Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости

Параллельные лучи в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости — это верхняя половина плоскости $\{(x,y)\mid y>0;x,y\in ℝ\}$, обозначаемая ниже как H, вместе с метрикой (метрикой Пуанкаре), которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского).

Эквивалентно, модель Пуанкаре в верхней полуплоскости иногда описывается как комплексная плоскость, в которой мнимая компонента (координата y, упомянутая выше) положительна.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости носит имя Анри Пуанкаре, но её создал Эудженио Бельтрами, который использовал её вместе с моделью Кляйна и моделью Пуанкаре́ в круге, чтобы показать, что гиперболическая геометрия Шаблон:Не переведено 5, насколько непротиворечива евклидова геометрия.

Эта модель конформна, что означает, что углы, измеренные в точке модели, равны углам на гиперболической плоскости.

Преобразование Кэли даёт изометрию между моделью в полуплоскости и моделью Пуанкаре́ в круге.

Эту модель можно обобщить до модели (n+1)-мерного гиперболического пространства путём замены вещественного числа x вектором в n-мерном евклидовом векторном пространстве.

Метрика

Метрика модели в полуплоскости $\{⟨x,y⟩|y>0\}$ имеет вид

$(ds{)}^2=\frac{(dx{)}^2+(dy{)}^2}{y^2}$,

где s измеряет длину вдоль (возможно кривой) линии. Прямые на гиперболической плоскости (геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, минимизирующие расстояние), представляются на этой модели дугами окружностей, перпендикулярными оси x (полуокружности с центром на оси x) и вертикальными лучами, перпендикулярными оси x.

Вычисление расстояния

В общем случае расстояние между двумя точками измеряется в этой метрике вдоль геодезических и равно:

$$\begin{array}{cc}\mathrm{dist}(⟨x_1,y_1⟩,⟨x_2,y_2⟩)& =\mathrm{arch}(1+\frac{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}{2y_1{y}_2})\\ & =2\mathrm{arsh}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}{y_1{y}_2}}\\ & =2\ln \frac{\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}+\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2+y_1)}^2}}{2\sqrt{y_1{y}_2}},\end{array}$$

где arch и arsh — это обратные гиперболические функции

$\mathrm{arsh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}),\mathrm{arch}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1.$

Некоторые специальные случаи могут быть упрощены:

$\mathrm{dist}(⟨x,y_1⟩,⟨x,y_2⟩)=|\ln \frac{y_2}{y_1}|=|\ln (y_2)-\ln (y_1)|$.

$\mathrm{dist}(⟨x_1,y⟩,⟨x_2,y⟩)=\mathrm{arch}(1+\frac{(x_2-x_1{)}^2}{2y^2})=2\mathrm{arsh}(\frac{|x_2-x_1|}{2y})$

$\mathrm{dist}(⟨x,r⟩,⟨x\pm r\sin \varphi ,r\cos \varphi ⟩)=\mathrm{arsh}(\tan \varphi )=\mathrm{arch}(\frac{1}{\cos \varphi })=\ln (\frac{1+\sin \varphi }{\cos \varphi })$

Другим способом вычисления расстояния между двумя точками является длина дуги вдоль (евклидовой) полуокружности:

$\mathrm{dist}(AB)=|\ln \left(\frac{|B{A}_{\mathrm{\infty }}||A{B}_{\mathrm{\infty }}|}{|A{A}_{\mathrm{\infty }}||B{B}_{\mathrm{\infty }}|}\right)|.$

где $A_{\mathrm{\infty }},B_{\mathrm{\infty }}$ — точки полуокружности (концы), лежащие на граничной прямой, а $|PQ|$ — это евклидова длина сегмента окружности, соединяющей точки P и Q в этой модели.

Специальные точки и кривые

• Бесконечно удалённые точки в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости бывают двух типов:
  • точки на оси x
  • одна воображаемая точка на $y=\mathrm{\infty }$, которая является бесконечно удалённой точкой, через которую проходят все ортогональные оси x прямые.
• Прямые, геодезические (кратчайшие пути между точками, находящимися на ней) моделируются
  • полуокружностями, концы которых находятся на оси x
  • Вертикальными лучами, ортогональными оси x
• Окружности (кривые, равноудалённые от центральной точки) с центром в точке $(x,y)$ и радиусом $r$ моделируются:

окружностями с центром $(x,y\cosh (r))$ и радиусом $y\sinh (r)$

• Гиперцикл (или эквидистанта, кривая, удалённая от гиперболической прямой, её оси или базы) моделируется
  • либо дугой окружности, которая пересекает ось x в тех же двух бесконечно удалённых точках, что и полуокружность, которая является базой, но имеет с осью x острый или тупой (не прямой) угол.
  • либо прямой, которая пересекает ось x в той же точке, что и вертикальный луч, который моделирует базу, но не перпендикулярной оси x.
• Орицикл (предел семейства окружностей с общей касательной, проходящих через фиксированную точку и лежащих по одну сторону от этой касательной, образующийся при стремлении радиуса этих окружностей к бесконечности) моделируется
  • либо окружностью, касательной оси x (без бесконечно удалённой точки пересечения, которая является центром)
  • либо окружностью, параллельной x, в случае, если центром является бесконечно удалённой точкой с $y=\mathrm{\infty }$.

Краткий обзор евклидовых окружностей

Пусть дана евклидова окружность с центром $(x_e,y_e)$ и радиусом $r_e$.

• Если евклидова окружность полностью находится в верхней полуплоскости, она представляет гиперболическую окружность с центром $(x_e,\sqrt{y_e^2-r_e^2})$ и радиусом $\frac{1}{2}\ln \left(\frac{y_e+r_e}{y_e-r_e}\right)$.
• Если евклидова окружность полностью находится в верхней полуплоскости и касается границы, она представляет орицикл с центром в бесконечно удалённой точке c $(x_e,0)$.
• Если окружность пересекает границу ортогонально ($y_e=0$), она представляет гиперболическую прямую.
• Если окружность пересекает границу не ортогонально, она представляет гиперцикл.

Построения с помощью циркуля и линейки

Шаблон:См. также Здесь показывается, как производить построения с помощью циркуля и линейки в модели Пуанкаре. Например, как построить полуокружность в евклидовой полуплоскости, которая моделирует гиперболическую прямую, проходящую через две точки.

Построение гиперболической прямой, проходящей через две точки

Построение прямой (красная), проходящей через две точки A и B.
M – середина отрезка.
O – центр полученной окружности (гиперболической прямой).

Строим отрезок, соединяющий две точки. Строим перпендикуляр, проходящий через середину отрезка. Находим пересечение этого перпендикуляра с осью x. Строим окружность с центром в точке пересечения, проходящую через данные точки (только верхнюю часть выше x).

Если эти две точки лежат на вертикальном луче, строим его (от оси x) , этот луч и будет искомой прямой.

Построение окружности с заданным центром, проходящей через точку

Построение окружности с центром в A, проходящей через точку B (случай, в котором точки A и B не лежат на одной вертикальной прямой).
Построение прямой, проходящей через A и B осуществляется как выше.
D – (евклидов) центр искомой окружности, гиперболическим центром той же окружности служит точка A.

Будем строить гиперболическую окружность с центром A, проходящую через точку B.

• Если точки A и B не лежат на вертикальной прямой:

Строим гиперболическую прямую (полуокружность), проходящую через две заданные точки, как в предыдущем случае. Строим касательную к этой полуокружности в точке B. Проводим перпендикуляр к оси x через точку A. Находим пересечение этих двух прямых, чтобы получить центр D моделирующей окружности. Строим моделирующую окружность с центром в D, проходящую через заданную точку B.

