Диффеоморфизм Аносова

Диффеоморфизм Аносова — диффеоморфизм $f:M\to M$, гиперболичный на всём многообразии $M$ — отображение с устойчивой динамикой относительно малых возмущений. Введён в теорию динамических систем Дмитрием Аносовым.

Гиперболичность на многообразии $M$ означает, что существует разложение касательного расслоения $TM$ в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений $E^u$ и $E^s$, инвариантных относительно динамики, причём на $E^u$ динамика экспоненциально растягивает, а на $E^s$ экспоненциально сжимает:

$\Vert f^n(v)\Vert ⩽c_1{\lambda }^n\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^s$,

$\Vert f^n(v)\Vert ⩾c_2{\mu }^n\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^u$,

где $c_1,c_2>0$ и $\mu >1>\lambda >0$ — константы.

Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма $f$ существует такая его окрестность в пространстве диффеоморфизмов класса $C^1$, любой диффеоморфизм $g$ из которой сопряжён с $f$ некоторым гомеоморфизмом $h$: $f\circ h=h\circ g$. Иными словами, динамика малого возмущения $f$ отличается от самого $f$ только (непрерывной) заменой координат.

Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:

$\Vert f^{-n}(v)\Vert ⩽c_3{\mu }^{-n}\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^u$.

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ на двумерном торе ${𝕋}^2={ℝ}^2/{\mathbb{Z}}^2$. Более общо: если матрица $A\in S{L}_n(\mathbb{Z})$ не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор ${𝕋}^n={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n$ (корректно определённый, поскольку $A$ сохраняет ${\mathbb{Z}}^n$) будет диффеоморфизмом Аносова.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Каток-Хасселблат-2005