Псевдосфера

Псевдосфера

Псевдосфе́ра (или поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

История

Впервые исследована Миндингом в 1839—1840 годах. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с проективной моделью и конформно-евклидовой моделью.

Характеристики

Псевдосфера

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

$x=a\sin u$,

$y=0$,

$z=a(\ln \mathrm{tg}\frac{u}{2}+\cos u),0\le u\le \frac{\pi }{2}$,

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

$x=a\sin u\cos v$,

$y=a\sin u\sin v$,

$z=a(\ln \mathrm{tg}\frac{u}{2}+\cos u)$,

$0\le u\le \frac{\pi }{2},0\le v\le 2\pi$.

Первая квадратичная форма:

$d{s}^2=a^2{\mathrm{ctg}}^{2}ud{u}^2+a^2{\sin }^{2}ud{v}^2$

Вторая квадратичная форма:

${\varphi }_2=a(-\mathrm{ctg}ud{u}^2+\sin u\cos ud{v}^2)$

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/a².

Площадь обоих раструбов псевдосферы совпадает с площадью сферы ($4\pi a^2$), объём — половина от объёма шара ($\frac{2}{3}\pi a^3$).

Вариации и обобщения

• Поверхность Дини — похожий пример поверхности постоянной отрицательной кривизны. Она даёт изометрическое погружение области плоскости Лобачевского, ограниченной орициклом.

Источники

• Псевдосфера. — Прикладная математика
• Шаблон:БСЭ3

Литература

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Шаблон:М., 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, Шаблон:М., 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Шаблон:М., 2000.
• Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, Шаблон:М., 1982.