• Если точки A и B лежат на вертикальной прямой, и точка A лежит выше точки B:

Строим окружность вокруг пересечения вертикальной прямой и оси x, которая проходит через точку A. Строим горизонтальную прямую через точку B. Строим касательную к окружности в точке пересечения с этой горизонтальной прямой.

Середина отрезка между пересечением касательной с вертикальной прямой и B является центром моделирующей окружности. Строим моделирующую окружность вокруг центра, проходящую через точку B.

• Если точки A и B лежат на вертикальной оси, и центр A лежит ниже точки B:

Строим окружность вокруг пересечения вертикальной прямой и осью x, которая проходит через заданный центр A. Строим касательную к окружности, проходящую через точку B. Строим горизонтальную прямую, проходящую через точку касания, и находим её пересечение с вертикальной прямой.

Средняя точка между полученной точкой пересечения и точкой является центром моделирующей окружности. Строим моделирующую окружность с новым центром и проходящую через точку B.

Найти центр заданной (гиперболической) окружности

Опускаем перпендикуляр p из евклидова центра окружности на ось x.

Пусть точка q является основанием этого перпендикуляра на ось x.

Строим прямую, касательную к окружности, проходящую через точку q.

Строим полуокружность h с центром в точке q, проходящую через точку касания.

Гиперболическим центром служит точка, в которой h и p пересекаютсяШаблон:Sfn.

Группы симметрии

Звёздчатая правильная семиугольная мозаика модели

Проективная линейная группа PGL(2,C) действует на римановой сфере преобразованиями Мёбиуса. Подгруппа, которая отображает верхнюю половину плоскости H в себя — это PSL(2,R), состоящая из преобразований с вещественными коэффициентами, которая действует транзитивно и изометрично на верхней половине плоскости, что делает её однородным пространством.

Есть четыре тесно связанные группы Ли, которые действуют на верхнюю половину плоскости дробно-линейными преобразованиями, сохраняющими гиперболическое расстояние.

• Специальная линейная группа SL(2,R), которая состоит из 2×2 матриц с вещественными элементами и определителем +1. Заметьте, что многие тексты (включая Википедию) часто упоминают SL(2,R), подразумевая под этим PSL(2,R).
• Группа S*L(2,R), состоящая из 2×2 матриц с вещественными элементами с определителем +1 или −1. Заметим, что SL(2,R) является подгруппой этой группы.
• Проективная специальная линейная группа Шаблон:Не переведено 5 = SL(2,R)/{±E}, состоящая из матриц из SL(2,R) по модулю ± единичной матрицы (то есть это факторгруппа по группе, состоящей из +E и -E).
• Группа PS^*L(2,R) = S^*L(2,R)/{±E}=PGL(2,R) является снова проективной группой и, снова, по модулю ±E. PSL(2,R) содержится в ней в качестве нормальной подгруппы с индексом два; другой класс смежности состоит из матриц 2×2 с вещественными элементами и определителем −1, опять же по модулю ±E.

Связь этих групп с моделью Пуанкаре следующая:

• Группа всех движений H, иногда обозначаемая как Isom(H), изоморфна PS^*L(2,R). Она включает как сохраняющие ориентацию движения, так и меняющие ориентацию. Меняющее ориентацию отображение (зеркальное отражение) — это $z\to -\bar{z}$.
• Группа сохраняющих ориентацию движений H, иногда обозначаемая как Isom⁺(H), изоморфна PSL(2,R).

Важными подгруппами группы изометрии являются фуксовы группы.

Часто рассматривается модулярная группа SL(2,Z), которая важна в двух аспектах. Во-первых, это группа линейных преобразований плоскости, сохраняющих решётку точек. Таким образом, функции, периодичные на квадратной решётке, такие как модулярные формы и эллиптические функции, наследуют симметрию решётки SL(2,Z). Во-вторых, SL(2,Z) является, конечно, подгруппой SL(2,R), а следовательно, имеет гиперболическое поведение, заложенное в ней. В частности, SL(2,Z) можно использовать для замощения гиперболической плоскости ячейками равной площади.

