Фуксова модель

Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.

Более точное определение

По теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, Шаблон:Не переведено 5, либо гиперболической. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность $R$, которая не изоморфна либо римановой сфере (в эллиптическом случае), либо факторповерхности комплексной поверхности по дискретной подгруппе (в параболическом случае), должна быть факторповерхностью гиперболической плоскости $ℍ$ по подгруппе $\mathrm{\Gamma }$, действующей вполне разрывно и свободно.

В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости для гиперболической плоскости группа Шаблон:Не переведено 5 является группой ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$, действующей гомографией, а теорема об униформизации означает, что существует дискретная подгруппа без кручения $\mathrm{\Gamma }\subset {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$, такая, что риманова поверхность $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }ℍ$ изоморфна $R$. Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм $R\cong \mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }ℍ$ называется фуксовой моделью для $R$.

Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера

Пусть $R$ будет замкнутой гиперболической поверхностью и пусть $\mathrm{\Gamma }$ будет фуксовой группой, такой, что $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }ℍ$ является фуксовой моделью для $R$. Пусть

$A(\mathrm{\Gamma })=\{\rho :\mathrm{\Gamma }\to {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)\}$.

Здесь $A(\mathrm{\Gamma })$ — множество всех $\rho$ эффективных и дискретных представлений с топологией, порождённой точечной сходимостью (иногда называемой «алгебраической сходимостью»)Шаблон:Sfn. В этом частном случае топология может быть наиболее просто определена следующим образом: группа $\mathrm{\Gamma }$ является Шаблон:Не переведено 5, так как она изоморфна фундаментальной группе $R$. Пусть $g_1,\dots ,g_r$ будет порождающим множеством, тогда любое $\rho \in A(\mathrm{\Gamma })$ определяется элементами $\rho (g_1),\dots ,\rho (g_r)$ и мы можем отождествить $A(G)$ с подмножеством ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ{)}^r$ отображением $\rho \mapsto (\rho (g_1),\dots ,\rho (g_r))$. Тем самым мы задаём топологию подпространства.

Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не связан напрямую с теоремой Дена — Нильсена) тогда утверждает следующееШаблон:Sfn:

Для любого представления $\rho \in A(G)$ существует автогомеоморфизм (фактически, Шаблон:Не переведено 5) $h$ верхней полуплоскости $ℍ$, такое, что $h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )$ для любого $\gamma \in G$.

Доказательство очень просто — выберем гомеоморфизм $R\to \rho (\mathrm{\Gamma })\mathrm{\setminus }ℍ$ и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма даёт квазиконформное отображение, поскольку $R$ компактно.

Это можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для пространства Тейхмюллера $R$Шаблон:Sfn — множества дискретных эффективных представлений фундаментальной группы ${\pi }_1(R)$ в классы смежности ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ и множества помеченных римановых поверхностей $(X,f)$, где $f:R\to X$ является квазиконформным гомеоморфизмом естественного отношения эквивлентности.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5, аналогичное построение для 3D-многообразий
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга