
Модель можно обобщить до модели (''n''+1)-мерного [[Геометрия Лобачевского|пространства Лобачевского]] путём замены вещественных чисел ''x'' векторами в ''n''-мерном евклидовом пространстве.

== См.также ==
{{colbegin||22em}}
* [[Угол параллельности]]
* [[Диффеоморфизм Аносова]]
* [[Фуксова группа]]
* [[Фуксова модель]]
* {{не переведено 5|Гиперболическое движение (математика)|Гиперболическое движение||Hyperbolic motion}}
* {{не переведено 5|Модель Кляйна|||Kleinian model}}
* [[Псевдосфера]]
* [[Теорема Пика (комплексный анализ)|Теорема Пика]]
{{colend}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}
== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{книга
|серия=Flavors of Geometry
|издательство=MSRI Publications
|том=Volume 31
|год=1997
|заглавие=Hyperbolic Geometry
|автор=Cannon J. W., Floyd W. J., Kenyon R., Parry W. R.
|ref=Cannon, Floyd, Kenyon, Parry
|часть=Figure 19. Constructing the hyperbolic center of a circle
}}
* {{статья
|автор=Eugenio Beltrami
|заглавие=Teoria fondamentale degli spazi di curvatura constant
|издание=Annali. di Mat.
|серия=ser II
|том= 2
|год=1868
|страницы= 232–255
}}
* {{статья
|автор=Henri Poincaré
|ref=Poincaré
|год=1882
|заглавие=Théorie des Groupes Fuchsiens
|издание=Acta Mathematica
|том=1
|страницы=1
|ссылка=https://archive.org/details/thoriedesgroup00poin
}} Первая статья в легендарной серии о модели в верхней полуплоскости.
* {{книга
|автор=Hershel M. Farkas, Irwin Kra
|ref=Farkas, Kra
|заглавие=Riemann Surfaces
|год=1980
|издательство=Springer-Verlag
|место=New York
|isbn=0-387-90465-4
}}
* {{книга
|автор=Jurgen Jost
|ref=Jost
|заглавие=Compact Riemann Surfaces
|год=2002
|издательство=Springer-Verlag
|место=New York
|isbn=3-540-43299-X
|часть=Section 2.3
}}
* {{книга
|автор=Saul Stahl
|ref=Stahl
|заглавие=The Poincaré Half-Plane
|ссылка=https://archive.org/details/poincarehalfplan0000stah
|издательство=Jones and Bartlett
|год=1993
|isbn=0-86720-298-X
}}
* {{книга
|автор=John Stillwell
|ref=Stillwell
|год=1998
|заглавие=Numbers and Geometry
|ссылка=https://archive.org/details/numbersgeometry00stil
|страницы=[https://archive.org/details/numbersgeometry00stil/page/100 100]–104
|издательство=Springer-Verlag
|место=NY
|isbn=0-387-98289-2
}}. Элементарное введение в модель Пуанкаре.
{{refend}}

[[Категория:Модели геометрии Лобачевского]]
[[Категория:Конформная геометрия]]