Изометрическая симметрия

Действие проективной специальной линейной группы PSL(2,R) на H определяется как

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot z=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{(ac|z{|}^2+bd+(ad+bc)\mathrm{\Re }(z))+i(ad-bc)\mathrm{\Im }(z)}{|cz+d{|}^2}.$

Заметим, что действие транзитивно, поскольку для любых $z_1,z_2\in ℍ$ существует элемент $g\in \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℝ)$, такой, что $g{z}_1=z_2$. Также верно, что если для всех z из H $gz=z$, то g = e.

Стабилизатор или стационарная подгруппа элемента z из H — это множество $g\in \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℝ)$, которые оставляют z неизменным — gz=z. Стабилизатор i — группа вращения

$\mathrm{S}\mathrm{O}(2)=\{\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right):\theta \in 𝐑\}.$

Поскольку любой элемент z из H отображается в i некоторым элементом PSL(2,R), это означает, что стационарная группа любого элемента z изоморфна SO(2). Таким образом, H = PSL(2,R)/SO(2). Также расслоение касательных векторов единичной длины на верхней половине плоскости, называемое Шаблон:Не переведено 5, изоморфно PSL(2,R).

Верхняя половина плоскости замощается Шаблон:Не переведено 5 модулярной группой SL(2,Z).

Геодезические

Геодезические для метрического тензора являются полуокружностями с центрами на оси x и вертикальными лучами с началом на оси x.

Геодезические со скоростью единица, идущие вертикально через точку i, задаются выражением

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{cc}{e}^{t/2}& 0\\ 0& e^{-t/2}\end{array}\right)\cdot i=i{e}^t.$

Поскольку PSL(2,R) действует транзитивно на верхней половине плоскости путём изометрий, эта геодезическая отображается в другие геодезические при помощи действия PSL(2,R). Таким образом, геодезическая общего вида с единичной скоростью задаётся как

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{e}^{t/2}& 0\\ 0& e^{-t/2}\end{array}\right)\cdot i=\frac{ai{e}^t+b}{ci{e}^t+d}.$

Это даёт полное описание геодезического потока расслоения касательных единичной длины (комплексное Шаблон:Не переведено 5) на верхней половине плоскости.

Модель в трёхмерных пространствах

Метрика модели в полупространстве

$\{⟨x,y,z⟩|z>0\}$

задаётся выражением

$(ds{)}^2=\frac{(dx{)}^2+(dy{)}^2+(dz{)}^2}{z^2}$,

где s измеряет расстояние вдоль (возможно) кривой линии. Прямые в гиперболическом пространстве (геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, которые минимизируют расстояние), представляются в этой модели дугами окружностей, исходящих перпендикулярно от плоскости z = 0 (полуокружности, центры которых находятся на плоскости z = 0) и лучами, исходящими перпендикулярно от плоскости z = 0.

Расстояние между двумя точками измеряется в этой метрике вдоль геодезической и равно

$\mathrm{dist}(⟨x_1,y_1,z_1⟩,⟨x_2,y_2,z_2⟩)=\mathrm{arch}(1+\frac{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}{2z_1{z}_2})=$

$=2\mathrm{arsh}\left(\frac{\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}}{2\sqrt{z_1{z}_2}}\right).$

Модель в n-мерном пространстве

Модель можно обобщить до модели (n+1)-мерного пространства Лобачевского путём замены вещественных чисел x векторами в n-мерном евклидовом пространстве.

См.также

• Угол параллельности
• Диффеоморфизм Аносова
• Фуксова группа
• Фуксова модель
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Псевдосфера
• Теорема Пика

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья Первая статья в легендарной серии о модели в верхней полуплоскости.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга. Элементарное введение в модель Пуанкаре.